(nach einer Abituraufgabe von 2012)
a) Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.
b) Gib einen Term für eine Funktion %%f%% an, sodass die Integralfunktion %%\displaystyle F: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t%% unendlich viele Nullstellen hat.
Für Integrale gilt: %%\displaystyle \int_a^a f(x)\operatorname{d}x =0%%.
Daher hat jede Integralfunktion %%\displaystyle F(x)=\int_a^x f(x)\operatorname{d}x%% die Nullstelle %%x=a%% und damit mindestens eine Nullstelle.
Lösung 1: Für unendlich viele Nullstellen muss die Fläche unter dem Funktionsgraphen immer wechselnd unter und über der x-Achse liegen. Für eine solche Funktion bietet sich der %%\sin(x)%% an. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist dann für alle %%2\pi k,\, k=1;2;3;\ldots%% die Integralfunktion null.
Lösung 2: Eine einfache Lösung gibt es für %%f=0%%. Dann folgt nämlich, dass die Integralfunktion %%F%% ebenfalls konstant gleich Null ist. Insbesondere hat %%F%% in diesem Fall unendlich viele Nullstellen.
Begründe, warum es kein %%\mathrm k\in \mathbb{R}^+%% gibt, das folgende Gleichung erfüllt:
%%\displaystyle\int_0^\mathrm k x^2+1\ \mathrm{d}x=-1%%
Damit der Integral in einem beliebigen Abschnitt negativ wäre, müsste die Funktion in diesem Bereich einen größeren Flächeninhalt unterhalb der x-Achse haben wie oberhalb.
Da %%x^2+1%% eine nach oben geöffnete Parabel , die sich vollständig oberhalb der x-Achse befindet ist, gibt es keinen solchen Bereich.
Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und %%G_f%% im Bereich von %%x= a%% bis %%x= b%%.
%%f(x)=x^3%% %%a=0%% %%b=1%%
%%f(x)=x^3%% , %%a=0%% , %%b=1%%
Integral aufstellen.
%%\int_0^1x^3\mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac{x^4}4\right]_0^1%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(\frac{1^4}4\right)-\left(\frac{0^4}4\right)%%
Zähler berechnen.
%%=\frac14%%
%%f(x)=x^3%% %%a=1%% %%b=2%%
%%f(x)=x^3%% , %%a=1%% , %%b=2%%
Integral aufstellen.
%%\int_1^2 x^3\mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac14x^4\right]_1^2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\frac142^4-\frac141^4%%
Potenzen berechen.
%%=\frac{16}4-\frac14%%
%%=\frac{15}4=3,75%%
%%f(x)=-x^2+x%% %%a=-1%% %%b=0%%
%%f(x)=-x^2+x%% , %%a=-1%% , %%b=0%%
Integral aufstellen.
%%\int_{-1}^0-x^2+x\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[-\frac13x^3+\frac12x^2\right]_{-1}^0%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.
%%=\left(-\frac13\cdot0^3+\frac12\cdot0^2\right)-\left(-\frac13\cdot\left(-1\right)^3+\frac12\cdot\left(-1\right)^2\right)%%
Erste Klammer fällt weg, zweite Klammer auflösen.
%%=-\frac13-\frac12%%
Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern .
