Die normalen Extrema einer stetig differenzierbaren Funktion findet man an Nullstellen ihrer Ableitung (jedoch nicht unbedingt an allen!).

Um die  %%x%%-Werte der Hoch- und Tiefpunkte zu finden reicht es, die Nullstellen der 1. Ableitung zu finden und zu überprüfen, ob an diesen Stellen wirklich Extrema vorliegen.  Die %%y%%-Werte lassen sich durch einfaches Einsetzen der %%x%%-Werte in die Funktion berechnen.

 

Zusätzlich haben Funktionen mit (einseitg) abgeschlossenem Definitionsbereich immer noch ein Extremum an diesem Definitionsrand, das von der normalen Vorgehensweise meistens nicht gefunden wird.

 

Berechnung der x-Werte

Man berechnet den x-Wert des möglichen Extremums von f(x) durch Nullsetzen der ersten Ableitung der Funktion, deren Extremum bestimmt werden soll (also %%f'(x)=0%%) und Auflösen der Gleichung nach %%x%%, da bei einem Extremum die Steigung der Funktion immer 0 ist.

 

Art des Extremums

Um zu bestimmen, welche Art von Extremum vorliegt, prüft man, ob die 2. Ableitung der Funktion an der möglichen Extremstelle größer (Tiefpunkt) oder kleiner (Hochpunkt) als 0 ist (%%f''(x_E)= \;?%%). Dafür muss der vorher berechnete %%x%%-Wert %%x_E%% diesmal in die 2. Ableitung der Funktion f eingesetzt werden. Falls sie 0 ist, handelt es sich unter Umständen um keinen Extrempunkt, sondern um einen Terrassenpunkt.

Erhältst du für die 2. Ableitung an der Stelle %%x_E%% eine Nullstelle, dann kannst du noch den Vorzeichenwechsel bei %%x_E%% überprüfen. (siehe die Tabelle hier).

 

Berechnung der y-Werte

Man berechnet den y-Wert des möglichen Extremums an der Stelle %%x_E%% durch Einsetzen des erhaltenen x-Wertes in die Funktion %%f%% (also%%f(x_E)=y_E%%) .

Beispiele

Beispiel 1:

Zu untersuchende Funktion:

%%f(x)=x^2-1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8421_mrm0FQiQR6.xml

%%f'(x)=2x%%

Bestimmung der 1. Ableitung

%%f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0%%

%%\;\; \Rightarrow x_E=0%%

Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung

%%f''(x)=2%%

Bestimmung der 2. Ableitung

%%f''(x_E)=2 > 0%%

Einsetzen von %%x _E%% in die 2. Ableitung %%\Rightarrow%% bei %%x _E%% ist ein Tiefpunkt

%%f(x_E)=-1%%

%%f%% hat also einen Tiefpunkt bei %%\left(0\mid -1\right)%%

Bestimmung der %%y%%-Koordinate

%%\;%%

Beispiel 2:

Zu untersuchende Funktion:

%%g(x)=x^3+1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8423_SdmEJW5TEQ.xml

%%g'(x) = 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x=0%%

%%\;\;\Rightarrow x_E=0%%

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

%%g''(x)=6x \Rightarrow g''(x _E)=0%%

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen von %%x_E%%

%%g'(-0.01)= \frac{3}{10 000}>0%%

%%g'(0.01)= \frac{3}{10 000}>0%%

Überprüfung eines Vorzeichenwechsels mit Werten nahe bei %%x _E%%; die Funktion steigt in einer Umgebung um %%x _E%%. Also liegt ein Terrassenpunkt vor.

%%g(x_E)=1%%

%%g%% hat also einen Terrassenpunkt %%T%% bei %%\left(0\mid 1 \right)%%

Bestimmung der %%y%%-Koordinate

%%\;%%

Beispiel 3:

Zu untersuchende Funktion:

%%h(x)=x^6-x^2%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8425_qt6TEgkBEy.xml

%%h'(x)=6x^5 - 2x = x \cdot \left( 6x^4-2 \right) = 0%%

%%\Leftrightarrow x_1=0, x_{2,3} = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}%%

Bestimmung der 1. Ableitung und Nullsetzen der Ableitung

%%h''(x) = 30x^4 - 2%%

%%h''(x_1)=-2%%

%%h''(x_2)=h''(x_3)=8%%

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen der x-Werte. Bei %%x _1%% ist ein Hochpunkt und bei %%x _2%% und %%x _3%% sind Tiefpunkte.

