Aufgaben

Gegeben sind die Funktionen %%f%% und %%g%% mit %%f\left(x\right)=1+e^{1-x}%% und %%g\left(x\right)=2\cdot e^{x-1}%% .

Zu text-exercise-group 14025: Keine Lösung.
Lena09 2014-03-21 16:52:27
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Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen.

Berechnung von Schnittpunkten zweier Graphen

Du suchst nach Werten %%x%%, die

  1. in den Definitionsmengen %%D_{f}%% und %%D_{g}%% beider [Funktionen]() %%f%% und %%g%% enthalten sind und
  2. %%f(x) = g(x)%% erfüllen.

Um solche Werte %%x%% zu finden, löst du die Gleichung %%f(x) = g(x)%% nach %%x%% auf, falls dies möglich ist.

%%f(x)=g(x)%%

In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen %%f(x)=1+e^{1-x}%% und %%g(x)=2e^{x-1}%% von %%f%% und %%g%% ein.

%%\Leftrightarrow 1+e^{1-x} = 2e^{x-1}%%

Nun kannst du %%x-1%% durch %%-(1-x)%% ersetzen.

%%\Leftrightarrow 1+e^{1-x} = 2e^{-(1-x)}%%

Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit %%e^{1-x}%% multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze %%e^{1-x} \cdot e^{-(1-x)} = e^0 = 1%%.

%%\Leftrightarrow e^{1-x} + (e^{1-x})^2 = 2%%

Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).

%%\Leftrightarrow (e^{1-x})^2 + e^{1-x} = 2%%

Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit %%y = e^{1-x}%% eine Substitution durchführen, d.h. du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck %%e^{1-x}%% durch %%y%% ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:

%%y^2 + y = 2%%

Hier kannst du %%2%% auf die linke Seite der Gleichung bringen.

%%\Leftrightarrow y^2 + y - 2 = 0%%

Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d.h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der PQ-Formel berechnen:

$$\begin{align}y &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^{2} - (-2)}\\&= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}\\&= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}\\&= -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \Leftrightarrow y \in \{-2, 1 \}\end{align}$$

%%\Leftrightarrow y \in \{-2, 1\}%%

(Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat)

Die Exponentialfunktion %%exp: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto e^x%% nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch %%e^{1-x} = exp(1-x)%% nur positive Werte annehmen und die Gleichung %%y = e^{1-x}%% ist lediglich für %%y = 1%% erfüllbar.

%%e^{1-x} = 1%%

Wie du vielleicht schon weißt, ist %%exp(0) = e^0 = 1%%. Also ist %%x = 1%% eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion %%ln%% auf beide Seiten der Gleichung erhältst du

%%\Leftrightarrow ln(e^{1-x}) = ln(1)%%

Da %%ln%% die Umkehrfunktion von %%exp%% auf ganz %%\mathbb{R}%% ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt %%ln(e^x) = x%%. Aus dem Artikel zur %%ln%%-Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass %%ln(1) = 0%% ist.

%%\Leftrightarrow 1-x = 0%%

Hier kannst du %%x%% auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung %%f(x) = g(x)%%.

%%\Leftrightarrow x = 1%%

Als letztes musst du diesen %%x%%-Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den %%y%%-Wert des Schnittpunkts herauszufinden.

%%f(1)=1+e^{1-1}=1+e^0=1+1=2%%

Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei %%S(1|2)%%.

Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?

Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

Gegeben sind zwei Funktionen %%f:D_{f} \rightarrow \mathbb{R}%%, %%g:D_{g} \rightarrow \mathbb{R}%%, deren Graphen sich in einem Punkt %%\tilde x%% gemäß Teilaufgabe b) schneiden: %%f(\tilde x) = g(\tilde x)%%. %%f%% und %%g%% wollen wir als in %%\tilde x%% differenzierbar voraussetzen.