%%=-\frac26-\frac36=-\frac{5}{6}%%
Berechne
%%f(x)=\int_0^xt\mathrm{d}t%%
%%f(x)=\int_0^x t\mathrm{d}t%%
%%=\left[\frac12t^2\right]_0^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\frac12x^2-\frac120^2%%
%%=\frac12x^2%%
%%f(x)=\int_1^xt\mathrm{d}t%%
%%f(x)=\int_1^x t\mathrm{d}t%%
%%=\left[\frac12t^2\right]_1^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\frac12x^2-\frac12\cdot 1%%
%%=\frac12 x^2-\frac12%%
%%f(x)=\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t%%
%%f(x)=\int_0^x(t^2-t-1)\mathrm{d}t%%
%%=\left[\frac13t^3-\frac12t^2-t\right]_0^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(\frac13x^3-\frac12x^2-x\right)-\left(\frac130^3-\frac120^2-0\right)%%
%%=\frac13x^3-\frac12x^2-x%%
%%f(x)=\int_0^x \sin t \ \mathrm{d}t%%
%%f(x)=\int_0^x\sin t\ \mathrm{d}t%%
%%=[-\cos t]_0^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(-\cos x\right)-\left(-\cos0\right)%%
%%\cos0=1%%
%%=-\cos x+1%%
%%f(x)=\int_{1054}^x t^2\ \mathrm{d}t%%
%%f(x)=\int_{1054}^x t^2\ \mathrm{d}t%%
%%=\left[\frac13t^3\right]_{1054}^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der rechte Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (1054) gerechnet.
%%=\left(\frac13\cdot x^3\right)-\left(\frac13\cdot1054^3\right)%%
%%=\frac13\cdot x^3-\frac{1054^3}3%%
%%=\frac13\cdot x^3-\frac{1.170.905.464}3%%
%%\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x%%
%%\int_1^2\frac{1+x}x\ \mathrm{d}x%%
Bruch in zwei Brüche zerlegen.
%%=\int_1^2\left(\frac1x+\frac xx\right)\ \mathrm{d}x=%%
Bruch mit %%x%% kürzen.
%%=\int_1^2\left(\frac1x+1\right)\ \mathrm{d}x=%%
Integrieren. Die Stammfunktion von %%\frac1x%% ist %%\ln x%%.
%%=\left[\ln x+x\right]_1^2=%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert 2 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
%%=\left(\ln2+2\right)-\left(\ln1+1\right)=%%
Klammern auflösen, %%\ln1=0%%.
%%=\ln2+2-1=%%
%%=\ln2+1=%%
%%\approx1,6931%%
%%\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x%%
%%\int_1^e\frac{x^2+2x+3}{2x}\ \mathrm{d}x=%%
Bruch in drei Brüche zerlegen.
%%=\int_1^e\left(\frac{x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac3{2x}\right)\ \mathrm{d}x=%%
%%=\int_1^e\left(\frac12x+1+\frac32\cdot\frac1x\right)\ \mathrm{d}x=%%
Integrieren . Die Stammfunktion von %%\frac1x%% ist %%\ln x%%.
%%=\left[\frac1{2\cdot2}x^2+x+\frac32\ln x\right]_1^e=%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%(e)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert 1 gerechnet.
%%=\left(\frac14e^2+e+\frac32\ln e\right)-\left(\frac141^2+1+\frac32\ln1\right)=%%
Klammern auflösen, %%\ln e=1%%, %%\ln1=0%%.
%%=\frac{e^2}4+e+\frac32-\frac14-1=%%
Gleiche Elemente zusammenfassen.
%%=\frac{e^2}4+e+\frac14=%%
%%\approx4,8155%%
%%\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v%%
%%\int_{-2}^{+2}v^2\ \mathrm{d}v=%%
%%=\left[\frac13\cdot v^3\right]_{-2}^{+2}%%
In die Klammer wird für %%v%% der obere Wert (+2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
%%=\left(\frac13\cdot2^3\right)-\left(\frac13\cdot\left(-2\right)^3\right)%%
Klammern auflösen und Potenzen ausmultiplizieren.
%%=\frac83+\frac83%%
%%=\frac{16}3%%
%%\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t%%
%%\int_2^3t^2\ \mathrm{d}t=%%
%%=\left[\frac13t^3\right]_2^3%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
%%=\left(\frac13\cdot3^3\right)-\left(\frac13\cdot2^3\right)%%
Klammern auflösen.
%%=\frac{27}3-\frac83%%
%%=\frac{19}3%%
%%\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x%%
%%\int_2^3x^2\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac13x^3\right]_2^3%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
%%=\left(\frac13\cdot3^3\right)-\left(\frac13\cdot2^3\right)%%
Klammern auflösen.
