Aufgaben

Bestimme die Asymptoten:

%%f(x)=\frac1x%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac1x%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac1x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}}=0^+$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}}=0^-$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow y=0%%

%%y=0%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f\left(x\right)=1-\frac1x%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=1-\frac1x%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=1-\frac1x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\underbrace{\frac1{\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}}}_{\rightarrow0^+}=1^-$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}1-\underbrace{\frac1{\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}}}_{\rightarrow0^-}=1^+$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow y=1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f\left(x\right)=\frac{1+x}x%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac{1+x}x%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac{1+x}x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{1+x}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace x_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1+x}{x}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\cdot(\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}+1)}{x}$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}(\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^+}+1)=1^+$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{1+x}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace x_{\rightarrow-\infty}}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%%

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1+x}{x}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\cdot(\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}+1)}{x}$$

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}(\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0^-}+1)=1^-$$

%%\Rightarrow y=1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f(x)=\frac x{1+x}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac x{1+x}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%1+x=0%%

%%\mid-1%%

%%\Rightarrow\;\;x=-1%%

%%x=-1%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac x{1+x}%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{1+x}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac x{1+x}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x\cdot(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow 0^+}+1)}$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow 0^+}+1)}=1^-$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{1+x}_{\rightarrow-\infty}}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac x{1+x}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{x\cdot(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow 0^-}+1)}$$

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow 0^-}+1)}=1^+$$

%%\Rightarrow y=1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%1+x^2=0%%

%%\mid-1%%

%%x^2=-1%%

%%\Rightarrow%% Nenner ist immer positiv, daher keine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x^2}^{^\rightarrow+\infty}}{\underbrace{1+x^2}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{1+x^2}=$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(\underbrace{\frac1{{x^2}}}_{\rightarrow0^+}+1)}$$

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{\frac1{{x^2}}}_{\rightarrow0^+}+1}=1^-$$

%%f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}%%

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{x^2}^{^\rightarrow-\infty}}{\underbrace{1+x^2}_{\rightarrow-\infty}}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{1+x^2}=$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x^2\cdot(\underbrace{\frac1{{x^2}}}_{\rightarrow0^-}+1)}$$

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{\frac1{{x^2}}}_{\rightarrow0^-}+1}=1^+$$

%%\Rightarrow y=1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f(x)=\frac{\left|x\right|}{1+x}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

$$f(x)=\frac{\left|x\right|}{1+x}$$

Setze den Nenner gleich 0.

%%1+x=0%%

%%\mid-1%%

%%\Rightarrow x=-1%%

%%x=-1%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagrechte Asymptote

Artikel zum Thema

$$f(x)=\frac{\left|x\right|}{1+x}$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{1+x}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

Da %%x%% in diesem Grenzwert immer positiv ist, kann der Betrag weggelassen werden.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x\cdot(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}+1)}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}+1)}=1^-$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{\color{red}{-x}}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{1+x}_{\rightarrow-\infty}}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

Da %%x%% in diesem Grenzwert immer negativ ist, kann der Betrag durch ein %%-%% ersetzt werden.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x}{x\cdot(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}+1)}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-1}{(\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}+1)}=-1^-$$

%%\Rightarrow y_1=1%% und %%y_2=-1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote für %%x\rightarrow+\infty%%.

Außerdem ist %%y=-1%% eine waagrechte Asymptote für %%x\rightarrow-\infty%%.

%%f(x)=1+\frac1x%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=1+\frac1x%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=1+\frac1x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty} 1+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}=1^+$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty} 1+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}=1^-$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow y=1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f(x)=x+\frac1x%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x+\frac1x%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x+\frac1x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}=+\infty$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}=-\infty$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow%% In diesem Fall existiert keine waagrechte Asymptote.

Schiefe Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x+\frac1x=\frac{x^2}x+\frac1x=\frac{x^2+1}x%%

Der Zählergrad ist um 1 größer als der Nennergrad.

%%\Rightarrow%% es existiert eine schiefe Asymptote.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}x+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x$$

Hier ist keine Polynomdivision nötig, da die gewünschte Form schon angegeben ist.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}x+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x$$

%%\Rightarrow g(x)=x%% ist eine schiefe Asymptote.

%%f(x)=x-\frac1x%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x-\frac1x%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x-\frac1x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}-\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}=+\infty$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}-\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}=-\infty$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow%% In diesem Fall gibt es keine waagrechten Assymptoten.

