Wendepunkte und Terrassenpunkte

Ein Wendepunkt $P(x_P|f(x_P))$ ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. Ist die Tangente durch diesen Punkt horizontal, so nennen wir ihn einen Terrassen- oder Sattelpunkt.

Anmerkung: In diesem Artikel wird $f$ als dreimal differenzierbar angenommen.

Wendepunkt

Berechnung

Notwendiges Kriterium

Für jeden Wendepunkt $x_0$ einer Funktion $f$ gilt, dass $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. Die zweite Ableitung von $f$ gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.

Hinreichendes Kriterium

Wenn

• $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ und zusätzlich

• $f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$

gelten, dann besitzt $f$ an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt.

Vorgehen

Um die Wendepunkte nun tatsächlich zu berechnen, geht man wie folgt vor:

• Berechne die ersten 3 Ableitungen $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ und $f^{\prime \prime \prime }$ von $f$.

• Finde alle Nullstellen $x_i$ von $f^{\prime \prime }$.

• Für jede Nullstelle $x_i$ von $f^{\prime \prime }$ prüfe, ob $f^{\prime \prime \prime }(x_i)\ne 0$.

  • Wenn ja $\Rightarrow x_i$ ist ein Wendepunkt.

  • Wenn nicht: Prüfe, ob $f^{\prime \prime }$ bei $x_0$ das Vorzeichen wechselt.

• Gib die Wendepunkte in der Form $P_i(x_i|f(x_i))$ an.

Terrassenpunkt oder Sattelpunkt