%%=\frac{27}3-\frac83%%
%%=\frac{19}3%%
%%\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x%%
%%\int_0^1(x-x^2)\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac12x^2-\frac13x^3\right]_0^1%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(\frac12\cdot1^2-\frac13\cdot1^3\right)-\left(\frac12\cdot0^2-\frac13\cdot0^3\right)%%
Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
%%=\frac12-\frac13%%
%%=\frac16%%
%%\int_0^2x\ \mathrm{d}x%%
%%\int_0^2x\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac{x^2}2\right]_0^2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\frac{2^2}2-\frac{0^2}2%%
%%=\frac42-0%%
%%=2%%
%%\int_1^3x\ \mathrm{d}x%%
%%\int_1^3x\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac{x^2}2\right]_1^3%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\frac{3^2}2-\frac{1^2}2%%
Zähler berechnen.
%%=\frac92-\frac12%%
%%=\frac82=4%%
%%\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-2}^0\left(-x\right)\ \mathrm{d}x%%
%%=\left[-\frac{x^2}2\right]_{-2}^0%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
%%=\left(-\frac{0^2}{2}\right)-\left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)=%%
%%=\frac42=2%%
%%\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x%%
%%\int_0^1\left(x^2+x\right)\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac{x^3}3+\frac{x^2}2\right]_0^1%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(\frac{1^3}3+\frac{1^2}2\right)-\left(\frac{0^3}3+\frac{0^2}2\right)%%
%%=\frac13+\frac12%%
Hauptnenner (6) bilden und auf diesen erweitern.
%%=\frac26+\frac36=\frac56%%
%%\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x%%
%%\int_1^2x^2\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac13x^3\right]_1^2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\frac13\cdot2^3-\frac13\cdot1^3%%
%%=\frac83-\frac13%%
%%=\frac73%%
%%\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-2}^{-1}x^2\ \mathrm{d}x%%
%%=\left[\frac13x^3\right]_{-2}^{-1}%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (-1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
%%=\frac13\cdot\left(-1\right)^3-\frac13\cdot\left(-2\right)^3%%
Potenzen berechen.
%%=-\frac13+\frac83%%
%%=\frac73%%
%%\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-2}^2x^2\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac13x^3\right]_{-2}^2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
%%=\frac13\cdot2^3-\frac13\cdot\left(-2\right)^3%%
Potenzen berechen.
%%=\frac83+\frac83%%
%%=\frac{16}3%%
%%\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x%%
%%\int_0^\frac{\pi}2\sin x\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[-\cos x\right]_0^\frac{\mathrm\pi}2%%
In die Klammer wird für x der rechte Wert %%\left(\frac{\mathrm\pi}2\right)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Wert (0) gerechnet.
%%=0+1=1%%
%%\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x%%
%%\int_0^\frac{\pi}2\cos x\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\sin x\right]_0^\frac{\mathrm\pi}2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%\left(\frac{\pi}{2}\right)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=1+0=1%%
%%\int_{732}^{2000}1\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{732}^{2000}1\mathrm{dx}=%%
Integrieren. (Könnte auch als %%\int_{732}^{2000}\mathrm{dx}%% geschrieben werden.)
%%=\left[x\right]_{732}^{2000}%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2000) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (732) gerechnet.
%%=2000-732=1268%%
%%\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x%%
%%\int_1^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[\frac13x^3+\frac12x^2\right]_1^2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\left(\frac13\cdot2^3+\frac12\cdot2^2\right)-\left(\frac13\cdot1^3+\frac12\cdot1^2\right)%%
%%=\frac83+\frac42-\left(\frac13+\frac12\right)%%
Hauptnenner bilden.
%%=\frac83+\frac63-\left(\frac26+\frac36\right)%%
%%=\frac{14}3-\frac56%%
Hauptnenner bilden.