Schiefe Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x-\frac1x=\frac{x^2}x-\frac1x=\frac{x^2-1}x%%

Der Zählergrad ist um 1 größer als der Nennergrad.

%%\Rightarrow%% es existiert eine schiefe Asymptote.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}x-\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x$$

Hier ist keine Polynomdivision nötig, da die gewünschte Form schon angegeben ist.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}x-\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x$$

%%\Rightarrow g(x)=x%% ist eine schiefe Asymptote.

%%f(x)=x^2+\frac1x%%

%%f(x)=x^2+\frac1x%%

Setze den Nenner gleich %%0%%.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote.

%%f(x)=x^2+\frac1x%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^2}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}=+\infty$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x^2}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}=+\infty$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow%% In diesem Fall gibt es keine waagrechten Asymptoten.

$$f(x)=x^2+\frac1x=\frac{x^3}x+\frac1x=\frac{x^3+1}x$$

Der Zählergrad ist um %%2%% größer als der Nennergrad.

%%\Rightarrow%% es existiert eine kurvenförmige Asymptote.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^+}=\lim_{x\rightarrow+\infty} x^2$$

Hier ist keine Polynomdivision nötig, da die gewünschte Form schon angegeben ist.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2+\underbrace{\frac1x}_{\rightarrow0^-}=\lim_{x\rightarrow-\infty} x^2$$

%%\Rightarrow g(x)=x^2%% ist eine kurvenförmige Asymptote.

%%f(x)=x+\frac1{x^2}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x+\frac1{x^2}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\Rightarrow x=0%%

%%x=0%% ist eine senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x+\frac1{x^2}%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty}+\underbrace{\frac1{x^2}}_{\rightarrow0^+}=+\infty$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty}+\underbrace{\frac1{x^2}}_{\rightarrow0^+}=-\infty$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

%%\Rightarrow%% In diesem Fall gibt es keine waagrechten Asymptote.

Schiefe Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=x+\frac1{x^2}=\frac{x^3}{x^2}+\frac1{x^2}=\frac{x^3+1}{x^2}%%

Der Zählergrad ist um 1 größer als der Nennergrad.

%%\Rightarrow%% es existiert eine schiefe Asymptote.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}x+\underbrace{\frac1{x^2}}_{\rightarrow0^+}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x$$

Hier ist keine Polynomdivision nötig, da die gewünschte Form schon angegeben ist.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}x+\underbrace{\frac1{x^2}}_{\rightarrow0^+}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x$$

%%\Rightarrow g(x)=x%% ist eine schiefe Asymptote.

%%f\left(x\right)=\dfrac{3x-3}{x^2-2x+2}%%

Senkrechte Asymptote

Dies ist eine Aufgabe zur senkrechten Asymptote.

%%\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3x-3}{x^2-2x+2}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%x^2-2x+2=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

Vereinfache unter der Wurzel.

%%\displaystyle =\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}%%

Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung.

In diesem Fall existieren keine senkrechten Asymptoten.

Waagerechte Asymptote

Dies ist eine Aufgabe zur waagerechten Asymptote.

%%\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3x-3}{x^2-2x+2}%%

Bilde den Grenzwert gegen %%+\infty%%.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{3x-3}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{x^2-2x+2}_{\rightarrow+\infty}}%%

Klammere die größte Potenz von %%x%% aus.

%%\displaystyle=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\overbrace{(\frac3x-\frac3{x^2})}^{\rightarrow0^+}}{x^2\cdot\underbrace{(1-\frac2x+\frac2{x^2})}_{\rightarrow1^-}}=0^+%%

Bilde den Grenzwert gegen %%-\infty%%.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{3x-3}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{x^2-2x+2}_{\rightarrow+\infty}}$$

Klammere die größte Potenz von %%x%% aus.

%%\displaystyle=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\overbrace{(\frac3x-\frac3{x^2})}^{\rightarrow0^-}}{x^2\cdot\underbrace{(1-\frac2x+\frac2{x^2})}_{\rightarrow1^+}}=0^-%%

Damit ist %%y=0%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%x^2-2x+1=0%%

%%(x-1)^2=0%%

%%\Rightarrow x=1%%

%%x=1%% ist eine senkrechte Asymptote.

Aber:

Eigentlich wurde oben eine senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel gefunden.

Das ist allerdings nicht der Fall.

$$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$

Anwenden der dritten und zweiten Binomischen Formel im Zähler bzw. Nenner liefert.

$$=\frac{(x-1)\cdot(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x-1}$$

Also ist %%x=1%% eine senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel.

