Eine abschnittsweise definierte Funktion ist eine Funktion, die aus mindestens zwei Funktionstermen besteht, wobei die unterschiedlichen Funktionsterme unterschiedliche Definitionsmengen haben müssen (an den Stellen, an denen sie nicht übereinstimmen).

Beispiel:

%%f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1\;\;\mathrm{für}\;x<0\\x^2\;\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x\geq0\end{array}\right.%%

abschnittweise definierte Funktion Graph

Wichtige abschnittsweise definierte Funktionen

Die Betragsfunktion %%f(x)=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{l}x\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x\geq0\\-x\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x<0\end{array}\right.%%

Betragsfunktion Graph vorzeichen

Beachte!

Bei der Betragsfunktion dürfte beim zweiten Term ( %%-x%% für %%x<0%% ) auch die Null mit in den Definitonsbereich aufgenommen werden, da die beiden Terme jeweils %%0%% als Funktionswert an der Stelle %%x=0%% haben.

%%f(x)=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{l}x\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x\geq0\\-x\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x\leq0\end{array}\right.%%

Die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion)

%%\begin{array}{l}f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x<0\\\begin{array}{c}0\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{für}\;x=0\\+1\;\;\;\;\mathrm{für}\;x>0\;\end{array}\end{array}\right.\\\\\\\end{array}%%

Vorzeichenfunktion signum Graph nicht stetig

Stetigkeit von abschnittsweise definierten Funktionen

Bei abschnittsweise definierten Funktionen spielt die Untersuchung der Stetigkeit eine wesentliche Rolle.

Eine Funktion %%f%% heißt stetig in %%x_0%%, wenn %%f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)%%.

Diese Stetigkeitseigenschaft zu beweisen, fällt den meisten sehr schwer. Als Faustregel kann man sagen:

%%f%% ist stetig, wenn es keine Sprünge hat, also wenn du den Graph der Funktion ohne abheben zeichnen kannst.

Beispiele:

Betrachte die zwei Beispiele von oben:

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist stetig. Beide Funktionsterme %%x%% und %%-x%% sind stetig in %%\mathbb R \setminus\{0\}%%. In der Schnittstelle %%x=0%% läuft sowohl der erste Funktionsterme von rechts gegen die %%0%%, als auch der zweite Funktionsterm von links gegen die %%0%%. Also ist die Betragsfunktion auf ganz %%\mathbb R%% stetig.

Faustregel: Du kannst den Graphen ohne absetzen zeichnen. Also ist die Funktion stetig.

Signumfunktion

Die Signumfunktion ist nicht stetig in %%0%%. Der erste Funktionsterm nähert sich von links an die %%-1%% ran, von rechts an die %%1%% und die Funktion ist im Nullpunkt als %%0%% definiert.

Faustregel: Da du dein Stift im Nullpunkt %%2%% mal absetzen musst egal, wie du den Graphen zeichnest, ist die Signumfunktion nicht stetig.

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