Die normalen Extrema einer stetig differenzierbaren Funktion findet man an Nullstellen ihrer Ableitung (jedoch nicht unbedingt an allen!).

Um die  %%x%%-Werte der Hoch- und Tiefpunkte zu finden reicht es, die Nullstellen der 1. Ableitung zu finden und zu überprüfen, ob an diesen Stellen wirklich Extrema vorliegen.  Die %%y%%-Werte lassen sich durch einfaches Einsetzen der %%x%%-Werte in die Funktion berechnen.

 

Zusätzlich haben Funktionen mit (einseitg) abgeschlossenem Definitionsbereich immer noch ein Extremum an diesem Definitionsrand, das von der normalen Vorgehensweise meistens nicht gefunden wird.

 

Berechnung der x-Werte

Man berechnet den x-Wert des möglichen Extremums von f(x) durch Nullsetzen der ersten Ableitung der Funktion, deren Extremum bestimmt werden soll (also %%f'(x)=0%%) und Auflösen der Gleichung nach %%x%%, da bei einem Extremum die Steigung der Funktion immer 0 ist.

 

Art des Extremums

Um zu bestimmen, welche Art von Extremum vorliegt, prüft man, ob die 2. Ableitung der Funktion an der möglichen Extremstelle größer (Tiefpunkt) oder kleiner (Hochpunkt) als 0 ist (%%f''(x_E)= \;?%%). Dafür muss der vorher berechnete %%x%%-Wert %%x_E%% diesmal in die 2. Ableitung der Funktion f eingesetzt werden. Falls sie 0 ist, handelt es sich unter Umständen um keinen Extrempunkt, sondern um einen Terrassenpunkt.

Erhältst du für die 2. Ableitung an der Stelle %%x_E%% eine Nullstelle, dann kannst du noch den Vorzeichenwechsel bei %%x_E%% überprüfen. (siehe die Tabelle hier).

 

Berechnung der y-Werte

Man berechnet den y-Wert des möglichen Extremums an der Stelle %%x_E%% durch Einsetzen des erhaltenen x-Wertes in die Funktion %%f%% (also%%f(x_E)=y_E%%) .

Beispiele

Beispiel 1:

Zu untersuchende Funktion:

%%f(x)=x^2-1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8421_mrm0FQiQR6.xml

%%f'(x)=2x%%

Bestimmung der 1. Ableitung

%%f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0%%

%%\;\; \Rightarrow x_E=0%%

Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung

%%f''(x)=2%%

Bestimmung der 2. Ableitung

%%f''(x_E)=2 > 0%%

Einsetzen von %%x _E%% in die 2. Ableitung %%\Rightarrow%% bei %%x _E%% ist ein Tiefpunkt

%%f(x_E)=-1%%

%%f%% hat also einen Tiefpunkt bei %%\left(0\mid -1\right)%%

Bestimmung der %%y%%-Koordinate

%%\;%%

Beispiel 2:

Zu untersuchende Funktion:

%%g(x)=x^3+1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8423_SdmEJW5TEQ.xml

%%g'(x) = 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x=0%%

%%\;\;\Rightarrow x_E=0%%

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

%%g''(x)=6x \Rightarrow g''(x _E)=0%%

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen von %%x_E%%

%%g'(-0.01)= \frac{3}{10 000}>0%%

%%g'(0.01)= \frac{3}{10 000}>0%%

Überprüfung eines Vorzeichenwechsels mit Werten nahe bei %%x _E%%; die Funktion steigt in einer Umgebung um %%x _E%%. Also liegt ein Terrassenpunkt vor.

%%g(x_E)=1%%

%%g%% hat also einen Terrassenpunkt %%T%% bei %%\left(0\mid 1 \right)%%

Bestimmung der %%y%%-Koordinate

%%\;%%

Beispiel 3:

Zu untersuchende Funktion:

%%h(x)=x^6-x^2%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8425_qt6TEgkBEy.xml

%%h'(x)=6x^5 - 2x = x \cdot \left( 6x^4-2 \right) = 0%%

%%\Leftrightarrow x_1=0, x_{2,3} = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}%%

Bestimmung der 1. Ableitung und Nullsetzen der Ableitung

%%h''(x) = 30x^4 - 2%%

%%h''(x_1)=-2%%

%%h''(x_2)=h''(x_3)=8%%

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen der x-Werte. Bei %%x _1%% ist ein Hochpunkt und bei %%x _2%% und %%x _3%% sind Tiefpunkte.

%%HP = \left( 0 \mid 0 \right)%%

%%TP_1 = \left(-\sqrt[4]{\frac{1}{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt3} \right)%%

%%TP_2 = \left(\sqrt[4]{\frac{1}{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt3} \right)%%

Bestimmung der y-Koordinaten

%%\;%%

Beispiel 4:

Zu untersuchende Funktion:

%%f(x)=\sqrt(x)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8427_c0w4zQOkOo.xml

%%f'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}\neq0%%

Bestimmung und Nullsetzen der 1.Ableitung . Die 1. Ableitung hat keine Nullstellen.

%%\;%%

Hat die Funktion also keine Extrema?

%%\;%%

Doch, denn %%D _f=[0;\infty)%% und der Definitionsbereich der Funktion ist auf einer Seite abgeschlossen.

%%f(0)=0%%

%%f'(0)= +\infty >0%%

Betrachtung des Definitionsrandes

Man hat ein Extremum bei %%x=0%% und es ist ein Minimum, da die Funktion dort wächst.

%%\Rightarrow TP = (0 \mid0)%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Extrema berechnen:
Rebi 2017-07-12 14:32:50
Ich finde, hier sollte die Alternative Möglichkeit der Extrempunktbestimmung mittels Monotonietabelle auch auftauchen. Ich habe gesehen, dass dies im Artikel zum Monotonieverhalten vorgestellt wird. Ich fände es aber hier auch sehr wichtig, also sollte man meiner Meinung nach zumindest mit einem Link auf das Thema verweisen.
LG, Rebi
Rebi 2017-07-12 14:37:29
Ich habe gesehen, dass unter dem Artikel "Extremum" auch alle Verfahren vorgestellt werden, hätte dieses aber eher bei diesem Artikel "Extremum berechnen" erwartet.
metzgaria 2017-07-17 12:34:52
Hallo Rebi!
Ich habe es mal in unser Dokument eingetragen, aber wenn du magst, darfst du auch gerne selbst durchstarten und es dann als erledigt eintragen. ;)
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