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden %%g_{1}: y = k_{1} x + d_{1}%% und %%g_{2}: y = k_{2} x + d_{2}%%, welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:

  1. %%f'(\tilde x) = k_{1}%% und %%g'(\tilde x) = k_{2}%%

  2. %%f(\tilde x) = k_{1} \tilde x + d_{1}%% und %%g(\tilde x) = k_{2} \tilde x + d_{2}%%

Dies bedeutet, in Worte gefasst:

  1. Die Steigung von %%g_{1}%% ist gleich der Steigung von %%f%% in %%\tilde x%% und die Steigung von %%g_{2}%% ist gleich der Steigung von %%g%% in %%\tilde x%%.
  2. Der Schnittpunkt %%(\tilde x, f(\tilde x)) = (\tilde x, g(\tilde x))%% der Graphen von %%f%% und %%g%% ist in %%g_{1}%% und %%g_{2}%% enthalten.

Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren %%\overrightarrow{g_{1}}%% und %%\overrightarrow{g_{2}}%% mittels der Formel %%cos(\phi)=\frac{\langle\overrightarrow{g_{1}}, \overrightarrow{g_{2}} \rangle}{\lvert \overrightarrow{g_{1}} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{g_{2}} \rvert}%% berechnen (%%\langle ., . \rangle%% bezeichnet das Standardskalarprodukt):

In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt %%\tilde x = 1%% mit %%f(1)=g(1)=2%%. Um die Steigungen von %%f%% und %%g%% in %%\tilde x = 1%% zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:

%%f'(x) = -e^{1-x}%% und %%g'(x) = 2 \cdot e^{x-1}%%.

Detaillierte Begründung der Differenzierbarkeit und Berechnung der Ableitungen.

Die Funktionen

%%h_{1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1%%

%%h_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1-x%%

%%h_{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}, x \mapsto e^x%%

sind allesamt differenzierbar und haben die Ableitungen

%%h_{1}'(x) = 0%%

%%h_{2}'(x) = -1%%

%%h_{3}'(x) = e^x%%.

Wegen

%%f(x) = h_{1}(x) + h_{3}(h_{2}(x))%% und

%%g(x) = 2 \cdot h_{3}((-1) \cdot h_{2}(x))%%

sind %%f%% und %%g%% aufgrund der Ketten-, Summen- und Produktregel ebenfalls differenzierbar:

%%f'(x) = h_{1}'(x) + h_{3}'(h_{2}(x)) \cdot h_{2}'(x)%%

%%= 0 + e^{1-x} \cdot (-1)%%

%%= -e^{1-x}%%

sowie

%%g'(x) = 2 \cdot h_{3}'((-1) \cdot h_{2}(x)) \cdot ((-1) \cdot h_{2}'(x))%%

%%= 2 \cdot e^{(-1) \cdot (1-x)} \cdot ((-1) \cdot (-1))%%

%%= 2 \cdot e^{x-1}%%

Nun kannst du die Werte der Ableitungen an %%\tilde x = 1%% durch Einsetzen berechnen.

%%f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1%%

%%g'(1) = 2 \cdot e^{1-1} = 2 \cdot e^0 = 2%%

Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du %%k_{1} = f'(1)%% und %%k_{2} = g'(1)%% setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von %%\tilde x = 1, f(1), g(1), k_{1}%% und %%k_{2}%% zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte %%d_{1}%% und %%d_{2}%% zu berechnen:

$$f(\tilde x)=k_{1} \tilde x + d_{1}\\\Leftrightarrow 2= (-1) \cdot 1 + d_{1}\\\Leftrightarrow d_{1}=3$$

und

$$g(\tilde x) = k_{2} \tilde x + d_{2}\\\Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + d_{2}\\\Leftrightarrow d_{2} = 0$$

Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von %%g_{1}%% und %%g_{2}%% ermittelt:

%%g_{1}: y = (-1) \cdot x + 3%%

%%g_{2}: y = 2 \cdot x%%

(siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)

Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,

%%g_{1}: x + y = 3%%

%%g_{2}: (-2) \cdot x + y = 0%%

sowie deren Normalenvektoren %%\overrightarrow{n}_{g_{1}}%% und %%\overrightarrow{n}_{g_{2}}%% ablesen: %%\binom{1}{1}%% und %%\binom{-2}{1}%%.

Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von %%90°%% auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik %%\varphi = \varphi'%%. Also kannst du %%\phi%% mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:

$$\begin{align}cos(\varphi)&=\frac{\langle\overrightarrow{n}_{g_{1}}, \overrightarrow{n}_{g_{2}} \rangle}{\lvert \overrightarrow{n}_{g_{1}} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{n}_{g_{2}} \rvert}\\&=\frac{\langle\binom{1}{1}, \binom{-2}{1} \rangle}{\lvert \binom{1}{1} \rvert \cdot \lvert \binom{-2}{1} \rvert} \\&= \frac{-2+1}{\sqrt{1+1} \cdot \sqrt{4+1}}\\&= -\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}= -\frac{1}{\sqrt{10}}\end{align}$$

%%\begin{align}\Rightarrow \varphi &= cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})\\&\approx 108,4°\end{align}%%

Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von %%cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})%% (in %%°%% Winkelmaß) zu berechnen.

Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in %%°%% Radiant angegeben erhältst.


(*) Alternativer Lösungsweg

Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch %%m=\tan\left(\alpha\right)%% gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel %%\alpha%% (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von %%\tan^{-1}\left(..\right)%% auf beiden Seiten der Gleichung liefert: $$\alpha=\tan^{-1}\left(m\right)$$

Wir hatten:

%%g_{1}: y = - x + 3 \;%% mit Steigung %%\;m_1=-1%%.

%%g_{2}: y = 2 \cdot x\;%% mit Steigung %%\;m_2=2%%

$$$$$$$$

$$$$

Berechne nun den Steigungswinkel gemäß der Formel von oben.

Steigungswinkel von %%g_1%%:
%%\alpha_1=\tan^{-1}\left(m_1\right)=\tan^{-1}\left(-1\right)=-45^\circ%%

Steigungswinkel von %%g_2%%:
%%\alpha_2=\tan^{-1}\left(m_2\right)=\tan^{-1}\left(2\right)\approx63,4^\circ%%

Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.

%%\varphi=\left|\alpha_2-\alpha_1\right|\approx\left|63,4^\circ-(-45^\circ)\right|=108,4^\circ%%

Gegeben ist die Funktion %%f%% mit  %%f\left(x\right)=x\cdot e^{1-x}%% .

Zu text-exercise-group 14033: Keine Lösung.
Lena09 2014-03-21 16:52:51
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In welchen Intervallen ist %%f%% streng monoton wachsend?

Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen:

Eine reellwertige Funktion %%f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}%% auf einem Intervall %%[a,b]%% mit %%a < b%% heißt

  • monoton wachsend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x \leq y \leq b%% folgt, dass %%f(x) \leq f(y)%% ist.
  • streng monoton wachsend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x < y \leq b%% folgt, dass %%f(x) < f(y)%% ist.

Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von %%a%% ausgehend auf %%b%% zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von %%f%%.

  • monoton fallend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x \leq y \leq b%% folgt, dass %%f(x) \geq f(y)%% ist.
  • streng monoton wachsend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x < y \leq b%% folgt, dass %%f(x) < f(y)%% ist.

Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von %%a%% ausgehend auf %%b%% zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von %%f%%.

Ist die betrachtete Funktion %%f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}%% differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:

  • Ist %%f'(x) \geq 0%% (bzw. %%>0%%) für alle %%x%% in %%[a,b]%%, so wächst %%f%% monoton (bzw. streng) auf %%[a,b]%%.
  • Ist %%f'(x) \leq 0%% (bzw. %%<0%%) für alle %%x%% in %%[a,b]%%, so fällt %%f%% monoton (bzw. streng monoton) auf %%[a,b]%%.

Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen %%f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}%% verallgemeinern, indem du die Ableitung %%f'%% berechnest und %%\mathbb{R}%% in größmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen %%f' \geq 0%% oder %%f' \leq 0%% ist.

