Ausgehend von der Normalparabel kann man jede beliebige Parabel konstruieren. Dazu benutzt man die Scheitelform:

%%f\left(x\right)=a(x-d)^2+e%%

an der man den Scheitelpunkt %%S(d|e)%% ablesen kann.

Folgenden Einfluss haben die einzelnen Parameter %%a,d,e%% der Scheitelform auf den Graphen der Parabel:

Parameter

Einfluss auf

Graph


%%a%%

Öffnungsrichtung und Streckung/Stauchung

  • %%a>0%%: Parabel nach oben geöffnet
  • %%a<0%%: Parabel nach unten geöffnet
  • %%|a|<1%%: Parabel Richtung y-Achse gestaucht (im Vergleich zur Normalparabel)
  • %%|a|>1%%: Parabel Richtung y-Achse gestreckt (im Vergleich zur Normalparabel)

Parameter


%%d%%

Verschiebung in %%x%%-Richtung

  • %%d>0%%: Verschiebung um %%d%% nach rechts
  • %%d<0%%: Verschiebung um %%d%% nach links

Verschiebung x


%%e%%

Verschiebung in %%y%%-Richtung

  • %%e>0%%: Verschiebung um %%e%% nach oben
  • %%e<0%%: Verschiebung um %%e%% nach unten

Verschiebung y

Beispiel

Finde zu der nebenstehenden Parabel in dem Koordinatensystem die zugehörige Funktionsgleichung, das heißt $$f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$$ mit passenden Parametern %%a,d,e%%. Betrachte in der obigen Tabelle nochmal, welche Auswirkungen die Parameter haben.

ParabelBsp

Im Graphen erkennst du den Scheitelpunkt der Parabel.

%%S(12|-6)%%

Verwende, dass in der Scheitelform %%f(x)=a \cdot (x-d)^2+e%% der Scheitelpunkt %%S(d|e)%% steckt.

%%f(x)=a \cdot (x-12)^2-6%%

Es bleibt noch der Parameter %%a%% zu bestimmen. Hierzu kannst du einen Punkt vom Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen.

%%(6|0)%% ist ein Punkt des Graphen von %%f%%

%%0=f(6)=a \cdot (6-12)^2-6%%

Löse diese Gleichung nach %%a%% auf.

%%6=a(-6)^2%%

%%a=\frac{1}{6}%%

Setze %%a%% in die Funktionsgleichung ein.

%%f(x)=\frac{1}{6} (x-12)^2 -6%%

Vorgehen veranschaulicht (Hier klicken)

Drücke auf 'Start'.

Weitere Übungsaufgabe (Hier klicken)

Noch weitere Übungsaufgaben findest du in dem zugehörigen Aufgabenordner.

Veranschaulichung durch ein Applet

Benutze die Schieberegler, um die Parameter zu verändern.

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Zu article Einfluss der Parameter in der Scheitelform: Kleine Anregung
Hannes 2016-06-14 14:02:53
Kann man in den Bildchen noch die Normalparabel (gestrichelt) einzeichnen? Als Orientierung.
Ich würde es ja selber machen, habe aber nicht die OriginalGeoGebradateien.
Wer die hat, könnte es vielleicht noch machen?!
LG
Hannes
SebSoGa 2016-06-20 16:36:06
Hey Hannes,
ich bin auch deiner Meinung, die Normalparabel zum Vergleich dabei zu haben wäre nicht schlecht. Ich habe jetzt die erste Graphik durch eine neue ersetzt (habe die alte auch nicht in der Dropbox oder sonst wo gefunden). Was hältst du von dieser Version?

LG
Sebastian
Hannes 2016-06-21 13:10:08
jup, ist cool!
vieleicht noch in schwarz damit es nicht zu bunt wird?
aber so ist schon sehr hübsch ;)
SebSoGa 2016-06-22 14:04:08
So, jetzt habe ich alle drei bearbeitet. Passen die von der Größe auch?
Danke fürs Feedback!

LG
Hannes 2016-06-27 13:40:35
Perfekt!
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Zu article Einfluss der Parameter in der Scheitelform: Prachtstück eines Artikels
SebSoGa 2016-05-03 10:57:54
Hallo Serlo Team,

dieser Artikel ist wunderschön, hat sehr viel Visualisierung und erlaubt dem Schüler vier Interaktion. Er sollte unbedingt auf der Startseite verlinkt werden!
Davor sollten aber noch ein paar Kleinigkeiten verbessert werden:
- Die Begriffe "Parabel" sowie "Parameter" in den ersten Sätzen sollten definitiv Verlikungen werden.
- Der related Content sollte ausgebaut werden, hier ein paar Beispiele von verwandten Inhalten:
Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion (https://de.serlo.org/2073)
Parameter in quadratischen Gleichungen (https://de.serlo.org/2211)

Nochmal mein Kompliment für diese tolle Arbeit!
Liebe Grüße
Sebastian
Hannes 2016-05-03 13:44:12
Hi Sebastian,
ich stimme dir voll zu! Ich werde deine Anregungen einarbeiten.
Außerdem werde ich noch in der Überschrift beim Applet das Wort "Anwendungen" durch "Applet" ersetzen
LG
Hannes
Hannes 2016-05-03 14:32:41
passt das so?
Die Verlinkung auf der Startseite habe ich noch nicht gemacht...
SebSoGa 2016-05-14 16:26:36
Ja, das ist super geworden!
Ich glaube um die Startseite zu verändern braucht man da sehr spezielle Rechte für, aber ich werde mich mal erkundigen