Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:
f(x)=e⋅ex
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion Df=R.
Nullstellenbestimmung
Die e-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion f ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
1. Ableitung
Die Ableitung von ex ist wiederum ex. Der Faktor e bleibt bestehen.
2. Ableitung
Selber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.
Extrema bestimmen
Da f′(x)=e⋅ex nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Da f′′(x)=e⋅ex nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
Df=R
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen ±∞ betrachtet werden.
gegen +∞
gegen −∞
Damit besitzt f eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an −∞ .
Symmetrieverhalten
Ersetze x durch −x.
Da f(−x) weder −f(x) noch f(x) ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von f′(x). Da f′(x) keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von f(x) auch nicht.
Der erste Faktor e ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor ex ist in Df=R immer positiv, wodurch f′(x) stets positiv ist.
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