In dieser Aufgabe ist

%%f(x)=x \cdot e^{1-x}%%

%%f%% ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:

Detaillierte Begründung der Differenzierbarkeit von %%f%%

Die Exponentialfunktion %%exp: x \mapsto e^x%% ist (beliebig oft) differenzierbar mit %%(e^x)'=e^x%%. Auch Polynome sind (beliebig oft) differenzierbar, weshalb die Funktionen %%h_{1}:x \mapsto x%% und %%h_{2}:x \mapsto 1-x%% (beliebig oft) differenzierbar sind; ihre Ableitungen sind

%%h'_{1}(x) = 1%% und %%h'_{2}(x) = -1%%

Wegen %%f(x) = h_{1}(x) \cdot exp(h_{2}(x))%% ist %%f%% gemäß der Produkt- und Kettenregel ebenfalls (beliebig oft) differenzierbar.

%%f'(x) =%%

Anwendung der Produktregel

%%(x)' \cdot e^{1-x} + x \cdot (e^{1-x})'=%%

Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von %%(e^x)'=exp'(x)=exp(x)=e^x%% liefert:

%%(e^{1-x})'=%%

%%(exp(1-x))'=%%

%%exp'(1-x) \cdot (1-x)'=%%

%%exp(1-x) \cdot (-1)=%%

%%-e^{1-x}%%

Durch Einsetzen der Ableitung %%(x)'=1%% erhältst du

%%1 \cdot e^{1-x} + x \cdot (-1) \cdot e^{1-x}=%%

Hier kannst du den Ausdruck %%e^{1-x}%% herausheben:

%%(1-x) \cdot e^{1-x}%%

Dabei ist %%e^{1-x}%% für reelle %%x%% immer positiv.

Genauere Begründung

Die Exponentialfunktion %%exp:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, x \mapsto e^x%% nimmt ausschließlich positive Werte an. Wir definieren %%h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1-x%% als eine weitere Funktion. Damit hat auch die Verknüpfung %%exp \circ h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}%% beider Funktionen nur positive Bilder.

Daher hängt das Vorzeichen von %%f'(x)%% nur von dem Ausdruck %%1-x%% ab:

%%1-x>0%% für %%x<1%%

%%1-x<0%% für %%x>1%% und

Insgesamt ist

%%f'(x)>0%% für %%x<1%% und

%%f'(x)<0%% für %%x>1%%.

Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von %%f%% angeben:

%%f%% wächst streng monoton für %%x<1%% und fällt streng monoton für %%x>1%%.

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von %%f%%.

Hoch- und Tiefpunkte einer reellwertigen Funktion berechnen:

  • Hoch- und Tiefpunkte einer differenzierbaren Funktion %%f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}%% sind insbesondere stationäre Punkte von %%f%%, also Punkte %%\tilde x%% mit %%f'(\tilde x) = 0%%.

  • Ist %%f%% zweimal differenzierbar und %%\tilde x%% ein stationärer Punkt von %%f%%, so kann man mithilfe der zweiten Ableitung %%f''%% entscheiden, ob es sich bei %%\tilde x%% um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

    • %%f''(\tilde x) > 0 \Rightarrow \tilde x%% ist ein Tiefpunkt.
    • %%f''(\tilde x) < 0 \Rightarrow \tilde x%% ist ein Hochpunkt.

Wir wissen bereits aus Teilaufgabe a), dass %%f%% auf ganz %%\mathbb{R}%% beliebig oft differenzierbar ist und ihre erste und zweite Ableitung durch %%f'(x) =%% und %%f''(x) =%% gegeben ist.

Damit kannst du diese Aufgabe auf folgende Weise lösen:

  1. Löse die Gleichung %%f'(x)=0%% nach %%x%% auf, falls dies möglich ist.
  2. Prüfe für alle in Schritt 1 berechneten Lösungen %%\tilde x%% von %%f'(x)=0%%, ob %%f''(\tilde x) \lessgtr 0%% ist und gib an, von welchem Typ der jeweilige stationäre Punkt ist.

Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass %%f%% (beliebig oft) differenzierbar mit der ersten Ableitung %%f'(x) = (1-x) \cdot e^{1-x}%% ist:

%%f'(x) = 0%%

Setze für %%f'(x)%% ein.

%%\Leftrightarrow (1-x) \cdot e^{1-x} = 0%%

Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass %%e^{1-x}>0%% ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn %%1-x=0%% ist. Dies ist nur für %%x=1%% erfüllt.

%%\Leftrightarrow x=1%%

%%x=1%% ist also der einzige stationäre Punkt von %%f%%. Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von %%f%% (beachte: %%f%% ist beliebig oft differenzierbar):

%%f''(x) = ((1-x) \cdot e^{1-x})'%%

Wende die Produktregel an.

%%=(1-x)' \cdot e^{1-x} + (1-x) \cdot (e^{1-x})'%%

Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von %%e^{1-x}%% die Kettenregel und erhältst %%(e^{1-x})'=-e^{1-x}%%. Dies setzt du zusammen mit %%(1-x)'=-1%% ein.

%%=-e^{1-x}+(-1) \cdot (1-x) \cdot e^{1-x}%%

Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.

%%=-e^{1-x}+(x-1) \cdot e^{1-x}%%

Nun hebst du %%e^{1-x}%% heraus.

%%=(x-2) \cdot e^{1-x}%%

Durch Einsetzen von %%x=1%% ergibt sich %%f''(1)=(1-2) \cdot e^{1-1} = (-1) \cdot \underbrace{e^{0}}_{=1} = -1 < 0%%

%%x=1%% ist daher ein Hochpunkt von %%f%%.

Gegeben ist die Funktion %%f%% mit %%f(x)=(x^2+x-5)\cdot e^x%% .

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von %%f%%.

Hoch- und Tiefpunkte einer reellwertigen Funktion berechnen:

  • Hoch- und Tiefpunkte einer differenzierbaren Funktion %%f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}%% sind insbesondere stationäre Punkte von %%f%%, also Punkte %%\tilde x%% mit %%f'(\tilde x) = 0%%.

  • Ist %%f%% zweimal differenzierbar und %%\tilde x%% ein stationärer Punkt von %%f%%, so kann man mithilfe der zweiten Ableitung %%f''%% entscheiden, ob es sich bei %%\tilde x%% um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

    • %%f''(\tilde x) > 0 \Rightarrow \tilde x%% ist ein Tiefpunkt.
    • %%f''(\tilde x) < 0 \Rightarrow \tilde x%% ist ein Hochpunkt.

Du kannst diese Aufgabe auf folgende Weise lösen:

  1. Entscheide, ob %%f%% differenzierbar ist. Falls dem so ist, berechne die erste Ableitung %%f'(x)%%.
  2. Löse die Gleichung %%f'(x)=0%% nach %%x%% auf, falls dies möglich ist.
  3. Entscheide, ob %%f'%% differenzierbar ist. Wenn ja, berechne die zweite Ableitung %%f''(x)%%.
  4. Prüfe für alle in Schritt 2 berechneten Lösungen %%\tilde x%% von %%f'(x)=0%%, ob %%f''(\tilde x) \lessgtr 0%% ist und gib an, von welchem Typ der jeweilige stationäre Punkt ist.

%%f(x) = (x^2 + x - 5) \cdot e^x%%

Die Exponentialfunktion %%x \mapsto e^x%% ist beliebig oft differenzierbar mit %%(e^x)''=(e^x)'=e^x%%. Da Polynome stets beliebig oft differenzierbar sind, ist die Funktion %%x \mapsto x^2+x-5%% beliebig oft differenzierbar:

Es gelten:

%%(x^2+x-5)'=2x+1%%

Gemäß der Produktregel ist daher auch %%f%% beliebig oft differenzierbar. Du kannst also gleich erste und zweite Ableitung berechnen

$$f'(x) = e^x \cdot (x^2+x-5) + e^x \cdot (2x+1) = e^x \cdot (x^2 + 3x - 4)$$

$$f''(x) = (f'(x))' = e^x \cdot (x^2 + 3x -4) + e^x \cdot (2x + 3) = (x^2+5x-1) \cdot e^x$$

und damit die Lösungen der Gleichung %%f'(x)=0%%:

%%f'(x)=0%%

%%\Leftrightarrow e^x \cdot (x^2 + 3x -4) = 0%%

Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich %%0%%, wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich %%0%% ist. Da die Exponentialfunktion %%x \mapsto e^x%% nur positive Werte annimmt, muss %%x^2 + 3x -4 = 0%% gelten.