%%=\frac{28}6-\frac56%%
%%=\frac{23}6%%
%%\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x%%
%%\int_0^2(x^2+x)\ \mathrm{d}x%%
%%=\left[\frac13x^3+\frac12x^2\right]_0^2%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(\frac13\cdot2^3+\frac12\cdot2^2\right)-\left(\frac13\cdot0^3+\frac12\cdot0^2\right)%%
%%=\frac83+\frac42%%
Hauptnenner bilden.
%%=\frac{16}{6}+\frac{12}{6}%%
%%=\frac{28}6=\frac{14}{3}%%
%%\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-1}^1\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x%% =
%%f (x)%% ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da %%f(x)=f( -x)%%:
%%f(-x)=5\cdot\left(-x\right)^4-3\left(-x\right)^2-7=5x^4-3x^2-7=f(x)%% , weil der Exponent eine gerade Zahl ist
%%\Rightarrow%% Das Integral lässt sich in zwei gleich große Teile aufteilen, zwischen -1 und 0 und zwischen 0 und 1
%%=2\cdot\int_{-1}^0\left(5x^4-3x^2-7\right)\ \mathrm{d}x=%%
Stammfunktion bilden
%%=2\cdot\left[x^5-x^3-7x\right]_{-1}^0%%
0 und -1 einsetzen
%%=2\cdot\left[0^5-0^3-7\cdot0-\left(\left(-1\right)^5-\left(-1\right)^3-7\cdot\left(-1\right)\right)\right]=%%
%%=2\cdot\left(-\left(-1+1+7\right)\right)=2\cdot(-7)=-14%%
Was kann man über die %%f%% sagen, wenn man weiß:
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0%%
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0%%
Es gibt zwei Möglichkeiten:
Die Funktion verläuft zwischen 0 und 1 auf der x-Achse.
Die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 gleich groß und heben sich so auf.
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x>0%%
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d }x>0%%
Die Flächen oberhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die unterhalb.
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0%%
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0%%
Die Flächen unterhalb der x-Achse sind im Bereich 0 bis 1 größer als die oberhalb.
%%\int_1^0f(x)\mathrm{d}x>0%%
%%\int_1^0f(x)\mathrm{dx}>0%%
%%-\int_0^1f(x)\mathrm{dx}>0%%
%%\mid:(-1)%%
%%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0%%
Mögliche Lösung: siehe Teilaufgabe c.
Berechne die Integrale: %%a(x)=6-\frac{1}{24}x^2\ ;\ D_a=\mathbb{R}%%
%%\int_0^{12}a(x)\mathrm{d}x%%
Thema dieser Aufgabe ist die Integration von Funktionen.
%%\int_0^{12}6-\frac1{24}x^2\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[6x-\frac1{24\cdot3}x^3\right]_0^{12}%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(6\cdot12-\frac1{72}\cdot12^3\right)-\left(6\cdot0-\frac1{72}\cdot0^3\right)%%
Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
%%=72-24=48%%
%%\int_{-12}^{12}a(x)\mathrm{d}x%%
Thema dieser Aufgabe ist die Integration von Funktionen.
%%\int_{-12}^{12}6-\frac1{24}x^2\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[6x-\frac1{24\cdot3}x^3\right]_{-12}^{12}%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (12) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-12) gerechnet.
%%=\left(6\cdot12-\frac1{72}\cdot12^3\right)-\left(6\cdot\left(-12\right)-\frac1{72}\cdot\left(-12\right)^3\right)=%%
Klammer auflösen.
%%=72-24+72-24=96%%
%%\int_0^{12\sqrt3}a(x)\mathrm{d}x%%
Thema dieser Aufgabe ist die Integration von Funktionen.
%%\int_0^{12\sqrt3}6-\frac1{24}x^2\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[6x-\frac1{24\cdot3}x^3\right]_0^{12\sqrt3}%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert (%%12\sqrt 3%% ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(6\cdot12\cdot\sqrt3-\frac{\left(12\cdot\sqrt3\right)^3}{72}\right)-\left(6\cdot0-\frac1{72}\cdot0\right)=%%
Klammern auflösen, die zweite Klammer fällt weg.
