Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

Diskutiere folgende Funktionen

$f(x)=\frac1{e^x-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Bestimme zu erst den Definitionsbereich, indem du den Nenner der Funktion gleich $0$ setzt.

$f (x) =$ $\frac{1}{e^x-1}$

$\displaystyle e^x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Logarithmus anwenden.
$\displaystyle \ln\ \text{e}^x$	$=$	$\displaystyle \ln(1)$
$\displaystyle x\cdot\ln\text{e}\$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Somit ist der maximale Definitionsbereich $D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme alle Nullstellen. Da im Zähler keine Elemente, die $x$ enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.

1. Ableitung

Forme zuerst $f$ ein wenig um.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{e^x-1}$
	↓	Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle (e^x-1)^{-1}$

Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(e^x-1\right)^{-2}\cdot e^x$
	↓	Wandle in einen Bruch um mithilfe der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle -\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}$

2. Ableitung

$f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ( $u^{'}$ ) und Nenner ( $v^{'}$ ).

$u'=e^x,\;v'=2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)^2-e^x\cdot2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^4}$
	↓	Kürze mit $\left(e^x-1\right)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)-e^x\cdot2\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^3}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{e^{2x}-e^x-2e^{2x}}{\left(e^x-1\right)^3}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-e^{2x}-e^x}{\left(e^x-1\right)^3}$
	↓	Klammere $- e^{x}$ aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}$

Extrema bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}$

$e^{x} = 0$

Die $e$ -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.

Wendepunkte bestimmen

Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f''(x)=-\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}$

$e^x\left(e^x+1\right)=0$

Die $e$ -Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch $e^{x}$ vor der Klammer gleich Null.

Also besitzt $f$ keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

$D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$

Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss das Verhalten gegen 0 und $\pm\infty$ betrachtet werden.

Grenzwert gegen $0$ von links:

$\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^-}-1}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$

Grenzwert gegen $0$ von rechts:

$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^+}-1}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$

Grenzwert gegen $-\infty$ :

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow0}-1}=-1$

Grenzwert gegen $+\infty$ :

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow+\infty}-1}=0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

$f(x)=\frac1{e^x-1}$

Setze $- x$ für $x$ ein.

$\displaystyle f(-x)$	$=$	$\displaystyle \frac1{e^{-x}-1}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \frac1{{\frac1{e^x}}-1}$

Da $f (- x)$ weder $f (x)$ noch $- f (x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:

	$x < 0$	$x = 0$	$0 < x$
Vorzeichen von $f^{'} (x)$	-	\	-
$G_{f}$	$\downarrow$	\	$\downarrow$

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$f(x)=e^{-x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich. Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion $D_f=\mathbb{R}$ .
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Die $e$ -Funktion besitzt auf $D_f=\mathbb{R}$ keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion $f$ ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
$f(x)=e^{-x}$
Die Ableitung von $e^{- x}$ ist $e^{-x} \cdot (-1)$ .
$f'(x)=-e^{-x}$
2. Ableitung
$f'(x)=-e^{-x}$
Die Ableitung von $- e^{- x}$ ist $-e^{-x} \cdot (-1)$ .
$f''(x)=e^{-x}$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
Da $f'(x)=-e^{-x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
Da $f''(x)=e^{-x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
$D_f=\mathbb{ℝ}$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.
Grenzwert gegen $+\infty$ :
$\lim_{x\to\infty} \underbrace{e^{-x}}_{\to 0} = 0$
Damit besitzt $f$ eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an $-\infty$ .
Grenzwert gegen $-\infty$ :
$\lim_{x\to-\infty}\underbrace{e^{-x}}_{\to \infty}=\infty$
Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
$f(x)=e^{-x}$
Ersetze $x$ durch $- x$ .
$f(-x)=e^{-(-x)}=e^x$
Da $f\left(-x\right)$ weder $-f\left(x\right)$ noch $f\left(x\right)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ .
Da $f^{'} (x)$ keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von $f (x)$ auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. $x = 0$ :
$\displaystyle f'(0)=-e^{-0}=-1 < 0$
Damit ist die Funktion streng monoton fallend in $D_f = \mathbb{R}$ .
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