$f(x)=g(x)f(x)=g(x)$

In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen $f(x)=1+{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)=1+\backslash mathrm\; e^\{1-x\}$ und $g(x)=2{\mathrm{e}}^{x-1}g(x)=2\backslash mathrm\; e^\{x-1\}$ von $ff$ und $gg$ ein.

$\iff 1+{\mathrm{e}}^{1-x}=2{\mathrm{e}}^{x-1}\backslash Leftrightarrow\; 1+\backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; =\; 2\backslash mathrm\; e^\{x-1\}$

Nun kannst du $x-1x-1$ durch $-(1-x)-(1-x)$ ersetzen.

$\iff 1+{\mathrm{e}}^{1-x}=2{\mathrm{e}}^{-(1-x)}\backslash Leftrightarrow\; 1+\backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; =\; 2\backslash mathrm\; e^\{-(1-x)\}$

Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit ${\mathrm{e}}^{1-x}\backslash mathrm\; e^\{1-x\}$ multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze ${\mathrm{e}}^{1-x}\cdot {\mathrm{e}}^{-(1-x)}={\mathrm{e}}^0=1\backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; \backslash cdot\backslash mathrm\; e^\{-(1-x)\}\; =\; \backslash mathrm\; e^0\; =\; 1$.

$\iff {\mathrm{e}}^{1-x}+({\mathrm{e}}^{1-x}{)}^2=2\backslash Leftrightarrow\backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; +\; (\backslash mathrm\; e^\{1-x\})^2\; =\; 2$

Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).

$\iff ({\mathrm{e}}^{1-x}{)}^2+{\mathrm{e}}^{1-x}=2\backslash Leftrightarrow\; (\backslash mathrm\; e^\{1-x\})^2\; +\; \backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; =\; 2$

$y^2+y=2y^2\; +\; y\; =\; 2$

Hier kannst du $22$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.

$\iff y^2+y-2=0\backslash Leftrightarrow\; y^2\; +\; y\; -\; 2\; =\; 0$

Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der $pqpq$-Formel berechnen:

$\iff y\in \{-2,1\}\backslash Leftrightarrow\; y\; \backslash in\; \backslash \{-2,\; 1\backslash \}$

(Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)

${\mathrm{e}}^{1-x}=1\backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; =\; 1$

Wie du vielleicht schon weißt, ist $\exp (0)={\mathrm{e}}^0=1\backslash operatorname\{exp\}(0)\; =\; \backslash mathrm\; e^0\; =\; 1$. Also ist $x=1x\; =\; 1$ eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion $\ln \backslash operatorname\{ln\}$ auf beide Seiten der Gleichung erhältst du

$\iff \ln ({\mathrm{e}}^{1-x})=\ln (1)\backslash Leftrightarrow\; \backslash operatorname\{ln\}(\backslash mathrm\; e^\{1-x\})\; =\; \backslash operatorname\{ln\}(1)$

Da $\ln \backslash operatorname\{ln\}$ die Umkehrfunktion von $\exp \backslash operatorname\{exp\}$ auf ganz $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt $\ln ({\mathrm{e}}^x)=x\backslash operatorname\{ln\}(\backslash mathrm\; e^x)\; =\; x$. Aus dem Artikel zur $\ln \backslash operatorname\{ln\}$-Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass $\ln (1)=0\backslash operatorname\{ln\}(1)\; =\; 0$ ist.

$\iff 1-x=0\backslash Leftrightarrow\; 1-x\; =\; 0$

Hier kannst du $xx$ auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung $f(x)=g(x)f(x)\; =\; g(x)$.

$\iff x=1\backslash Leftrightarrow\; x\; =\; 1$

$f(1)=1+{\mathrm{e}}^{1-1}=1+{\mathrm{e}}^0=1+1=2f(1)=1+\backslash mathrm\; e^\{1-1\}=1+\backslash mathrm\; e^0=1+1=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-e^{1-1}=-e^0=-1f\text{'}(1)\; =\; -e^\{1-1\}\; =\; -e^0\; =\; -1$

$g^{\mathrm{\prime }}(1)=2\cdot e^{1-1}=2\cdot e^0=2g\text{'}(1)\; =\; 2\; \backslash cdot\; e^\{1-1\}\; =\; 2\; \backslash cdot\; e^0\; =\; 2$

Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du $k_1=f^{\mathrm{\prime }}(1)k\_\{1\}\; =\; f\text{'}(1)$ und $k_2=g^{\mathrm{\prime }}(1)k\_\{2\}\; =\; g\text{'}(1)$ setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von $\tilde{x}=1,f(1),g(1),k_1\backslash tilde\; x\; =\; 1,\; f(1),\; g(1),\; k\_\{1\}$ und $k_{2}k\_\{2\}$ zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte $d_{1}d\_\{1\}$ und $d_{2}d\_\{2\}$ zu berechnen:

und

Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von $g_{1}g\_\{1\}$ und $g_{2}g\_\{2\}$ ermittelt:

$g_1:y=(-1)\cdot x+3g\_\{1\}:\; y\; =\; (-1)\; \backslash cdot\; x\; +\; 3$

$g_2:y=2\cdot xg\_\{2\}:\; y\; =\; 2\; \backslash cdot\; x$

(siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)

Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,

$g_1:x+y=3g\_\{1\}:\; x\; +\; y\; =\; 3$

$g_2:(-2)\cdot x+y=0g\_\{2\}:\; (-2)\; \backslash cdot\; x\; +\; y\; =\; 0$

sowie deren Normalenvektoren ${\overrightarrow{n}}_{g_1}\backslash overrightarrow\{n\}\_\{g\_\{1\}\}$ und ${\overrightarrow{n}}_{g_2}\backslash overrightarrow\{n\}\_\{g\_\{2\}\}$ ablesen: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{1}{1}\right)\backslash binom\{1\}\{1\}$ und $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{-2}{1}\right)\backslash binom\{-2\}\{1\}$.

Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von $co{s}^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})cos^\{-1\}(-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{10\}\})$ (in $\mathrm{°}°$ Winkelmaß) zu berechnen.

Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in $\mathrm{°}°$ Radiant angegeben erhältst.

Steigungswinkel von $g_{1}g\_1$: ${\alpha }_1={\tan }^{-1}\left(m_1\right)={\tan }^{-1}(-1)=-{45}^{\circ }\backslash alpha\_1=\backslash tan^\{-1\}\backslash left(m\_1\backslash right)=\backslash tan^\{-1\}\backslash left(-1\backslash right)=-45^\backslash circ$

Steigungswinkel von $g_{2}g\_2$: ${\alpha }_2={\tan }^{-1}\left(m_2\right)={\tan }^{-1}\left(2\right)\approx {\mathrm{63,4}}^{\circ }\backslash alpha\_2=\backslash tan^\{-1\}\backslash left(m\_2\backslash right)=\backslash tan^\{-1\}\backslash left(2\backslash right)\backslash approx63\{,\}4^\backslash circ$

Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.

$\phi =\mid {\alpha }_2-{\alpha }_1\mid \approx \mid {\mathrm{63,4}}^{\circ }-(-{45}^{\circ })\mid ={\mathrm{108,4}}^{\circ }\backslash varphi=\backslash left|\backslash alpha\_2-\backslash alpha\_1\backslash right|\backslash approx\backslash left|63\{,\}4^\backslash circ-(-45^\backslash circ)\backslash right|=108\{,\}4^\backslash circ$