%%=72\cdot\sqrt3-{\textstyle72}{\textstyle\cdot}{\textstyle\sqrt3}=0%%
Berechne.
%%\int_{-1}^1e^{\left|x\right|}\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-1}^1e^{\left|x\right|}\ \mathrm{d}x%%
Fallunterscheidung für %%x\geq0%% und %%x<0%%
Für %%x\geq0%% ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für %%x<0%% muss der Betrag durch ein Minuszeichen vor %%x%% ersetzt werden, da %%-x%% für negatives %%x%% positiv wird.
%%\int_0^1e^x\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[e^x\right]_0^1=%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%1%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert %%0%% gerechnet.
%%=e^1-e^0=%%
%%=e-1%%
%%\int_{-1}^0e^{-x}\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[-e^{-x}\right]_{-1}^0=%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%0%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert %%(-1)%% gerechnet.
%%=\left(-e^{-0}\right)-\left(-e^{-\left(-1\right)}\right)=%%
Klammern auflösen.
%%=-e^0+e^1%%
%%=-1+e%%
%%A=\left(e-1\right)+\left(-1+e\right)%%
Klammern auflösen.
%%=e-1-1+e%%
%%=2e-2%%
Du kannst hier ausnutzen dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Damit ist der Flächeninhalt, der zwischen %%-1%% und %%0%% eingeschlossen ist, genauso groß wie der Flächeninhalt, der zwischen %%0%% und %%1%% eingeschlossen ist (siehe Abbildung rechts).
%%\Rightarrow%% %%\int_{-1}^1e^{\left|x\right|}\ \mathrm{d}x=2 \cdot \int_0^1e^x\ \mathrm{d}x%%
Gleiche Rechnung wie oben.
%%=2 \cdot \left[e^x\right]_0^1= 2 \cdot [e^1-e^0]%%
%%= 2 \cdot (e - 1)%%
%%=2e-2%%
%%\int_{-2}^0e^{-\left|x\right|}\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-2}^0e^{-\left|x\right|}\ \mathrm{d}x=%%
Da %%x%% immer negativ ( bzw. 0 ) ist, kann der Betrag durch ein minus ersetzt werden.
%%=\int_{-2}^0e^{-\left(-x\right)}\ \mathrm{d}x%%
%%=\int_{-2}^0e^x\ \mathrm{d}x%%
%%=\left[e^x\right]_{-2}^0%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert 0 eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-2) gerechnet.
%%=e^0-e^{-2}%%
%%=1-\frac1{e^2}\approx0,86467%%
%%\int_{-2}^0e^{\left|x+1\right|}\ \mathrm{d}x%%
%%\int_{-2}^0e^{\left|x+1\right|}\ \mathrm{d}x%%
Fallunterscheidung für %%x\geq-1%% und %%x <-1%%
Für %%x\geq-1%% ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für %%x<-1%% ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.
%%\int_{-1}^0e^{x+1}\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[e^{x+1}\right]_{-1}^0=%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%0%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert %%-1%% gerechnet.
%%=e^1-e^{0}=%%
%%=e-1%%
%%\int_{-2}^{-1}e^{-\left(x+1\right)}\ \mathrm{d}x=%%
Klammern auflösen.
%%=\int_{-2}^{-1}e^{-x-1}\ \mathrm{d}x=%%
%%=\left[-e^{-x-1}\right]_{-2}^{-1}=%%
In die Klammer wird für %%x%% der obere Wert %%-1%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert %%-2%% gerechnet.
%%=(-e^{-(-1)-1})-(-e^{-(-2)-1})=%%
Klammern auflösen.
%%=-e^0+e^1=%%
%%=-1+e%%
%%A=\left(e-1\right)+\left(-1+e\right)=%%
%%=e-1-1+e=%%
%%=2 \cdot e-2=2 \cdot (e-1)\approx 3,4366%%
%%\int_{-7}^7\frac{\left|t\right|}te^{\left|t\right|}\ \mathrm{d}t%%
%%\int_{-7}^7\frac{\left|t\right|}te^{\left|t\right|}\ \mathrm{d}t%%
Fallunterscheidung für %%t\geq0%% und %%t< 0%%.
