Graphen können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.

Bei besonderen Achsen bzw. Punkten gibt es einfache Formeln um Symmetrie nachzuweisen:

  • Bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten: %%f(-x)=f(x)%%
  • Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten: %%f(-x)=-f(x)%%

Überprüfung

Durch Berechnung

Setze für %%x%% in die Funktion %%-x%% ein und prüfe ob %%f(-x)=f(x)%% oder %%f(-x)=-f(x)%% gilt.

Beispiele
  • Die Funktion %%f(x)=\frac1{1+x^2}%% ist y-achsensymmetrisch: %%f(-x)=\frac1{1+(-x)^2}=\frac1{1+(-1)^2\cdot x^2}=\frac1{1+x^2}=f(x)%% .

  • Die Funktion %%g(x)=\frac x{1+x^2}%% ist punktsymmetrisch zum Ursprung: %%g(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^2}=\frac{-x}{1+(-1)^2\cdot x^2}=\frac{-x}{1+x^2}=-\frac x{1+x^2}=-g(x)%% .

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Sonderfall: Polynome

Ist ein vorliegendes Polynom vollständig  ausmultipliziert, d.h. hat es die Form  %%a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x^1+a_0%%, so lässt sich aus obigen Regeln folgende Feststellung herleiten:

  • alle Potenzen gerade %%\Rightarrow%% Achsensymmetrie zur y-Achse
  • alle Potenzen ungerade %%\Rightarrow%% Punktsymmetrie zum Ursprung
Beispiele
  • Das Polynom %%f(x)=4x^6-3x^2+1%% ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da es nur die geraden Potenzen 6, 2 und 0 (für die Konstante) enthält.

  • Das Polynom %%g(x)=2x^3+x%% ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es nur die ungeraden Potenzen 3 und 1 enthält.

  • Das Polynom %%h(x)=2x^4+3x^3+3%% ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sowohl gerade (4 und 0) als auch ungerade (3) Potenzen enthält.

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Sonderfall: Gebrochenrationale Funktionen

Die Symmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich über eine getrennte Symmetrie-Untersuchung von Nenner und Zähler bestimmen.

Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse

%%\,%%

Immer wenn Nenner und Zähler gleiche Symmetrien haben

%%f\left(x\right)=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{AS}%%

%%f\left(x\right)=\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{AS}%%

Beispiel

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2-1}\;\begin{array}{c}\rightarrow\;\mathrm{AS}\\\rightarrow\;\mathrm{AS}\end{array}\;\;\Rightarrow\;\mathrm{AS}%%

Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

%%\,%% 

Immer wenn Nenner und Zähler unterschiedliche Symmetrien haben

%%f\left(x\right)=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{PS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{PS}%%

%%f\left(x\right)=\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{AS}}\;\Rightarrow\;\mathrm{PS}%%

Beispiel:

%%f\left(x\right)=\frac x{x^2-1}\;\begin{array}{c}\rightarrow\;\mathrm{PS}\\\rightarrow\;\mathrm{AS}\end{array}\;\;\Rightarrow\;\mathrm{PS}%%

Symmetrie zur allgemeinen Achse

Ein Graph kann auch zu einer allgemeinen Achse symmetrisch sein.

Symmetrie zu einer allgemeinen Achse kann man dann nachweisen, wenn man die Gleichung der Achse gegeben hat oder sie aus einem Graphen ablesen kann.

Wenn die Gleichung der Achse

%%x=c%%

lautet, dann gilt folgende Beziehung:

%%f\left(c-x\right)=f\left(c+x\right)%%

Die y-Achse ist der Spezialfall %%c=0%%.

Beispiel

Aufgabe: Zeige, dass die Funktion %%f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2%% achsensymmetrisch zur Achse %%x=1%% ist.

%%f(1-x)=(1-x-1)^2=x^2%%

%%f(1+x)=(1+x-1)^2=x^2%%

%%\Rightarrow f(1-x)=f(1+x)%%

%%\Rightarrow f%% ist achsensymmetrisch zu %%x=1%%

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Symmetrie zum allgemeinen Punkt

Ein Graph kann auch zu einem allgemeinen Punkt symmetrisch sein. Um die Symmetrie nachzuweisen, muss man den Punkt zuerst kennen oder ihn aus dem Graphen ablesen können.

Hat der Punkt die Koordinaten

%%P\left(x_0|y_0\right)%%.

Dann gilt folgende Beziehung: %%f\left(x_0-x\right)-y_0=-f\left(x_0+x\right)+{y}_0%%

Der Ursprung ist der Spezialfall %%P(0|0)%%.

Beispiel

Aufgabe: Prüfe, ob die Funktion %%f\left(x\right)=\left(x-2\right)^3-1%% punktsymmetrisch zum Punkt %%P(2|-1)%% ist.

%%f(2-x)-(-1)=(2-x-2)^3-1+1=-x^3%%

%%-f(2+x)+(-1)=-((2+x-2)^3-1)+(-1)=-(x^3-1)-1=-x^3+1-1=-x^3%%

%%\Rightarrow f(2-x)-(-1)=-f(2+x)+(-1)%%

%%\Rightarrow f%% punktsymmetrisch zu %%P(2|-1)%%

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Kommentieren Kommentare

Zu article Symmetrie von Graphen:
Kowalsky 2017-06-21 14:03:50
Hallo Metzgaria, die Formel ist jetzt zwar richtig, aber in der Beispielaufgabe steckt noch ein Fehler. Ich schreibe es jetzt nur für die linke Seite der Formel: f(x) =(x-2)^3 - 1; also
f(x0-x) – y0 mit x0 =2 und y0 = -1 folgt: (2-x-2)^3 –1 – (–1) = (-x)^3 (und nicht (-x)^3+1; die -1 von der Funktion hat gefehlt)
metzgaria 2017-07-07 13:22:45
Hallo nochmal,
ohje, die hab ich glatt übersehen! jetzt stimmt es aber hoffentlich
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Zu article Symmetrie von Graphen:
Kowalsky 2017-06-18 15:34:32
Die oben angegebene Formel ist falsch f(x0−x)−y0=−(f(x0+x)+y0). Die Klammer auf der rechten Seite muss weg; also f(x0−x)−y0=−f(x0+x)+y0. Damit ist auch das nachfolgende Beispiel nicht korrekt.
f(2-x) -(-1) = -x^3 analog -f(2+x)+(-1) = -x^3
metzgaria 2017-06-19 08:42:51
Hallo!
Das stimmt natürlich, vielen Dank für die Anmerkung. Haben das direkt verbessert.