Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen

Merkhilfe rechts- und linksgekrümmt

Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste, wenn man mit einem Fahrrad den Funktionsgraphen nach $+\infty$ abfahren würde. Die Richtung ist dann die Gleiche wie das Krümmungsverhalten.

Beispiel: Sinus-Funktion

Betrachtest du $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ im Bereich $[0,\frac{5}{2}\pi ]$.

• Die erste Ableitung der Funktion ist $f^{\prime }(x)=\cos (x)$

• Die zweite Ableitung dieser Funktion ist  $f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$.

• Die $x$-Werte der Wendepunkte im Bereich $[0,\frac{5}{2}\pi ]$ sind $x_1=0$, $x_2=\pi$, $x_3=2\pi$.

Um zu berechnen, wie der Graph von $f$ im Bereich $[0,\pi ]$ gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen:

Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht.

Man wählt zum Beispiel $x=\frac{\pi }{2}$.

$f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1<0$

Der Graph von $f$ ist also im Bereich  $]0,\pi [$ rechtsgekrümmt.

Mit dem gleichen Verfahren erhält man:

$f$ in $]\pi ,2\pi [$ linksgekrümmt

$f$ in $[2\pi ,\frac{5}{2}\pi ]$ rechtsgekrümmt

Beispiel: Quadratische Funktion

Gegeben ist eine quadratische Funktion $f$ in der Form $f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\in ℝ\backslash \{0\}$.

Die zweite Ableitung dieser Funktion ist $f^{\prime \prime }(x)=2a$.