Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:
f(x)=eâ ex
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine BrĂŒche, Wurzeln oder andere Dinge enthĂ€lt, die den Definitionsbereich einschrĂ€nken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion Dfâ=R.
Nullstellenbestimmung
Die e-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion f ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
1. Ableitung
f(x)=eâ exDie Ableitung von ex ist wiederum ex. Der Faktor e bleibt bestehen.
fâČ(x)=eâ ex2. Ableitung
fâČ(x)=eâ exSelber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.
fâČâČ(x)=eâ exExtrema bestimmen
Da fâČ(x)=eâ ex nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Da fâČâČ(x)=eâ ex nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Dfâ=R
Da die Funktion keine DefinitionslĂŒcken hat, muss nur das Verhalten gegen ±â betrachtet werden.
gegen +â
xââlimâââeâ exââ=âgegen ââ
xâââlimââ0eâ exââ=0+Damit besitzt f eine horizontale Asymptote bei 0 fĂŒr die AnnĂ€herung an ââ .
Symmetrieverhalten
f(x)=eâ exErsetze x durch âx.
f(âx)=eâ eâxDa f(âx) weder âf(x) noch f(x) ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von fâČ(x). Da fâČ(x) keine Nullstellen aufweist, Ă€ndert sich die Steigung von f(x) auch nicht.
fâČ(x)=eâ exDer erste Faktor e ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor ex ist in Dfâ=R immer positiv, wodurch fâČ(x) stets positiv ist.
Hast du eine Frage oder Feedback?