Aufgaben zur Betragsfunktion

Wie gut kennst du dich mit der Betragsfunktion aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben!

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=3\cdot(\mathrm{x}^2-4)\cdot(\left|\mathrm{x}\right|+1)$

Untersuche $\mathrm f(\mathrm x)$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion betragsfrei machen

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=3\cdot\left(\mathrm x^2-4\right)\left(\left|\mathrm x\right|+1\right)$

Um den Betrag zu eliminieren muss eine Fallunterscheidung ( für x $\geq$ 0 und x < 0 durchgeführt werden.

Fall x $\geq$ 0

Da x $\geq$ 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\left(\mathrm{x}+1\right)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2-12\mathrm{x}-12$

Fall x<0

Da x < 0 ist wird -x für $\left|x\right|$ eingesetzt.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\left(-\mathrm{x}+1\right)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle -3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2+12\mathrm{x}-12$

Stetigkeit

Für x>0 und x<0 ist f(x) stetig.

Untersucht werden muss nur der Fall x=0.

f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2-12\mathrm{x}-12$
$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

Annäherung an 0 von links

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm{x}\rightarrow0^-}\left(-3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2+12\mathrm{x}-12\right)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle -12$

Annäherung an 0 von rechts

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
	$=$	$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\left(3x^3+3x^2-12x-12\right)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$\displaystyle -12$

$\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=f\left(0\right)\;\;\Rightarrow\;\;$ f ist bei 0 stetig .

Differenzierbarkeit

$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=3\cdot\left(\mathrm x^2-4\right)\left(\left|\mathrm x\right|+1\right)$

Es muss eine Fallunterscheidung für x durchgeführt werden.

Fall: x $\geq$ 0

Siehe Teilaufgabe a.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2-12\mathrm{x}-12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$\displaystyle \mathrm{f}`\left(\mathrm{x}\right)$	$=$	$\displaystyle 9\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}-12$

Fall: x<0

Siehe Teilaufgabe a.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -3\mathrm{x}^3+3\mathrm{x}^2+12\mathrm{x}-12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -9\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}+12$

Fall x=0

Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden. Hierzu muss man für diesen Punkt die Ableitung durch Annäherung von links und rechts betrachten.

Bei Annäherung von links, muss $\mathrm f`\left(\mathrm x\right)=-9\mathrm x^2+6\mathrm x+12$ betrachtet werden, da x<0.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}\left(-9x^2+6x+12\right)$	$=$	$\displaystyle 12$
	↓	Bei Annäherung von rechts, muss $\mathrm f`\left(\mathrm x\right)=9\mathrm x^2+6\mathrm x-12$ betrachtet werden, da x>0.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\left(9x^2+6x-12\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Nicht differenzierbar, da $\lim_{x\rightarrow0^-}f'\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow0^+}f'\left(x\right)$

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Bestimme die Nullstellen der Funktion.

Bestimme die Wendepunkte und Art und Lage der Extrempunkte der Funktion.

Untersuche das Symmetrieverhalten des Graphen.

2
Untersuchen einer Betragsfunktion
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)$ .
1. Untersuche $f$ auf Stetigkeit.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
  Beginnen wir mit der Fallunterscheidung.
  $x\ge0$ bedeutet, $x$ nimmt einen positiven Wert an. Der Betrag ist damit überflüssig und der Funktionsterm ergibt sich zu:
  $\displaystyle f_{x> 0}\left(x\right)=(3-x)(x+1)=-x^2+2x+3$
  $x < 0$ bedeutet, $x$ nimmt einen negativen Wert an. Der Betrag kann dann nur entfernt werden, wenn das Vorzeichen davor wechselt:
  $\displaystyle f_{x<0}(x)=(3+x)(x+1)=x^2+4x+3$
  Auf dem Intervall $(-\infty,0)$ ist $f_{x<0}$ eine stetige Polynomfunktion. Auf $(0,\infty)$ ist $f_{x>0}$ ebenfalls stetig. Die Frage ist, was ist mit der Stelle zwischendrin, $x = 0$ ?
  Hierzu betrachte den Grenzwert von links (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x<0}$ in dieser Stelle?):
  $\displaystyle \lim_{x<0}f_{x<0}(0)=0^2+4\cdot 0+3=3$
  Hierzu betrachte den Grenzwert von rechts (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x>0}$ in dieser Stelle?):
  $\displaystyle \lim_{x>0}f_{x>0}(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3$
  Der Funktionswert von $f$ ist:
  $\displaystyle f(0)=(3-|0|)(0+1)=3$
  Alle Werte stimmen überein und die Funktion $f$ ist damit in der Stelle $x = 0$ stetig und sogar insgesamt auf dem ganzen Definitionsbereich.
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  Mache eine Fallunterscheidung für $x < 0$ und $x > 0$ , wie sieht der Funktionsterm für diese Abschnitte aus? Für die Stetigkeit müssen rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte gleich dem Funktionswert sein. Wie sieht das für die Stelle $x = 0$ aus?
2. Untersuche $f$ auf Differenzierbarkeit.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
  Aus dem ersten Aufgabenteil werden die Funktionen
  $\displaystyle f_{x<0}(x)=x^2+4x+3$
  