Für %%t\geq0%% ist der Betrag immer positiv und kann weggelassen werden.
Für %%t<0%% ist der Betrag immer negativ und kann durch ein Minus ersetzt werden.
%%\int_0^7\frac tte^t\ \mathrm{d}t=%%
Mit t kürzen.
%%=\int_0^7e^t\ \mathrm{d}t=%%
%%=\left[e^t\right]_0^7=%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert (7) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=e^7-e^0=%%
%%=e^7-1%%
%%\int_{-7}^0\frac{-t}te^{-t}\ \mathrm{d}t=%%
Mit t kürzen.
%%=\int_{-7}^0-e^{-t}\ \mathrm{d}t=%%
%%=\left[e^{-t}\right]_{-7}^0=%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-7) gerechnet.
%%=e^0-e^{-\left(-7\right)}=%%
%%=1-e^7%%
%%A=\left(e^7-1\right)+\left(1-e^7\right)=%%
%%=e^7-1+1-e^7=%%
%%=0%%
Stelle %%f(x)%% integralfrei dar.
%%f(x)=\int_0^x\sqrt t\ \mathrm{d}t%%
%%=\int_0^xt^\frac12\ \mathrm{d}t%%
%%=\left[\frac23t^\frac32\right]_0^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
%%=\left(\frac23x^\frac32\right)-\left(\frac230^\frac32\right)%%
%%=\left(\frac23x^\frac32\right)%%
%%f(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\;\ \mathrm{d}t%%
%%f(x)=x\cdot\ln x+\int_2^x\ln t\ \mathrm{d}t%%
%%=x\cdot\ln x+\left[t\cdot\ln t-t\right]_2^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (2) gerechnet.
%%=x\cdot\ln x+\left(x\cdot\ln x-x\right)-\left(2\cdot\ln 2-2\right)%%
Klammern auflösen.
%%=x\cdot\ln x+x\cdot\ln x-x-2\cdot\ln2+2%%
%%=2x\cdot\ln x-x-2\cdot\ln2+2%%
%%f(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t%%
%%f(x)=\ln x-\int_1^x\frac1t\ \mathrm{d}t%%
%%=\ln x-\left[\ln t\right]_1^x%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert %%(x)%% eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\ln x-(\ln x-\ln1)%%
%%\ln1=0%%
%%=\ln x-\ln x%%
%%=0%%
%%f(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t%%
%%f(x)=\int_1^xt\;\ln t\ \mathrm{d}t+\int_x^3t\;\ln t\ \mathrm{d}t%%
%%=\int_1^3t\;\mathrm{lnt}\ \mathrm{d}t%%
Es muss partiell Integriert werden. %%t%% wird als %%u'%% gewählt, da es sich einfacher integrieren lässt.
%%u=\frac12t^2%% |
%%u'=t%% |
%%v=\ln t%% |
%%v'=\frac1t%% |
%%f\left(x\right)=\left[\frac12t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\int_1^3\left(\frac12t^2\cdot\frac1t\right)\ \mathrm{d}t%%
Im Integral kürzt sich ein %%t%%.
%%=\left[\frac12t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\int_1^3\left(\frac12t\right)\ \mathrm{d}t%%
%%=\left[\frac12t^2\cdot\ln t\right]_1^3-\left[\frac14t^2\right]_1^3%%
In die Klammer wird für %%t%% der obere Wert (3) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
%%=\frac12\cdot3^2\cdot\ln3-\frac12\cdot1^2\cdot\ln1-\frac14\cdot3^2+\frac14\cdot1^2%%
Ausmultiplizieren.
%%=\frac92\cdot\ln3-\frac12\cdot\ln1-\frac94+\frac14%%
%%=\frac92\cdot\ln3-\frac12\cdot\ln1-2%%
%%\approx2,944%%
LG,
Nish