Außerdem ist in diesem Fall %%x=1%% keine hebbare Definitionslücke, da auch gekürzt %%x=1%% weiterhin eine Nullstelle des Nenners ist.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

$$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x^2-1}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{x^2-2x+1}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\cdot\overbrace{(1-\frac1{x^2})}^{\rightarrow1^-}}{x^2\cdot\underbrace{(1-\frac2x+\frac1{x^2})}_{\rightarrow1^-}}=1^+$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{x^2-1}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{x^2-2x+1}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2\cdot\overbrace{(1-\frac1{x^2})}^{\rightarrow1^-}}{x^2\cdot\underbrace{(1-\frac2x+\frac1{x^2})}_{\rightarrow1^+}}=1^-$$

%%\Rightarrow y=1%%

%%y=1%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f(x)=\frac{2x^3-x^2}{x^3+x^2}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac{2x^3-x^2}{x^3+x^2}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%x^3+x^2=0%%

%%x^2%% ausklammern.

%%x^2\left(x+1\right)=0%%

%%\Rightarrow x_1=0%%, %%x_2=-1%%

Aber:

Eigentlich wurden oben zwei senkrechte Asymptoten gefunden.

Das ist allerdings nicht der Fall.

$$f(x)=\frac{2x^3-x^2}{x^3+x^2}$$

Durch %%x^2%% ausklammern in Zähler und Nenner folgt.

$$=\frac{x^2\cdot(2x-1)}{x^2\cdot(x+1)}=\frac{2x-1}{x+1}$$

Also ist %%x_2=-1%% die einzige senkrechte Asymptote und %%x_1=0%% ist eine hebbare Definitionslücke.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

$$f(x)=\frac{2x^3-x^2}{x^3+x^2}$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3-x^2}{x^3+x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{2x-1}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{x+1}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\cdot\overbrace{(2-\frac1x)}^{\rightarrow2^-}}{x\cdot\underbrace{(1+\frac1x)}_{\rightarrow1^+}}=2^-$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^3-x^2}{x^3+x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{2x-1}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{x+1}_{\rightarrow-\infty}}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\cdot\overbrace{(2-\frac1x)}^{\rightarrow2^+}}{x\cdot\underbrace{(1+\frac1x)}_{\rightarrow1^-}}=2^+$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

%%\Rightarrow y=2%%

%%y=2%% ist eine waagrechte Asymptote.

%%f(x)=\frac{x+\left|x\right|}{\left|x\right|-1}%%

Senkrechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac{x+\left|x\right|}{\left|x\right|-1}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%\left|x\right|-1=0%%

%%\mid+1%%

%%\left|x\right|=1%%

%%x_1=1%%, %%x_2=-1%%

Aber:

%%x_1=1%% ist eine senkrechte Asymptote.

$$f(x)=\frac{x-x}{-x-1}=0$$

Für alle %%x\in\mathbb{R}^-\backslash\{-1\}%% gilt für %%f(x)%%:

%%\Rightarrow%% Also kann %%x_2=-1%% keine senkrechte Asymptote sein.

Der Graph von f hat dort die Lücke %%(-1\vert0)%%.

Waagerechte Asymptote

Artikel zum Thema

%%f(x)=\frac{x+\left|x\right|}{\left|x\right|-1}%%

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+|x|}{|x|+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{2x}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{x-1}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

Da %%x%% in diesem Fall immer positiv ist kann der Betrag weggelassen werden.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{x\cdot\underbrace{(1-\frac1x)}_{\rightarrow1^-}}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac2{\underbrace{1-\frac1x}_{\rightarrow1^-}}=2^+$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+|x|}{|x|+1}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x-x}{-x+1}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.  

Da %%x%% in diesem Fall immer negativ ist kann der Betrag durch %%-%% ersetzt werden.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac0{\underbrace{-x+1}_{\rightarrow+\infty}}=0$$

%%\Rightarrow y_1=2%% und %%y_2=0%%

%%y_1=2%% ist eine waagrechte Asymptote für %%x\rightarrow+\infty%%.

%%y_2=0%% ist eine waagrechte Asymptote für %%x\rightarrow-\infty%%.

%%f(x)=\frac{-4x^3+8x^2+23x}{9x^2-18x+9}%%

$$f(x)=\frac{-4x^3+8x^2+23x}{9x^2-18x+9}$$

Setze den Nenner gleich 0.

