Ein Linearfaktor ist ein Ausdruck der Form %%x-N%% , wobei %%x%% die Variable und %%N%% eine konkrete Zahl ist.

Manche Polynome kann man als Produkt von Linearfaktoren schreiben, also in der Form $$f(x) = a \cdot (x-N_1) \cdots (x-N_n).$$

Diese Form nennt man die Linearfaktordarstellung von %%f%%.

Für Polynome, bei denen eine solche Darstellung nicht möglich ist, gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung ähnlich ist: $$f(x) = a \cdot (x-N_1) \cdots (x-N_k) \cdot (\text{Restglied}),$$

wobei das Restglied wieder ein Polynom ist, welches keine reellen Nullstellen besitzt.

Bringt man ein Polynom in seine Linearfaktordarstellung, so nennt man diesen Vorgang Linearfaktorzerlegung.

Linearfaktordarstellung in Abhängigkeit der Nullstellen

Im Allgemeinen hat ein Polynom die Form

$$a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + a_{n-2} \cdot x^{n-2} + \dots + a_1 \cdot x + a_0$$

und besitzt maximal %%n%% Nullstellen. 

Es lassen sich nun 2 Fälle unterscheiden:

  • Entweder das Polynom hat %%n%% Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen dabei auch mehrfach zählt, (es müssen also nicht %%n%% verschiedene Nullstellen sein)

  • oder das Polynom hat trotz Zählung aller Nullstellen mit ihren Vielfachheiten immer noch weniger als %%n%% Nullstellen.

%%n%% Nullstellen

Sei %%f(x)= a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + a_{n-2} \cdot x^{n-2} + \dots + a_1 \cdot x + a_0%% ein Polynom, das, wenn man mehrfache Nullstellen mehrfach zählt, die Maximalzahl von %%n%% Nullstellen hat.

Seien nun %%N_1,\dots,N_n%% die Nullstellen des Polynoms (wobei auch mehrere Nullstellen gleich sein können).

Dann ist $$f(x) = a_n \cdot (x-N_1) \cdots (x-N_n)$$ die Linearfaktorzerlegung von %%f%%.      

Beispiele

%%f(x)%%

%%f(x)=3x^3 - 3x%%

%%f(x) = x^3 - 2x^2%%

%%f(x) = 2x^3%%

Linearfaktordarstellung

%%f(x) = 3 \cdot (x+1) \cdot (x+0) \cdot (x-1)%%

%%f(x) = 1 \cdot (x-0) \cdot (x-0) \cdot (x-2)%%

%%f(x) = 2 \cdot (x-0) \cdot (x-0) \cdot (x-0)%%

Graph

7931_DFsdfb7YhT.xml

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9475_j1ZNFVmvPJ.xml

7935_G5rxsZEzD9.xml

Weniger als %%n%% Nullstellen

Im Allgemeinen kann man über den reellen Zahlen aber nicht davon ausgehen, dass ein Polynom seinem Grad entsprechend viele Nullstellen besitzt (z. B. besitzt %%x^2+1%%  überhaupt keine Nullstellen, hat aber Grad 2).

Für solche Polynome gibt es eine Darstellung, die der Linearfaktordarstellung ähnlich ist:

$$f(x) = a \cdot (x-N_1) \cdots (x-N_k) \cdot (\text{Restglied}),$$

wobei das %%\text{Restglied}%% wieder ein Polynom ist, welches allerdings keine reellen Nullstellen besitzt.

Das Restglied lässt sich zum Beispiel mit Hilfe der Polynomdivision berechnen, indem man das Ausgangspolynom durch die zu seinen Nullstellen gehörenden Linearfaktoren teilt.

Beispiel

$$f(x) = x^4 - 1 = 1 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 + 1)$$

7951_VdPd6JCBnX.xml

Außerdem lässt sich das Restglied selbst als Produkt von Polynomen vom Grad 2 schreiben.

Warum ist das so?

Jedes reelle Polynom hat über den komplexen Zahlen  seinem Grad entsprechend viele Nullstellen (dies geht aus dem Hauptsatz der Algebra hervor).

Das heißt, man kann das Restglied in Linearfaktoren zerlegen, wobei die Faktoren alle komplex sind.

Außerdem gilt für komplexe Nullstellen von reellen Polynomen, dass auch das komplex konjugierte der Nullstelle eine Nullstelle ist. 

Multipliziert man nun die zueinander konjugierten Linearfaktoren, so erhält man jeweils ein reelles Polynom vom Grad 2.

Damit lässt sich das Restglied als Produkt von Polynomen vom Grad 2 schreiben.

Vorteile der Linearfaktordarstellung

Ablesen der Nullstellen des Polynoms

Liegt ein Polynom in Linearfaktordarstellung vor, so kann man an ihm ohne weitere Rechung die Nullstellen und ihre Vielfachheiten ablesen, da in jedem Linearfaktor eine Nullstelle steht.

Beispiel

$$f(x) = x^3 - x^2 - 2x = (x-(-1)) \cdot (x-0) \cdot (x-2)$$

8169_v3ksUcOriu.xml     

Vereinfachen von Bruchtermen   

Die Linearfaktorzerlegung ist eine wichtige Technik im Umgang mit Bruchtermen.

Die Linearfaktorzerlegung verwandelt eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Nur aus Produkten heraus kann man kürzen, nicht aus Differenzen oder Summen. Das Kürzen vereinfacht den Term oft erheblich.

Beispiel

$$\frac{x^³ - x^2 - 2x}{x^2 - x - 2} = \frac{(x+1)\cdot x \cdot (x-2)}{(x+1)\cdot (x-2)} = x$$

Will man den Hauptnenner zweier oder mehrerer Bruchterme bestimmen, muss man zunächst die Nenner der Brüche faktorisieren. Dazu benötigt man ihre Linearfaktordarstellung.

Beispiel

$$\frac{x^2 + 10}{x^2 - x - 2} + \frac{x-7}{x^2 + x}$$ soll zusammengefasst werden. Mithilife der Linearfaktordarstellung erkennt man den Hauptnenner und kann die Terme gleichnamig machen: $$\frac{x^2 + 10}{x^2 - x - 2} + \frac{x-7}{x^2 + x} = \frac{x^2 + 10}{(x+1) \cdot (x-2)} + \frac{x-7}{x \cdot (x+1)} = \frac{(x^2+10)\cdot x + (x-7) \cdot (x-2)}{x \cdot (x+1) \cdot (x-2)}$$

Durch Kürzen des Funktionsterms kann man bei gebrochenrationalen Funktionen gegebenenfalls die stetige Fortsetzung ermitteln.

Beispiel

$$f(x) = \frac{x^3 - x^2 - 2x}{x^2 - x - 2} = \frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-2)}{(x+1)\cdot(x+2)} = x$$ ergibt, dass $$\tilde f(x) = x$$ die stetige Fortsetzung von %%f%% ist.

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