Die Funktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens (gebräuchlich sind die Bezeichnungen %%\arcsin,\sin^{-1},\mathrm{asin}%%) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens, das heißt sie ordnen einem Verhältnis einen Winkel zu.

Ist beispielsweise %%\cos\left(\alpha\right)=x%%, so folgt %%\arccos(x)=\alpha%% durch Anwendung des Arkuskosinus.

 

 

Definitions- und Wertemengen

Funktion

Definitionsmenge

Wertemenge

%%\arcsin(x)%%

%%D = [-1;1]%%

%%W = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]%%

%%\arccos(x)%%

%%D = [-1;1]%%

%%W = [0; \pi]%%

%%\arctan(x)%%

%%D = \mathbb{R}%%

%%W = \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right[%%

Graphen

Arcsin

Arccos

Arctan

Beispiel

$$\sin(x+\pi)=1$$

Wende auf beiden Seiten die Umkehrfunktion %%\arcsin%% an.

$$x+\pi=\arcsin(1)$$

Löse nach %%x%% auf.

$$x=\arcsin(1)-\pi$$

Verwende, dass %%\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}.%% Betrachte hierzu den obigen Graphen von Arkussinus.

$$x=-\frac{\pi}{2}$$

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Ableitungen

Die Ableitungen der trigonometrischen Umkehrfunktionen lassen sich mithilfe der Regel für die Ableitung einer Umkehrfunktion ermiteln:

 

Funktion

Ableitung

$$\arcsin(x)$$

$$\arcsin'(x) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\arccos(x)$$

$$\arccos'(x) = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\arctan(x)$$

$$\arctan'(x) = \frac1{1+x^2}$$

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