%%9x^2-18x+9=0%%

%%9\cdot(x^2-2x+1)=0%%

%%\mid:9%%

%%(x-1)^2=0%%

%%\Rightarrow x=1%%

%%x=1%% ist eine senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel.

$$f(x)=\frac{-4x^3+8x^2+23x}{9x^2-18x+9}$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{-4x^3+8x^2+23x}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{9x^2-18x+9}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3\cdot\overbrace{(-4+\frac8x+\frac{23}{x^2})}^{\rightarrow(-4)^+}}{x^3\cdot\underbrace{(\frac9x-\frac{18}{x^2}+\frac9{x^3})}_{\rightarrow0^+}}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{-4+\frac8x+\frac{23}{x^2}}^{\rightarrow(-4)^+}}{\underbrace{\frac9x-\frac{18}{x^2}+\frac9{x^3}}_{\rightarrow0^+}}=-\infty$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{-4x^3+8x^2+23x}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{9x^2-18x+9}_{\rightarrow+\infty}}$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^3\cdot\overbrace{(-4+\frac8x+\frac{23}{x^2})}^{\rightarrow(-4)^-}}{x^3\cdot\underbrace{(\frac9x-\frac{18}{x^2}+\frac9{x^3})}_{\rightarrow0^-}}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{-4+\frac8x+\frac{23}{x^2}}^{\rightarrow(-4)^-}}{\underbrace{\frac9x-\frac{18}{x^2}+\frac9{x^3}}_{\rightarrow0^-}}=+\infty$$

%%\Rightarrow%% In diesem Fall gibt es keine waagrechte Asymptoten.

$$f(x)=\frac{-4x^3+8x^2+23x}{9x^2-18x+9}$$

Der Zählergrad ist um 1 größer als der Nennergrad.

%%\Rightarrow%% es existiert eine schiefe Asymptote.

Variante 1: Polynomdivision

$$f(x)=\frac{-4x^3+8x^2+23x}{9x^2-18x+9}$$

$$\hphantom{-}(-4x^3+8x^2+23x):(9x^2-18x+9)=-\frac{4}{9}x+\frac{27x}{9x^2-18x+9}\\ \underline{-(-4x^3+8x^2-4x)}\\ \hphantom{-(-4x^3+8x^2-)}27x $$

$$\lim_{x \rightarrow \pm\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow \pm\infty}-\frac{4}{9}x+\underbrace{\frac{27x}{9x^2-18x+9}}_{\rightarrow 0}=-\frac{4}{9}x$$

%%\displaystyle-\frac{4}{9}x%% ist die schiefe Asymptote.

Variante 2: Funktionsterm umformen

$$f(x)=\frac{-4x^3+8x^2+23x}{9x^2-18x+9}\\ = -\frac{4}{9}x\cdot\frac{x^2-2x-\frac{23}{4}}{x^2-2x+1}\\ = -\frac{4}{9}x\cdot\frac{x^2-2x+1-1-\frac{23}{4}}{x^2-2x+1}\\ = -\frac{4}{9}x\cdot\left(\frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+1}+\frac{-1-\frac{23}{4}}{x^2-2x+1}\right)\\ = -\frac{4}{9}x\cdot\frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+1}-\frac{4}{9}x\cdot\frac{-1-\frac{23}{4}}{x^2-2x+1}$$

$$\lim_{x \rightarrow \pm\infty}-\frac{4}{9}x\cdot\frac{(x^2-2x+1)}{(x^2-2x+1)}-\frac{4}{9}x\cdot\frac{-1-\frac{23}{4}}{x^2-2x+1}\\ =\lim_{x \rightarrow \pm\infty}-\frac{4}{9}x\underbrace{-\frac{4}{9}\cdot\frac{-1-\frac{23}{4}}{x-2+\frac{1}{x}}}_{\rightarrow 0}\\ =-\frac{4}{9}x$$

Ein %%x%% des Zählers und die Koeffizienten der höchsten Potenzen von Zähler und Nenner ausklammern, nach vorne ziehen und danach im Zähler den Nenner durch geschicktes Ergänzen reproduzieren.

Dadurch erhältst du einen Term, bei dem du den ersten Bruch komplett kürzen kannst und bei dem der Grenzwert des zweiten Bruchs eine Zahl ist.

%%\displaystyle-\frac{4}{9}x%% ist die schiefe Asymptote.

