Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor  %%\vec n%% , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor  %%\vec a%% und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.

 

Parameterform

Normalform

%%E:\vec x=\vec a+\lambda\cdot\vec u+\mu\cdot\vec v%%  

  %%E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0%%

Vorgehen am Beispiel

  • Parameterform der Ebene E

%%E:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}%%

  • Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen

%%\vec n=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1-1\cdot0\\1\cdot1-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}%%

  • beliebigen Punkt A mit Ortsvektor  %%\vec a%%  wählen, der in der Ebene E liegt (z.B. der Aufpunkt der Ebene)

%%\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}%%

  • %%\vec n%%  und  %%\vec a%%  in die Allgemeine Normalform einsetzen

%%\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}%%  ,  %%\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}%%, %%E:\vec n\circ\left[\vec x-\vec a\right]=0%%

  • Normalform der Ebene E

%%E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right]=0%%

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