%%\Leftrightarrow x^2 + 3x -4 = 0%%

Das ist eine quadratische Gleichung, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der PQ-Formel berechnen:

$$\begin{align}x&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-(-4)}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\&= -\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \Leftrightarrow x \in \{-4, 1 \}\end{align}$$

%%\Leftrightarrow x \in \{-4, 1\}%%

(Der Äquivalenzpfeil behält hier seine Gültigkeit, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen besitzt)

Somit sind %%-4%% und %%1%% die einzigen stationären Punkte von %%f%%. Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, setzt du sie in die bereits berechnete zweite Ableitung von %%f%% ein:

%%f''(-4) = ((-4)^2+5 \cdot (-4)-1) \cdot e^{-4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{-4} = -5 \cdot \underbrace {e^{-4}}_{>0} < 0%%,

sowie

%%f''(1) = (1^2+5 \cdot 1-1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underbrace {e}_{>0} > 0%%.

Du siehst nun, dass %%-4%% ein Hochpunkt und %%1%% ein Tiefpunkt von %%f%% ist. Da dies die einzigen Nullstellen der ersten Ableitung von %%f%% sind, kann %%f%% keine weiteren Hoch- oder Tiefpunkte haben.

Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:

%%f(x)=e\cdot e^x%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=ℝ%%.

Nullstellenbestimmung

Die %%e%%-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion %%f%% ebenfalls keine besitzt.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f(x)=e\cdot e^x%%

Die Ableitung von %%e^x%% ist wiederum %%e^x%%. Der Faktor %%e%% bleibt bestehen.

%%f'(x)=e \cdot e^x%%

2. Ableitung

%%f'(x)=e\cdot e^x%%

Selber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.

%%f''(x)=e\cdot e^x%%

Extrema bestimmen

Da %%f'(x)=e\cdot e^x%% nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Da %%f''(x)=e\cdot e^x%% nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

  %%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to\infty}\underbrace{e\cdot e^x}_{\to\infty}=\infty%%

gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\to-\infty}\underbrace{e\cdot e^x}_{\to0}=0^+%%

Damit besitzt %%f%% eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an %%-\infty%% .

Symmetrieverhalten

%%f(x)=e\cdot e^x%%

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

%%f(-x)=e\cdot e^{-x}%%

Da  %%f\left(-x\right)%% weder %%-f\left(x\right)%% noch  %%f\left(x\right)%% ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

Monotonieverhalten

Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von %%f'(x)%%. Da %%f'(x)%% keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von %%f(x)%% auch nicht.

%%f'(x)=e\cdot e^x%%

Der erste Faktor %%e%% ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor %%e^x%% ist in %%D_f=ℝ%% immer positiv, wodurch %%f'(x)%% stets positiv ist.

Damit ist die Funktion streng monoton steigend in %%D_f=ℝ%%.

Graph

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3102_EUnFLsTt7q.xml

Diskutiere folgende Funktionen

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%e^x-1=0%%

%%\mid+1%%

%%e^x=1%%

Logarithmus anwenden.

%%x=\ln(1)=0%%

Somit ist der maximale Definitionsbereich %%D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}%%.

Nullstellenbestimmung

Da im Zähler keine Elemente, die %%x%% enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.

%%\phantom{f(x)}={\textstyle\left(e^x-1\right)}^{-1}%%

Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

%%f'\left(x\right)=-1\cdot\left(e^x-1\right)^{-2}\cdot e^x%%

Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.

