Dieser Artikel beschäftigt sich mit Geraden als Graphen linearer Funktionen, also Funktionen der Form f(x)=mx+tf(x)=m \cdot x+t.

Das mm in der obigen Gleichung wird Steigung der Geraden genannt.

Die Steigung einer Geraden gibt an, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes verändert, wenn sich seine x-Koordinate um eine Einheit verändert. Anders gesagt: Die Steigung einer Geraden misst, wie steil sie ansteigt.

Geradensteigung berechnen

Die Steigung einer Geraden lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten P(x1,y1)P(x_1,y_1) und Q(x2,y2)Q(x_2,y_2) , die auf der Geraden liegen, bestimmen:
m=ΔyΔx=y2y1x2x1.\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.
Dabei ist es egal, welche Punkte man wählt, der Quotient hat immer den selben Wert.

Beispiel

Man bestimme die Steigung der gegebenen Gerade. Hierzu sucht man sich zwei Punkte aus, beispielweise wie in der Skizze A(13,5)A(1\mid3,5) und B(34,5)B(3\mid4,5). Dabei nennt man das gezeichnete Dreieck Steigungsdreieck.
Man bestimmt ΔyΔy und ΔxΔx, also den Unterschied der y-Koordinaten und x-Koordinaten der gegebenen Punkte …
m=ΔyΔx\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}
… und setzt die Längenwerte für Δy\Delta y und Δx\Delta x in die Formel ein.
Δy=yByA=4,53,5=1\displaystyle \Delta y=y_B-y_A=4,5-3,5=1
Δx=xBxA=31=2\displaystyle \Delta x=x_B-x_A=3-1=2
Die Gerade hat also die Steigung:
m=ΔyΔx=12\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}

Von der Steigung zum Steigungsdreieck

Man nimmt zwei beliebige Punkte der Geraden im Koordinatensystem und zeichnet zwischen ihnen zu den Koordinatenachsen parallele Verbindungslinien, die dann ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.
Gegeben ist die Gerade y=34x1\mathrm y=\frac34\mathrm x-1 . Zeichne die Gerade mit Steigungsdreieck in ein Koordinatensystem ein.
GeoGebra
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1296.xml
Steigung 2 bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach oben"

Steigung -1 bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheiten nach nach unten"

Steigung 23\frac{2}{3} bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach nach oben"

Steigung 23-\frac{2}{3} bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach nach unten"

Vom Steigungsdreieck zur Steigung

Sind zwei Punkte der Geraden gegeben, lässt sich zwischen ihnen ein Steigungsdreieck einzeichnen.
Die Steigung der Geraden ist dann die Länge der senkrechten Kathete (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der waagrechten Kathete (Ankathete). Die Steigung ist positiv, falls die Gerade steigt und negativ, falls die Gerade fällt.
Daraus ergibt sich auch wieder die gleiche Gleichung wie oben:
m=ΔyΔx=y2y1x2x1.\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}.
Lies die Steigung folgender Gerade ab:
GeoGebra

Senkrechte und parallele Geraden

Gegeben sind zwei Geraden mit ihren beiden Geradengleichungen
g1:y=m1x+t1\displaystyle g_1:y=m_1\cdot x+ t_1
g2:y=m2x+t2\displaystyle g_2:y=m_2\cdot x+ t_2

Parallele Geraden

Falls
m1=m2\displaystyle m_1=m_2
gilt, so sind die Geraden parallel.

Senkrechte Geraden

Falls
m1m2=1\displaystyle m_1\cdot m_2=-1
gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander.
Beispiel:
g1(x)=0,5x1g2(x)=0,5x+1\displaystyle \begin{array}{l}g_1\left(x\right)=0,5x-1\\g_2\left(x\right)=0,5x+1\end{array}
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6881_VNdHuQVt2T.xml
m1=0,5;m2=0,5m1=m2\displaystyle \begin{array}{l}m_1=0,5;m_2=0,5\\\Rightarrow m_1=m_2\end{array}
Beispiel:
g1(x)=1,5x1g2(x)=23x+1\displaystyle \begin{array}{l}g_1\left(x\right)=1,5x-1\\g_2\left(x\right)=-\frac23x+1\end{array}
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6879_8hYC9Of8cY.xml
m1=1,5;m2=23m1m2=1,5(23)=1\displaystyle \begin{array}{l}m_1=1,5; m_2=-\frac{2}{3}\\\Rightarrow m_1\cdot m_2=1,5\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1\end{array}

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zur xx-Achse steht. Der Steigungswinkel α\alpha einer Geraden y=mx+ty = m \cdot x + t erfüllt
m=tan(α).\displaystyle m = \tan(\alpha).

Steigung von speziellen Geraden

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7089_RnqLXYWI6Y.xml
Die Steigung einer Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft, ist 0.

In diesem Fall ist die zugehörige Funktion konstant.

Eine Gleichung für so eine Funktion wäre y=ny=n.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7091_GkEjQ87H4V.xml
Die Steigung einer Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, wäre "unendlich".

Es kann allerdings keine Funktion in Abhängigkeit von xx mit einer solchen Gerade als Graphen geben, da dem gleichen x-Wert verschiedene y-Werte zugeordnet werden müssten.

Trotzdem lässt sich eine solche Gerade durch eine Gleichung von der Form x=rx=r beschreiben.
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Zu article Geradensteigung:
Schneetze 2016-12-22 12:03:35+0100
Hallo,
was wäre wenn ich verschiedene Skalierungen der x und y Achse habe? ZB. in einer wissenschaftl. Arbeit bei Regressionsgeraden. ZB. x in 10er Schritten und y in 2000er Schritten pro Kästchen...
bleibt das dann bei X=10=1 und Y=2000=1, sprich dann eine Steigung in dem Fall von 1?
Vielen Dank und Liebe Grüsse!
Schneetze 2016-12-22 12:10:22+0100
oder wäre meine Steigung dann 5x10^-3?
Nish 2016-12-22 22:20:35+0100
Hallo Schneetze,
die Steigung in deinem Beispiel wäre %%\frac{10}{2000}=\frac{1}{200}=5\cdot10^{-3}%%, wenn deine Gerade in diesem Koordinatensystem ein Steigungsdreieck mit einem Kästchen nach rechts und einem Kästchen nach oben besitzt.
LG,
Nish
Nish 2016-12-22 22:33:07+0100
Oh sry., uns ist ein Fehler passiert. Steigung ist ja immer %%\frac{\Delta y}{\Delta x}%%. Also wäre die Steigung hier gleich %%\frac{2000}{10}=200%%... Ich hoffe, dass hilft dir weiter. Ansonsten kannst du gerne nochmal nachfragen.
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Zu article Geradensteigung: Applet ist ein Bild statt Applet
Knorrke 2015-10-22 17:08:19+0200
Von dem Applet im Spoiler bei der Überschrift "Vom Steigungsdreieck zur Steigung" ist nur ein Bild zu sehen. Wäre gut wenn das jemand ersetzt!
Gruß,
Benni
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Zu article Geradensteigung:
Kowalsky 2017-04-01 14:36:57+0200
Vom Steigungsdreieck zur Steigung: Die Steigung der Geraden ist dann die Länge der senkrechten Kathete (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der waagrechten Kathete (Ankathete) und nicht andersherum!
Nish 2017-04-01 15:54:39+0200
Vielen Dank für den Hinweis! Ich hab's eben ausgebessert.
LG,
Nish