Aufgaben
Betrachte das Applet und verändere den Öffnungsfaktor aa des Funktionsgraphen von y=ax2y=a \cdot x^2. Beobachte, wie sich der Funktionsgraph verändert und beantworte dann die folgenden Fragen. In grau siehst du den Funktionsgraph der Normalparabel.
GeoGebra
Bei 0<a<10<a<1 ist der Funktionsgraph der Parabel y=ax2y=a \cdot x^2
breiter als die Normalparabel, die Parabel ist also gestaucht.
enger als die Normalparabel, die Parabel ist also gestreckt.
genau der Funktionsgraph der Normalparabel.
Bei a=1a=1 ist der Funktionsgraph der Parabel y=ax2y=a \cdot x^2
genau der Funktionsgraph der Normalparabel.
enger als die Normalparabel, die Parabel ist also gestreckt.
breiter als die Normalparabel, die Parabel ist also gestaucht.
Bei a>1a>1 ist der Funktionsgraph der Parabel y=ax2y=a \cdot x^2
enger als die Normalparabel, die Parabel ist also gestreckt.
breiter als die Normalparabel, die Parabel ist also gestaucht.
genau der Funktionsgraph der Normalparabel.
Verändere den Öffnungsfaktor aa ins Negative und beobachte, wie sich der Funktionsgraph ändert! Beantworte anschließend die Fragen. In grau siehst du den Funktionsgraphen der Normalparabel.
GeoGebra
Wähle alle richtigen Aussagen aus:
Der Funktionsgraph von y=ax2y=-a \cdot x^2 ist der an der xx-Achse gespiegelte Funktionsgraph von y=ax2y=a \cdot x^2.
Wenn der Öffnungsfaktor aa negativ ist, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
Der Funktionsgraph von y=ax2y=-a \cdot x^2 ist der an der yy-Achse gespiegelte Funktionsgraph von y=ax2y=a \cdot x^2.
Wenn der Öffnungsfaktor aa negativ ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.
Bei 1<a<0-1<a<0 ist der Funktionsgraph der Parabel y=ax2y=a \cdot x^2
nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel, also gestaucht.
nach unten geöffnet und enger als die Normalparabel, also gestreckt.
der Funktionsgraph der Normalparabel an der xx-Achse gespiegelt.
Bei a=1a=-1 ist der Funktionsgraph der Parabel y=ax2y=a \cdot x^2
der Funktionsgraph der Normalparabel an der xx-Achse gespiegelt.
nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel, also gestaucht.
nach unten geöffnet und enger als die Normalparabel, also gestreckt.
Bestimme den Öffnungsfaktor und den Funktionsterm der folgenden Parabeln!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für Parabeln

Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.
Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.
Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.
Es bietet sich der Punkt P(22)P(2\,|\,2) an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.
Setze die Koordinaten des Punktes P(22)P(2\,|\,2) in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0) ein.
y=ax2y = a \cdot x^2
2=a222 = a \cdot 2^2
Löse diese Gleichung nach aa auf!
2=a4:42 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4
24=a\dfrac{2}{4} = a
a=12a = \dfrac{1}{2}
Der Öffnungsfaktor hat also den Wert a=12a=\dfrac{1}{2}.
Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht ist. Du kannst also annehmen, dass der Öffnungsfaktor zwischen 00 und 11 liegt. Das passt gut mit dem Rechenergebnis zusammen.


Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung y=ax2y = a \cdot x^2 ein.
y=12x2y = \dfrac{1}{2} x^2
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet y=12x2y=\dfrac{1}{2} x^2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für Parabeln

Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.
Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.
Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.
Es bietet sich der Punkt P(26)P(2\,|\,6) an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.
Setze die Koordinaten des Punktes P(26)P(2\,|\,6) in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0) ein.
y=ax2y = a \cdot x^2
6=a226 = a \cdot 2^2
Löse diese Gleichung nach aa auf!
6=a4:46 = a \cdot 4 \hspace{2cm}|:4
64=a\dfrac{6}{4} = a
a=1,5a = 1,5
Der Öffnungsfaktor hat also den Wert a=1,5a=1,5.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung y=ax2y = a \cdot x^2 ein.
Damit erhältst du y=1,5x2y = 1,5 x^2.
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also y=1,5x2y=1,5 x^2.
Bestimme den Funktionsterm einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0), die durch den Punkt P(31)P(3\,|-1) geht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für Parabeln

Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.
Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.
Um den Öffnungsfaktor der Parabel zu bestimmen benötigst du einen Punkt, der nicht der Scheitelpunkt ist. In der Angabe ist schon der Punkt P(31)P(3\,|-1) gegeben.
Setze die Koordinaten des Punktes P(31)P(3\,|-1) in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt S(00)S(0\,|\,0) ein.
y=ax2y = a \cdot x^2
1=a32-1 = a \cdot 3^2
Löse diese Gleichung nach aa auf!
1=a9:9-1 = a \cdot 9 \hspace{2cm}|:9
19=a-\dfrac{1}{9} = a
Der Öffnungsfaktor hat also den Wert a=19a=-\dfrac{1}{9}.

Aufstellen der Funktionsgleichung

Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung y=ax2y = a \cdot x^2 ein.
Damit erhältst du y=19x2y = -\dfrac{1}{9} x^2.
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also y=19x2y=-\dfrac{1}{9} x^2.
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