%%\phantom{f'\left(x\right)}=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (%%u'%%) und Nenner (%%v'%%).

%%u'=e^x,\;v'=2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f''\left(x\right)=\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)^2-e^x\cdot2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^4}%%

Kürze mit %%\left(e^x-1\right)%%.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)-e^x\cdot2\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^{2x}-e^x-2e^{2x}}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{-e^{2x}-e^x}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Klammere %%-e^x%% aus.

%%\phantom{f''(x)}=-\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}%%

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

%%e^x=0%%

Die %%e%%-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.

%%f''(x)=-\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

%%e^x\left(e^x+1\right)=0%%

Die %%e%%-Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch %%e^x%% vor der Klammer gleich Null.

Also besitzt %%f%% keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}%%

Da die Funktion eine Definitionslücken hat, muss das Verhalten gegen 0 und %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen 0

%%\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^-}-1}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

Annäherung von links

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^+}-1}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Annäherung von rechts

gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow0}-1}=-1%%

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow+\infty}-1}=0%%

Symmetrieverhalten

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

Setze %%-x%% für %%x%% ein.

%%f(-x)=\frac1{e^{-x}-1}%%

Wende die Potenzgesetze an.

%%\phantom{f(-x)}=\frac1{{\frac1{e^x}}-1}%%

Da %%f(-x)%% weder %%f(x)%% noch %%-f(x)%% ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:

%%x < 0%%

%%x = 0%%

%%0 < x%%

Vorzeichen von %%f'(x)%%

    -

\

    -

%%G_f%%

%%\downarrow%%

\

%%\downarrow%%

%%f(x)=e^{-x}%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=\mathbb{R}%%.

Nullstellenbestimmung

Die %%e%%-Funktion besitzt auf %%D_f=\mathbb{R}%% keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion %%f%% ebenfalls keine besitzt.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f(x)=e^{-x}%%

Die Ableitung von %%e^{-x}%% ist %%e^{-x} \cdot (-1)%%.

%%f'(x)=-e^{-x}%%

2. Ableitung

%%f'(x)=-e^{-x}%%

Die Ableitung von %%-e^{-x}%% ist %%-e^{-x} \cdot (-1)%%.

%%f''(x)=e^{-x}%%

Extrema bestimmen

Da %%f'(x)=-e^{-x}%% nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Da %%f''(x)=e^{-x}%% nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\mathbb{ℝ}%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to\infty} \underbrace{e^{-x}}_{\to 0} = 0%%

Damit besitzt %%f%% eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an %%-\infty%%.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to-\infty}\underbrace{e^{-x}}_{\to \infty}=\infty%%

Symmetrieverhalten

%%f(x)=e^{-x}%%

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

%%f(-x)=e^{-(-x)}=e^x%%

Da %%f\left(-x\right)%% weder %%-f\left(x\right)%% noch  %%f\left(x\right)%% ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

Monotonieverhalten

Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von %%f'(x)%%. Da %%f'(x)%% keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von %%f(x)%% auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. %%x=0%%:

$$f'(0)=-e^{-0}=-1 < 0$$

Damit ist die Funktion streng monoton fallend in %%D_f = \mathbb{R}%%.

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%.

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%e^{2x}-5=0%%

%%\mid +5%%

%%e^{2x}=5%%

Wende den Logarithmus an.

%%2x=\ln(5)%%

%%\mid\,:2%%

%%x=\frac{\ln(5)}{2}%%

Damit ist der maximale Definitionsbereich %%D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\ln(5)}2\right\}%%.

Nullstellenbestimmung

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%e^x-4=0%%

%%\mid +4%%

%%e^x=4%%

Wende den Logarithmus an.

%%x=\ln(4)%%

Die einzige Nullstelle ist %%(\ln(4) \mid 0)%%.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%u'=e^x,\;v'=2e^{2x}%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f'\left(x\right)=\frac{e^x\cdot\left(e^{2x}-5\right)-2e^{2x}\cdot\left(e^x-4\right)}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Löse die Klammern auf.

