Diskutiere folgende Funktionen
f(x)=exâ11â
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Bestimme zu erst den Definitionsbereich, indem du den Nenner der Funktion gleich 0 setzt.
f(x)= exâ11â
exâ1 = 0 +1 ex = 1 â Logarithmus anwenden.
ln ex = ln(1) xâ lne = 0 x = 0 Somit ist der maximale Definitionsbereich Dfâ=Râ{0}.
Nullstellenbestimmung
Bestimme alle Nullstellen. Da im ZĂ€hler keine Elemente, die x enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
Forme zuerst f ein wenig um.
f(x) = exâ11â â Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.
= (exâ1)â1 Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.
fâČ(x) = â1â (exâ1)â2â ex â Wandle in einen Bruch um mithilfe der Potenzgesetze.
= â(exâ1)2exâ 2. Ableitung
fâČ(x)=â(exâ1)2exâ
Berechne die Ableitungen von ZĂ€hler (uâČ) und Nenner (vâČ).
uâČ=ex,vâČ=2â (exâ1)â ex
Wende die Quotientenregel an.
fâČâČ(x) = (exâ1)4exâ (exâ1)2âexâ 2â (exâ1)â exâ â KĂŒrze mit (exâ1).
= (exâ1)3exâ (exâ1)âexâ 2â exâ â Multipliziere aus.
= (exâ1)3e2xâexâ2e2xâ â Fasse gleiche Elemente zusammen.
= (exâ1)3âe2xâexâ â Klammere âex aus.
= â(exâ1)3ex(ex+1)â Extrema bestimmen
fâČ(x)=â(exâ1)2exâ
ex=0
Die e-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.
Wendepunkte bestimmen
Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der ZĂ€hler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.
fâČâČ(x)=â(exâ1)3ex(ex+1)â
ex(ex+1)=0
Die e-Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch ex vor der Klammer gleich Null.
Also besitzt f keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Dfâ=R\{0}
Da die Funktion eine DefinitionslĂŒcke hat, muss das Verhalten gegen 0 und ±â betrachtet werden.
Grenzwert gegen 0 von links:
limxâ0âââ0ââ1âexâââ1ââ1â=ââ
Grenzwert gegen 0 von rechts:
limxâ0+ââ0+â1+exâââ1ââ1â=+â
Grenzwert gegen ââ:
limxâââââ0exâââ11â=â1
Grenzwert gegen +â:
limxâ+âââ+âexâââ11â=0
Symmetrieverhalten
ĂberprĂŒfe das Symmetrieverhalten.
f(x)=exâ11â
Setze âx fĂŒr x ein.
f(âx) = eâxâ11â â Wende die Potenzgesetze an.
= ex1ââ11â Da f(âx) weder f(x) noch âf(x) ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Monotonieverhalten
Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:
x<0
x=0
0<x
Vorzeichen von fâČ(x)
-
\
-
Gfâ
â
\
â
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f(x)=eâx
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich. Da die Funktion keine BrĂŒche, Wurzeln oder andere Dinge enthĂ€lt, die den Definitionsbereich einschrĂ€nken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion Dfâ=R.
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Die e-Funktion besitzt auf Dfâ=R keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion f ebenfalls keine besitzt.
f(x)=eâx
Die Ableitung von eâx ist eâxâ (â1).
fâČ(x)=âeâx
2. Ableitung
fâČ(x)=âeâx
Die Ableitung von âeâx ist âeâxâ (â1).
fâČâČ(x)=eâx
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
Da fâČ(x)=âeâx nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
Da fâČâČ(x)=eâx nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Dfâ=R
Da die Funktion keine DefinitionslĂŒcken hat, muss nur das Verhalten gegen ±â betrachtet werden.
Grenzwert gegen +â:
limxââââ0eâxââ=0
Damit besitzt f eine horizontale Asymptote bei 0 fĂŒr die AnnĂ€herung an ââ.
Grenzwert gegen ââ:
limxââââââeâxââ=â
Untersuche das Symmetrieverhalten.
f(x)=eâx
Ersetze x durch âx.
f(âx)=eâ(âx)=ex
Da f(âx) weder âf(x) noch f(x) ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von fâČ(x).
Da fâČ(x) keine Nullstellen aufweist, Ă€ndert sich die Steigung von f(x) auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. x=0:
fâČ(0)=âeâ0=â1<0Damit ist die Funktion streng monoton fallend in Dfâ=R.
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