%%HP = \left( 0 \mid 0 \right)%%

%%TP_1 = \left(-\sqrt[4]{\frac{1}{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt3} \right)%%

%%TP_2 = \left(\sqrt[4]{\frac{1}{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt3} \right)%%

Bestimmung der y-Koordinaten

%%\;%%

Beispiel 4:

Zu untersuchende Funktion:

%%f(x)=\sqrt(x)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8427_c0w4zQOkOo.xml

%%f'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}\neq0%%

Bestimmung und Nullsetzen der 1.Ableitung . Die 1. Ableitung hat keine Nullstellen.

%%\;%%

Hat die Funktion also keine Extrema?

%%\;%%

Doch, denn %%D _f=[0;\infty)%% und der Definitionsbereich der Funktion ist auf einer Seite abgeschlossen.

%%f(0)=0%%

%%f'(0)= +\infty >0%%

Betrachtung des Definitionsrandes

Man hat ein Extremum bei %%x=0%% und es ist ein Minimum, da die Funktion dort wächst.

%%\Rightarrow TP = (0 \mid0)%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Extrema berechnen:
Astor 2019-12-20 15:24:46+0100
Meine Meinung zur Bestimmung der Maxima und Minima mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung: Ich vermeide die 2. Ableitung und betrachte statt dessen die Vorzeichen der 1. Ableitung links und rechts von der Nullstelle der 1. Ableitung.
Der Vorteil m.E.: Die Schüler müssen die entsprechenden Bedingungen der 2. Ableitung nicht wissen. Und eventuelle Fehler bei Berechnung der 2. Ableitung haben keine Auswirkungen. Die Schüler lernen bei der Vorzeichensuche noch etwas. So habe ich immer eine Hilfsfunktion bestimmen lassen, die das gleiche Vorzeichenverhalten wie die 1. Ableitung. Die Schüler konnten ihre Fähigkeit elemtare Funktionen graphisch darzustellen und entsprechend auszuwerten.
wolfgang 2020-01-08 18:37:25+0100
Hallo Astor,
ich persönlich finde, dass je nach Funktion die Berechnung mit zweiter Ableitung bzw. Vorzeichenuntersuchung einfacher ist bzw schneller geht.

Bei Funktionen, bei denen die zweite Ableitung kompliziert ist, würde ich immer für Vorzeichenuntersuchung der ersten Ableitung plädieren. Bei Polynomfunktion hingegen finde ich den Test mit zweiter Ableitung einfach viel schneller.

im Artikel zu Extrema (http://de.serlo.org/1579) sind auch beide Möglichkeiten vorgestellt. Was hältst du davon hier eines der Beispiel mit dem Vorzeichenkriterium zu machen?

Liebe Grüße
Wolfgang
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Zu article Extrema berechnen:
Rebi 2017-07-12 14:32:50+0200
Ich finde, hier sollte die Alternative Möglichkeit der Extrempunktbestimmung mittels Monotonietabelle auch auftauchen. Ich habe gesehen, dass dies im Artikel zum Monotonieverhalten vorgestellt wird. Ich fände es aber hier auch sehr wichtig, also sollte man meiner Meinung nach zumindest mit einem Link auf das Thema verweisen.
LG, Rebi
Rebi 2017-07-12 14:37:29+0200
Ich habe gesehen, dass unter dem Artikel "Extremum" auch alle Verfahren vorgestellt werden, hätte dieses aber eher bei diesem Artikel "Extremum berechnen" erwartet.
metzgaria 2017-07-17 12:34:52+0200
Hallo Rebi!
Ich habe es mal in unser Dokument eingetragen, aber wenn du magst, darfst du auch gerne selbst durchstarten und es dann als erledigt eintragen. ;)
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