  und
  $\displaystyle f_{x>0}\left(x\right)=-x^2+2x+3$
  
  aufgegriffen. Die Ableitungen ergeben sich zu:
  $\displaystyle f'_{x<0}(x)=2x+4$
  $\displaystyle f'_{x>0}(x)=-2x+2,$
  Diese sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich, der Knackpunkt ist hier also wieder die Stelle $x_{0} = 0$ . Die linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in $x_{0} = 0$ ergibt sich zu:
  $\displaystyle \lim_{x<0}f'_{x<0}(0)=\lim_{x<0}2\cdot 0+4=4$
  $\displaystyle \lim_{x>0}f'_{x>0}(0)=\lim_{x>0}-2\cdot 0+2=2$
  Diese Werte stimmen nicht überein, womit die Funktion nicht differenzierbar in $x_{0} = 0$ ist.
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  In welcher Stelle könnte die Funktion nicht differenzierbar sein? Eine Funktion heißt in einer Stelle $x_{0}$ differenzierbar, wenn ihre linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung gleich ist:
  $\displaystyle \lim_{x<0}f'_{x<0}(x_0)=\lim_{x>0}f'_{x>0}(x_0)$
3. Berechne die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Nullstellen
  Der Funktionsterm wird $0$ gesetzt: $0=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)$ , wobei der Term auf der rechten Seite als Produkt formuliert ist. Hier lässt sich direkt der Satz des Nullprodukts anwenden:
  $\displaystyle 3-|x|=0\Leftrightarrow x_{1/2}=\pm 3 \\~\\ x+1=0 \Leftrightarrow x_{3}=-1$
  Das Schaubild der Funktion hat drei Nullstellen $N_{1} (- 3 ∣ 0), N_{2} (- 1 ∣ 0), N_{3} (3 ∣ 0)$ .
  Extrema
  Die Funktionen $f_{x< 0}\left(x\right),~f_{x> 0}\left(x\right)$ werden jeweils auf Extrema untersucht, indem die Ableitung $0$ gesetzt wird und die hinreichenden Bedingungen (zweite Ableitung) hinzugezogen werden.
  $f_{x< 0}(x):$
  $\displaystyle f'_{x<0}(x)=2x+4$
  $\displaystyle 0=2x+4 \Leftrightarrow x=-2$
  Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f''_{x<0}(x)=2>0$ ist, liegt ein Tiefpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$ -Koordinate:
  $\displaystyle f_{x<0}(-2)=(-2)^2+4\cdot (-2)+3=-1 \\~\\ \Rightarrow TP(-2|-1)$
  Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
  $f_{x> 0}\left(x\right):$
  $\displaystyle f'_{x>0}(x)=-2x+2$
  $\displaystyle 0=-2x+2 \Leftrightarrow x=1$
  Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f''_{x>0}(x)=-2<0$ ist, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$ -Koordinate:
  $\displaystyle f_{x>0}(1)=-1^2+2\cdot 1+3=4 \\~\\ \Rightarrow HP(1|4)$
  Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
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  Die Funktionen auf den Teilabschnitten $(-\infty,0)$ und $(0,\infty)$ können einzeln jeweils auf Extrema untersucht werden. Für die Nullstelle lässt sich der Satz des Nullprodukts mit $f$ direkt anwenden.
4. Skizziere das Schaubild $G_{f}$ .
  
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  Mithilfe des Aufgabenteils (c) können Punkte in das Koordinatensystem übertragen werden, durch die das Schaubild der Funktion verläuft. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Kurve in $x_{0} = 0$ einen Knick aufweist, da sie nach Teil (b) nicht differenzierbar ist.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3\cdot\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$\displaystyle 3\cdot\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Nur $x_{2} = 2$ ist hier eine gültige Lösung, da >0.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle 3\cdot\left(x^2-4\right)\left(-x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$\displaystyle 3\cdot\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(-x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Nur ${\mathrm x}_1=-2$ ist hier eine gültige Lösung, da <0.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\cdot\left(\left\|\mathrm{x}\right\|+1\right)$
	↓	-x für x einsetzen.
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\left(-\mathrm{x}\right)^2-4\right)\cdot\left(\left\|-\mathrm{x}\right\|+1\right)$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(\mathrm{x}^2-4\right)\cdot\left(\left\|\mathrm{x}\right\|+1\right)$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$

Aufgaben zur Betragsfunktion

Fall x ≥\geq≥ 0

Fall x<0

Stetigkeit

f(0) berechnen mit Fall x ≥\geq≥ 0

Annäherung an 0 von links

Annäherung an 0 von rechts

Differenzierbarkeit

Fall: x ≥\geq≥ 0

Fall: x<0

Fall x=0

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Fall: x ≥\geq≥ 0

Fall: x<0

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Untersuchen einer Betragsfunktion

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Nullstellen

Extrema

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Fall x $\geq$ 0

f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0