Eine reellwertige Funktion $f\text{\hspace{0.17em}⁣}:[a,b]\to \mathbb{R}f\backslash colon[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ auf einem Intervall $[a,b][a,b]$ mit heißt

• monoton wachsend auf $[a,b][a,b]$, falls aus $a\le x\le y\le ba\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; y\; \backslash leq\; b$ folgt, dass $f(x)\le f(y)f(x)\; \backslash leq\; f(y)$ ist.

• streng monoton wachsend auf $[a,b][a,b]$, falls aus folgt, dass ist.

Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $aa$ ausgehend auf $bb$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $ff$.

• monoton fallend auf $[a,b][a,b]$, falls aus $a\le x\le y\le ba\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; y\; \backslash leq\; b$ folgt, dass $f(x)\ge f(y)f(x)\; \backslash geq\; f(y)$ ist.

• streng monoton wachsend auf $[a,b][a,b]$, falls aus folgt, dass ist.

Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $aa$ ausgehend auf $bb$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $ff$.

Ist die betrachtete Funktion $f\text{\hspace{0.17em}⁣}:[a,b]\to \mathbb{R}f\backslash colon[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:

• Ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0f\text{'}(x)\; \backslash geq\; 0$ (bzw. $>0>0$) für alle $xx$ in $[a,b][a,b]$, so wächst $ff$ monoton (bzw. streng) auf $[a,b][a,b]$.

• Ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0f\text{'}(x)\; \backslash leq\; 0$ (bzw. ) für alle $xx$ in $[a,b][a,b]$, so fällt $ff$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a,b][a,b]$.

Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f\text{\hspace{0.17em}⁣}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f\backslash colon\backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ berechnest und $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f^{\mathrm{\prime }}\ge 0f\text{'}\; \backslash geq\; 0$ oder $f^{\mathrm{\prime }}\le 0f\text{'}\; \backslash leq\; 0$ ist.

Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $ff$ angeben:

$ff$ wächst streng monoton für und fällt streng monoton für $x>1x>1$.

Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x)\cdot e^{1-x}f\text{'}(x)\; =\; (1-x)\; \backslash cdot\; e^\{1-x\}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.

$x=1x=1$ ist also der einzige Punkt von $ff$, der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $ff$.

Nun setzt du $x=1x=1$ in die 2. Ableitung von $ff$ ein.

Da $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)f\text{'}\text{'}(1)$ kleiner als 0 ist, ist $x=1x=1$ ein Hochpunkt von $ff$.

Die Funktion $f(x)=x\cdot e^{1-x}f(x)=x\cdot e^\{1-x\}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x=1x=1$.