Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=x\cdot e^{1-x}$ .

In welchen Intervallen ist $f$ streng monoton wachsend?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen
Eine reellwertige Funktion $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ auf einem Intervall $[a,b]$ mit $a < b$ heißt
monoton wachsend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f(x) \leq f(y)$ ist.
streng monoton wachsend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f(x) < f(y)$ ist.
Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $f$ .
monoton fallend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f(x) \geq f(y)$ ist.
streng monoton wachsend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f(x) < f(y)$ ist.
Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $f$ .
Ist die betrachtete Funktion $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:
Ist $f'(x) \geq 0$ (bzw. $>0$ ) für alle $x$ in $[a,b]$ , so wächst $f$ monoton (bzw. streng) auf $[a,b]$ .
Ist $f'(x) \leq 0$ (bzw. $<0$ ) für alle $x$ in $[a,b]$ , so fällt $f$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a,b]$ .
Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f'$ berechnest und $\mathbb{R}$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f' \geq 0$ oder $f' \leq 0$ ist.
In dieser Aufgabe ist
$f(x)=x \cdot \mathrm e^{1-x}$
$f$ ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:
$f'(x) =$
Anwendung der Produktregel
$(x)' \cdot\mathrm e^{1-x} + x \cdot (\mathrm e^{1-x})'=$
Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von $(\mathrm e^x)'=\operatorname{exp}'(x)=\operatorname{exp}(x)=\mathrm e^x$ liefert:
$(\mathrm e^{1-x})'=$
$(\mathrm exp(1-x))'=$
$\operatorname{exp}'(1-x) \cdot (1-x)'=$
$\operatorname{exp}(1-x) \cdot (-1)=$
$-\mathrm e^{1-x}$
Durch Einsetzen der Ableitung $(x)'=1$ erhältst du
$1 \cdot\mathrm e^{1-x} + x \cdot (-1) \cdot\mathrm e^{1-x}=$
Hier kannst du den Ausdruck $\mathrm e^{1-x}$ herausheben:
$(1-x) \cdot\mathrm e^{1-x}$
Dabei ist $\mathrm e^{1-x}$ für reelle $x$ immer positiv.
Daher hängt das Vorzeichen von $f'(x)$ nur von dem Ausdruck $1-x$ ab:
$1-x>0$ für $x<1$ und
$1-x<0$ für $x>1$ .
Insgesamt ist
$f'(x)>0$ für $x<1$ und
$f'(x)<0$ für $x>1$ .
Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $f$ angeben:
$f$ wächst streng monoton für $x<1$ und fällt streng monoton für $x>1$ .
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Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f'(x) = (1-x) \cdot e^{1-x}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
$f'(x) = 0$
Setze für $f'(x)$ ein.
$\Leftrightarrow (1-x) \cdot e^{1-x} = 0$
Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass $e^{1-x}>0$ ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn $1-x=0$ ist. Dies ist nur für $x=1$ erfüllt.
$\Leftrightarrow x=1$
$x=1$ ist also der einzige Punkt von $f$ , der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $f$ .
$f''(x) = ((1-x) \cdot e^{1-x})'$
Wende die Produktregel an.
$=(1-x)' \cdot e^{1-x} + (1-x) \cdot (e^{1-x})'$
Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von $e^{1-x}$ die Kettenregel und erhältst $(e^{1-x})'=-e^{1-x}$ . Dies setzt du zusammen mit $(1-x)'=-1$ ein.
$=-e^{1-x}+(-1) \cdot (1-x) \cdot e^{1-x}$
Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
$=-e^{1-x}+(x-1) \cdot e^{1-x}$
Nun klammerst du $e^{1-x}$ aus.
$=(-1 + x-1) \cdot e^{1-x}= (x-2) \cdot e^{1-x}$
Nun setzt du $x=1$ in die 2. Ableitung von $f$ ein.

Da $f''(1)$ kleiner als 0 ist, ist $x=1$ ein Hochpunkt von $f$ .
Die Funktion $f(x)=x⋅e^{1−x}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x=1$ .
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Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Skizziere den Graphen von $f$ .

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