%%\phantom{f'(x)}=\frac{e^{3x}-5e^x-2e^{3x}+8e^{2x}}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f'(x)}=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Berechne die Ableitung von Zähler (%%u'%%) und Nenner (%%v'%%).

%%u'=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,\;v'=\left(e^{2x}-5\right)\cdot2\cdot2e^{2x}%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f''(x)=\frac{(-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x)\cdot(e^{2x}-5)^2-(e^{2x}-5)\cdot 2 \cdot 2e^{2x}\cdot(-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x)}{(e^{2x}-5)^4}%%

Kürze  mit %%\left(e^{2x}-5\right)%% .

%%\phantom{f''(x)}=\frac{\left(-3 e^{3 x}+16 e^{2 x}-5 e^ x\right)\cdot\left( e^{2 x}-5\right)-2\cdot2 e^{2 x}\cdot\left(- e^{3 x}+8 e^{2 x}-5 e^ x\right)}{\left( e^{2 x}-5\right)^3}%%

Löse die Klammern auf.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{-3e^{5x}+16e^{4x}-5e^{3x}+15e^{3x}-80e^{2x}+25e^x+4e^{5x}-32e^{4x}+20e^{3x}}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

%%-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x=0%%

Substitution

%%u=e^x%%

%%-u^3+8u^2-5u=0%%

Klammere %%u%% aus.

%%u\cdot\left(-u^2+8u-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

%%\;\;\Rightarrow\;\;u_1=0%%

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

%%-u^2+8u-5=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%u_{2,3}=\frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}%%

Unter der Wurzel subtrahieren .

%%\phantom{u_{2,3}}=\frac{-8\pm\sqrt{44}}{-2}%%

2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.

%%\phantom{u_{2,3}}=\frac{-8\pm2\sqrt{11}}{-2}%%

%%u_2=\frac{-8+2\sqrt{11}}{-2}=4-\sqrt{11}%%

%%u_3=\frac{-8-2\sqrt{11}}{-2}=4+\sqrt{11}%%

Resubstitution

%%u_1=e^{x_1}%%

%%0=e^{x_1}%%

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und %%x_1%% keine Nullstelle.

%%u_2=e^{x_2}%%

%%4-\sqrt{11}=e^{x_2}%%

Wende den Logarithmus an.

%%\ln\left(4-\sqrt{11}\right)=x_2%%

%%u_3=e^{x_3}%%

%%4+\sqrt{11}=e^{x_3}%%

Wende den Logarithmus an.

%%\ln(4+\sqrt{11})=x_3%%

%%y%%-Werte bestimmen

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%x_2%%  einsetzen.

%%f\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\right)=\frac{\mathrm e^{\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-4}{\mathrm e^{2\cdot\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4-\sqrt{11}-4}{\left(4-\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{-\sqrt{11}}{16-8\sqrt{11}+11-5}=\frac{-\sqrt{11}}{22-8\sqrt{11}}=\frac1{8-2\sqrt{11}}%%

%%\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.%%

Erster Extrempunkt

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%x_3%% einsetzen.

%%f\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\right)=\frac{ e^{\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-4}{ e^{2\cdot\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4+\sqrt{11}-4}{\left(4+\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{\sqrt{11}}{22+8\sqrt{11}}=\frac1{8+2\sqrt{11}}%%

%%\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)%%

Zweiter Extrempunkt

Art der Extrema bestimmen

%%f''\left(x\right)=\frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

%%x_2%%  einsetzen.

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle %%x_2%% ein Tiefpunkt vor.

%%\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.%%

%%f''\left(\ln(4+\sqrt{11})\right) = \frac{e^{5 \cdot \ln(4+\sqrt{11})} -16e^{4 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}+30e^{3 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}-80e^{2 \cdot \ln(4 + \sqrt{11})}+25e^{\ln(4+\sqrt{11})} }{(e^{2 \cdot \ln(4-\sqrt{11})} + 5)^3}%%

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle %%x_3%% ein Hochpunkt vor.

%%\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)%%

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