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Abschnittsweise definierte Funktionen

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Eine abschnittsweise definierte Funktion ist eine Funktion, die aus mindestens zwei Funktionstermen besteht, wobei die unterschiedlichen Funktionsterme unterschiedliche Definitionsmengen haben müssen (an den Stellen, an denen sie nicht übereinstimmen).

Beispiel:

Wichtige abschnittsweise definierte Funktionen

Betragsfunktion Graph vorzeichen

Die Betragsfunktion

Vorzeichenfunktion signum Graph nicht stetig

Die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion)

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Die Heavisidefunktion

f(x)={0fu¨r x<0 1fu¨r x0  \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f(x)=\left\{\\\begin{array}{c}0\quad\mathrm{für}~x< 0\\~1\quad\mathrm{für}~x\ge0\;\end{array}\right.\\\\\end{array}

Stetigkeit von abschnittsweise definierten Funktionen

Bei abschnittsweise definierten Funktionen spielt die Untersuchung der Stetigkeit eine wesentliche Rolle.

Eine Funktion ff heißt stetig in x0x_0, wenn f(x0)=limxx0+f(x)=limxx0f(x)f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x). Sprich, wenn der linksseitige Grenzwert an einer Stelle, gleich dem rechtsseitigen Grenzwert und gleich dem Funktionswert ist.

Diese Stetigkeitseigenschaft zu beweisen, fällt den meisten sehr schwer. Als Faustregel kann man sagen:

ff ist stetig, wenn es keine Sprünge hat, also wenn du den Graphen der Funktion ohne abheben zeichnen kannst.

Auf den Intervallen, auf denen sie definiert ist, ist sie stetig und kann dort wie eine stetige Funktion behandelt werden. Das heißt, beim Skizzieren des Graphen kann sie auf diesen Abschnitten durchgehend gezeichnet werden, von Randpunkt zu Randpunkt. Nur diese sind bei der Untersuchung der Stetigkeit der springende Punkt.

Beispiele

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist stetig. Beide Funktionsterme xx und x-x sind stetig in R{0}\mathbb R \setminus\{0\}. In der Schnittstelle x=0x=0 läuft sowohl der erste Funktionsterme von rechts gegen die 00, als auch der zweite Funktionsterm von links gegen die 00. Also ist die Betragsfunktion auf ganz R\mathbb R stetig.

Faustregel: Du kannst den Graphen ohne absetzen zeichnen. Also ist die Funktion stetig.

Signumfunktion

Die Signumfunktion ist nicht stetig in 00. Der erste Funktionsterm nähert sich von links an die 1-1 ran, von rechts an die 11 und die Funktion ist im Nullpunkt als 00 definiert.

Faustregel: Da du deinen Stift im Nullpunkt 22 mal absetzen musst, egal, wie du den Graphen zeichnest, ist die Signumfunktion nicht stetig.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Betragsfunktion


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