Aufgaben

Betrachte das Applet und verändere den Öffnungsfaktor %%a%% des Funktionsgraphen von %%y=a \cdot x^2%%.
Beobachte, wie sich der Funktionsgraph verändert und beantworte dann die folgenden Fragen.
In grau siehst du den Funktionsgraph der Normalparabel.

Bei %%0<a<1%% ist der Funktionsgraph der Parabel %%y=a \cdot x^2%%

Schau dir das Applet nochmal genau an, stelle zum Beispiel den Wert %%a=0,5%% ein.

Schau dir das Applet nochmal genau an, stelle zum Beispiel den Wert %%a=0,5%% ein.

Genau richtig!

Bei %%a=1%% ist der Funktionsgraph der Parabel %%y=a \cdot x^2%%

Das ist leider nicht richtig. Versuche den Wert %%a=1%% im Applet einzustellen!

Das ist leider nicht richtig. Versuche den Wert %%a=1%% im Applet einzustellen!

Super! Das ist richtig.

Verändere den Öffnungsfaktor %%a%% ins Negative und beobachte, wie sich der Funktionsgraph ändert!
Beantworte anschließend die Fragen.
In grau siehst du den Funktionsgraphen der Normalparabel.

Wähle alle richtigen Aussagen aus:

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Bei %%-1<a<0%% ist der Funktionsgraph der Parabel %%y=a \cdot x^2%%

Schau dir das Applet nochmal genau an und versuche einen Wert zwischen %%0%% und %%-1%% für %%a%% einzustellen.

Schau dir das Applet nochmal genau an und versuche einen Wert zwischen %%0%% und %%-1%% für %%a%% einzustellen.

Das ist richtig!

Bei %%a=-1%% ist der Funktionsgraph der Parabel %%y=a \cdot x^2%%

Schau dir das Applet nochmal genau an, und versuche den Wert %%-1%% für %%a%% einzustellen.

Schau dir das Applet nochmal genau an, und versuche den Wert %%-1%% für %%a%% einzustellen.

Super!

Bei %%a<-1%% ist der Funktionsgraph der Parabel %%y=a \cdot x^2%%

Schau dir das Applet nochmal genau an, und versuche einen Wert, der kleiner als %%-1%% ist, für %%a%% einzustellen.

Schau dir das Applet nochmal genau an, und versuche einen Wert, der kleiner als %%-1%% ist, für %%a%% einzustellen.

Perfekt!

Bestimme den Öffnungsfaktor und den Funktionsterm der folgenden Parabeln!

Bestimmen des Öffnungsfaktors

Du siehst sofort, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht ist. Du kannst also annehmen, dass der Öffnungsfaktor zwischen %%0%% und %%1%% liegt.

Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.

Es bietet sich der Punkt %%P(2\,|\,2)%% an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(2\,|\,2)%% in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt %%S(0\,|\,0)%% ein.

%%y = a \cdot x^2%%

%%2 = a \cdot 2^2%%

Löse diese Gleichung nach %%a%% auf!

%%2 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4%%

%%\dfrac{2}{4} = a%%

%%a = \dfrac{1}{2}%%

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert %%a=\dfrac{1}{2}%%.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung %%y = a \cdot x^2%% ein.

%%y = \dfrac{1}{2} x^2%%

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet %%y=\dfrac{1}{2} x^2%%.

Bestimmen des Öffnungsfaktors

Du siehst sofort, dass die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt ist. Du kannst also annehmen, dass der Öffnungsfaktor größer als %%1%% ist.

Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.

Es bietet sich der Punkt %%P(2\,|\,6)%% an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(2\,|\,6)%% in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt %%S(0\,|\,0)%% ein.

%%y = a \cdot x^2%%

%%6 = a \cdot 2^2%%

Löse diese Gleichung nach %%a%% auf!

%%6 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4%%

%%\dfrac{6}{4} = a%%

%%a = 1,5%%

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert %%a=1,5%%.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung %%y = a \cdot x^2%% ein.

Damit erhältst du %%y = 1,5 x^2%%.

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also %%y=1,5 x^2%%.

Bestimme den Funktionsterm einer Parabel mit dem Scheitelpunkt %%S(0\,|\,0)%%, die durch den Punkt %%P(3\,|-1)%% geht.

Bestimmen des Öffnungsfaktors

Um den Öffnungsfaktor der Parabel zu bestimmen benötigst du einen Punkt, der nicht der Scheitelpunkt ist. In der Angabe ist schon der Punkt %%P(3\,|-1)%% gegeben.

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(3\,|-1)%% in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt %%S(0\,|\,0)%% ein.

%%y = a \cdot x^2%%

%%-1 = a \cdot 3^2%%

Löse diese Gleichung nach %%a%% auf!

%%-1 = a \cdot 9 \hspace{2cm}|:9%%

%%-\dfrac{1}{9} = a%%

Der Öffnungsfaktor hat also den Wert %%a=-\dfrac{1}{9}%%.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung %%y = a \cdot x^2%% ein.

Damit erhältst du %%y = -\dfrac{1}{9} x^2%%.

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also %%y=-\dfrac{1}{9} x^2%%.

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