Ein Wendepunkt %%P\left(x_P\mid f(x_P)\right)%% ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. Ist die Tangente durch diesen Punkt horizontal, so nennen wir ihn einen Terrassen- oder Sattelpunkt.

Anmerkung: In diesem Artikel wird %%f%% als dreimal differenzierbar angenommen.

Wendepunkt

Definition

Ein Wendepunkt (WEP) einer Funktion %%f%% ist ein Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen von %%f%% ändert.

Dies ist gleichbedeutend dazu, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung in %%x_0%% ändert.

Bild von Wendepunkt eines Graphen

Berechnung

Notwendiges Kriterium

Für jeden Wendepunkt %%x_0%% einer Funktion %%f%% gilt, dass %%f''(x_0)=0%%. Die zweite Ableitung von %%f%% gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.

Vorsicht

Wenn man weiß, dass die zweite Ableitung einer Funktion %%f%% an der Stelle %%x_0%% gleich null ist, kann man nicht darauf schließen, dass %%f%% dort einen Wendepunkt hat. Als Beispiel betrachten wir %%f(x)=x^4%%. Die zweite Ableitung ist von der Form %%f''(x)=12 \cdot x^2%%. Bei %%x_0=0%% hat %%f''%% eine Nullstelle, allerdings hat %%f%% keinen Wendepunkt bei null.

Hinreichendes Kriterium

Wenn

  • %%f''(x_0)=0%% und zusätzlich
  • %%f'''(x_0)\neq 0%%

gelten, dann besitzt %%f%% an der Stelle %%x_0%% einen Wendepunkt.

Vorsicht

Gelten diese Bedingungen nicht, so schließt dies nicht aus, dass bei %%x_0%% ein Wendepunkt vorliegt. Zum Beispiel hat %%f%%, gegeben durch %%f(x)=x^5%% einen Wendepunkt bei %%x_0=0%%, allerdings ist %%f'''(0)=20 \cdot 0^3=0%%.

Vorgehen

Um die Wendepunkt nun tatsächlich zu berechnen, geht man wie folgt vor:

  • Berechne die ersten 3 Ableitungen %%f'%%, %%f''%% und %%f'''%% von %%f%%.
  • Finde alle Nullstellen %%x_i%% von %%f''%%.
  • Für jede Nullstelle %%x_i%% von %%f''%% prüfe, ob %%f'''(x_i) \neq 0%%.
    • Wenn ja %%\Rightarrow x_i%% ist ein Wendepunkt.
    • Wenn nicht: Prüfe, ob %%f''%% bei %%x_0%% das Vorzeichen wechselt.
  • Gib die Wendepunkte in der Form %%P_i\left(x_i \mid f(x_i)\right)%% an.
Beispielaufgabe

Gegeben sei die Funktion %%f(x)=\sin\left(x\right)+1,5\cdot x%% . Bestimme alle Wendepunkte.

Lösung: Um die Wendepunkte zu bestimmen, benötigt man die erste, zweite und dritte Ableitung:

  • %%f'(x)=\cos(x) +1.5%%
  • %%f''(x)=-\sin(x)%%
  • %%f'''(x)=-\cos(x)%%

Nun findet man heraus, an welchen Stellen die höheren Ableitungen gleich Null werden:

  • %%f''(x)=0\;\Leftrightarrow\;-\sin(x)=0\;\Leftrightarrow\;x=k\cdot\pi,\;k\;\in\mathbb{Z}%%
  • %%f'''(x)=0\Leftrightarrow\;-\cos(x)=0\;\Leftrightarrow x=\frac\pi2+k\cdot\pi,\;k\;\in\mathbb{Z}%%

Nach obigem Kriterium hat die Funktion Wendepunkte an den Stellen %%x_{WEP}=k\cdot\pi,\;k\in\mathbb{Z}%% , da an diesen Stellen die zweite Ableitung gleich Null und die dritte Ableitung ungleich Null ist.

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Terrassenpunkt oder Sattelpunkt

Definition

Ein Terrassenpunkt (TEP) oder Sattelpunkt (STP) ist ein Wendepunkt, in dem die Steigung einer Funktion 0 wird.

Berechnung

Zusätzlich zu den Bedingungen des Wendepunkts, ist bei einem Terrassenpunkt auch noch die erste Ableitung 0.

  • %%f'(x_\mathrm{STP})=0%%
  • %%f''(x_\mathrm{STP})=0%%
  • %%f''%% wechselt bei %%x_\mathrm{STP}%% das Vorzeichen (gilt z.B., wenn %%f'''(x_\mathrm{STP})\neq0%%)

Bild von Terassenpunkt von Graphen

Beispielaufgabe

Gegeben sei die Funktion %%f(x)=\sin\left(x\right)+x%%. Bestimme alle Terrassenpunkte.

Lösung: Um die Wendepunkte zu bestimmen, benötigt man die erste, zweite und dritte Ableitung:

  • %%f'(x)=\cos(x)+1%%
  • %%f'(x)=-\sin(x)%%
  • %%f'(x)=-\cos(x)%%

Nun findet man heraus, an welchen Stellen die jeweiligen Ableitungen gleich Null werden:

  • %%f'(x)=0\;\Leftrightarrow\;\cos(x)=-1\Leftrightarrow x=(2k+1)\cdot\pi,\;k\in\mathbb{Z}%% .
  • %%f''(x)=0\;\Leftrightarrow\;-\sin(x)=0\;\Leftrightarrow\;x=k\cdot\pi,\;k\;\in\mathbb{Z}%%
  • %%f'''(x)=0\Leftrightarrow\;-\cos(x)=0\;\Leftrightarrow x=\frac\pi2+k\cdot\pi,\;k\;\in\mathbb{Z}%%

Nach obigem Kriterium hat die Funktion Terrassenpunkte an den Stellen %%x_{WEP}=(2k+1)\cdot\pi,\;k\in\mathbb{Z}%%, da an diesen Stellen die erste Ableitung gleich Null, die zweite Ableitung gleich Null und die dritte Ableitung ungleich Null ist.

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Karina-MOS 2018-11-13 15:19:54
Dieses Thema ist nach neuem Lehrplan in der 11.KLasse
Nish 2018-11-15 20:21:32
Vielen vielen Dank schonmal für deinen Hinweis, Karina-MOS! Aus Zeitgründen melde ich mich morgen Abend bei dir nochmal um genauer auf deinen Kommentar einzugehen!

LG,
Nish
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