%%f(x)=\frac{\left(x+3\right)^2\cdot(x^2-1)}{\left(x+3\right)\cdot(x^2+1)}%%

$$f(x)=\frac{\left(x+3\right)^2\cdot(x^2-1)}{\left(x+3\right)\cdot(x^2+1)}$$

Setze den Nenner gleich 0.

%%\left(x+3\right)\cdot(x^2+1)=0%%

Setze die erste Klammer gleich 0.

%%x+3=0%%

%%\mid-3%%

%%\Rightarrow x=-3%%

%%x=-3%% ist eine Nullstelle des Nenners.

%%x^2+1=0%%

Setze die zweite Klammer gleich 0.

%%\Rightarrow%% In diesem Fall gibt es keine weiteren senkrechten Asymptoten.

Aber:

In diesem Fall ist %%x=-3%% keine Senkrechte Asymptote.

$$f(x)=\frac{\left(x+3\right)^2\cdot(x^2-1)}{\left(x+3\right)\cdot(x^2+1)}$$

Kürzen von %%(x+3)%% liefert.

$$=\frac{(x+3)\cdot(x^2-1)}{x^2+1}$$

Also ist %%x=-3%% eine hebbare Definitionslücke.

$$f(x)=\frac{\left(x+3\right)^2\cdot(x^2-1)}{\left(x+3\right)\cdot(x^2+1)}$$

Kürze %%(x+3)%%.

$$=\frac{(x+3)\cdot(x^2-1)}{x^2+1}$$

$$=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+1}$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{x^3+3x^2-x-3}^{\rightarrow+\infty}}{\underbrace{x^2+1}_{\rightarrow+\infty}}=$$

Grenzwert gegen %%+\infty%% bilden.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3\cdot\overbrace{(1+\frac3x-\frac1{x^2}-\frac3{x^3}}^{\rightarrow1^+}}{x^3\cdot\underbrace{(\frac1{x}+\frac1{x^3})}_{\rightarrow0^+}}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\overbrace{(1+\frac3x-\frac1{x^2}-\frac3{x^3}}^{\rightarrow1^+}}{\underbrace{(\frac1{x}+\frac1{x^3})}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{x^3+3x^2-x-3}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{x^2+1}_{\rightarrow+\infty}}=$$

Grenzwert gegen %%-\infty%% bilden.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^3\cdot\overbrace{(1+\frac3x-\frac1{x^2}-\frac3{x^3}}^{\rightarrow1^-})}{x^3\cdot\underbrace{(\frac1{x}+\frac1{x^3})}_{\rightarrow0^-}}$$

Größte Potenz von %%x%% ausklammern.

$$=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\overbrace{(1+\frac3x-\frac1{x^2}-\frac3{x^3})}^{\rightarrow1^-}}{\underbrace{(\frac1{x}+\frac1{x^3})}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$$

%%\Rightarrow%% In diesem Fall gibt es keine waagrechte Asymptote.

$$f(x)=\frac{\left(x+3\right)^2\cdot(x^2-1)}{\left(x+3\right)\cdot(x^2+1)}=$$

Kürze %%(x+3)%%.

$$=\frac{(x+3)\cdot(x^2-1)}{x^2+1}$$

$$=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+1}$$

Der Zählergrad ist um 1 größer als der Nennergrad.

%%\Rightarrow%% es existiert eine schiefe Asymptote.

Führe die Polynomdivision durch.

$$\hphantom{-}(x^3+3x^2-x-3):(x^2+1)=x+3+\frac{-2x-6}{x^2+1}\\ \underline{-(x^3\hphantom{+3x^2}+x)}\\ \hphantom{-(x^3+}3x^2-2x\\ \hphantom{-(x^3}\underline{-(3x^2\hphantom{-2x}+3)}\\ \hphantom{-(x^3-(3x^2}-2x-6 $$

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} x+3+\underbrace{\frac{-2x-6}{x^2+1}}_{\rightarrow 0}=x+3 $$

%%\Rightarrow g(x)=x+3%% ist eine schiefe Asymptote.

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Zu topic-folder Aufgaben zum Berechnen von Asymptoten: Fehlender Hinweis
Tinsaye 2015-09-01 20:54:10
Aufgabec " 1.Bestimme die Asymptoten: c " Da stimmt was mit dem Hinweis nicht.
Nish 2015-09-03 08:28:01
es scheint keinen Hinweis zu geben. In der Lösung wird auch nicht über einen Hinweis gesprochen. Ich würde daher den "Hinweis" löschen. Einverstanden?
Tinsaye 2015-09-03 11:03:20
Jap :)
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