In der analytischen Geometrie werden Geraden mithilfe von Vektoren dargestellt. Dies gilt für die Ebene wie für den Raum.

Die allgemeine Geradengleichung in Parameterform ist:

$$g \colon \quad \vec x = \vec p + \lambda \vec u$$

Dabei ist %%\vec p%% der Ortsvektor zu einem Punkt %%P%% auf der Geraden (dem Aufpunkt) und %%\vec u%% der Richtungsvektor, der auf der Geraden verläuft.

Wenn man beispielsweise zwei Punkte %%P%% und %%Q%% auf der Geraden gegeben hat, dann berechnet man den Richtungsvektor %%\vec u%%, indem man die zugehörigen Ortsvektoren %%p%% und %%q%% von einander subtrahiert:

%%\vec u = \vec q - \vec p%%

Geraden in der Ebene

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene durch eine Gleichung zu beschreiben. Hier werden die Parameterform (man nennt sie auch Punkt-Richtungs-Form) und die Normalenform erklärt.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform ist von der Vorstellung her eine einfache Form. Man nimmt einen beliebigen Punkt %%P%%, der auf der gesuchten Geraden %%g%% liegt. Diesen Punkt nennt man Aufpunkt. An den Aufpunkt setzt man einen Vektor %%\vec u%% an, der in die Richtung der Geraden zeigt. Der Endpunkt dieses Vektors liegt dann auch auf der Geraden. Diesen Punkt berechnet man, indem man zum Ortsvektor %%p%% von %%P%% den Vektor %%u%% addiert. Dann erhält man den Ortsvektor dieses Punkts. Aber nicht nur dieser Punkt liegt auf der Geraden, sondern auch alle Punkte, zu denen man kommt, wenn man vom Punkt %%P%% aus ein beliebiges Vielfaches des Vektors %%u%% anträgt.

Man erhält also alle Ortsvektoren %%\vec x%%, indem man zu %%p%% alle Vielfachen %%\lambda \cdot \vec u%% addiert. Die Variable %%\lambda%% heißt Parameter. Für %%\lambda%% kann man alle reellen Zahlen einsetzen. Weil %%\lambda%% auch negativ sein kann, erhält man auch die Punkte auf der Geraden, die in der entgegengesetzten Richtung liegen.

Man kann die Gerade %%g%% deshalb durch Gleichung

$$\vec x = \vec p + \lambda \cdot \vec{u}$$

beschreiben.

Beispiel

Man kennt die Koordinaten des Punktes %%P(2|3)%%, der auf der Geraden %%g%% liegt. Sein Ortsvektor ist %%\vec p = \pmatrix{2\\3}%%. Für die Gerade soll gelten, dass sie eine Steigung von %%m=\frac25%% hat. Darauf erhält man als Richtungsvektor den Vektor %%\vec u=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%%. Die Koordinaten des Richtungsvektors können einfach aus der Steigung gelesen werden, wobei beachtet werden muss, dass für die Steigung die Gleichung %%m=\frac{y}{x}%% gilt, und für Vektoren %%\vec u =\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}%% . Nun setzt man die Vektoren noch in die allgemeine Gleichung %%\vec x = \vec p + \lambda \cdot \vec{u}%% ein und erhält:

$$g \colon\quad \vec x = \pmatrix{2\\3} + \lambda \cdot \pmatrix{5\\2}$$

Normalform (Normalenform)

Hat man den Normalenvektor %%\vec{n}%% , also den senkrecht zur Gerade stehenden Vektor, kann man die Gerade mithilfe der Normalenform darstellen.

Die allgemein Form der Normalengleichung ist:

$$\vec x \circ \vec n = c$$

Hierbei bezeichnet der Kringel %%\circ%% das Skalarprodukt. Den Wert der Konstanten %%c%% erhält man, indem man einen beliebigen Punkt %%P%% auf der Geraden wählt und seinen Ortsvektor %%p%% in die Gleichung einsetzt:

%%c = \vec{p} \circ \vec{n}%%

Wenn nicht der Normalenvektor, sondern der Richtungsvektor %%\vec u%% gegeben ist, dann muss man zuerst aus dem Richtungsvektor den Normalenvektor bestimmen. Wie das geht, wird im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel

Man kennt wieder die Koordinaten des Punktes %%P(2|3)%%, der auf der Geraden %%g%% liegt. Sein Ortsvektor ist also %%\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}%%. Die Steigung sei wieder %%m=\frac25%% und daraus erhält man als Richtungsvektor %%\vec u =\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%% . Nun braucht man aber den Normalenvektor zu diesem. Man kann diesen mithilfe Skalarprodukts bestimmen. Da zwei rechtwinklig zueinander stehende Vektoren das Skalarprodukt Null haben, erhält man die Gleichung

%%0 = \vec u \circ \vec n = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}n_x\\n_y\end{pmatrix} = 5 \cdot n_x + 2 \cdot n_y%%

Eine mögliche Lösung ist %%n_x = -2%% und %%n_y = 5%%, also %%\vec n = \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}%%. Nun setzen wir die beiden Vektoren ein und berechnen %%c%%:

%%c=\vec p\circ \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}=2\cdot(-2)+3\cdot5=(-4)+15=11%%

Also erhalten wir als Normalform

%%g\colon \quad \vec x \circ \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}=11%%

Geraden im Raum

Auch für Geraden im Raum gibt es die Parameterform bzw. Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung. Es gibt aber keine Normalenform.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform sehr ähnlich zur Parameterform in der Ebene, nur dass die Vektoren nun eine Dimension mehr haben.  Für die Vorstellung verändert sich dadurch kaum etwas.

%%\vec{x}=\vec{p}+\lambda \cdot \vec{u}%%

 

Beispiel

%%\vec p = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}%%  ist der Ortsvektor des Aufpunkts und  %%\vec u =\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}%% ist ein Richtungsvektor, so erhalten wir die Parameterform

%%\vec x = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}%%

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wie sieht es aus wenn drei Punkte gegeben sind und man daraus eine Geradegleichung bilden muss?
Rebi 2017-09-14 18:29:06
Hallo geoffroy_jr,
wenn du drei Punkte gegeben hast und eine Geradengleichung aufstellen sollst, suchst du dir als Erstes zwei der drei Punkte aus und stellst mit diesen beiden eine Geradengleichung auf. Wenn du damit fertig bist, überprüfst du, ob der dritte Punkt auf der Geraden durch die anderen beiden Punkte liegt. Wenn das der Fall ist, ist die Lösung die Gerade, die du aufgestellt hast. Wenn das nicht der Fall ist, gibt es keine Gerade, die durch genau diese drei Punkte geht.
War das verständlich?
Liebe Grüße,
Rebi
geoffroy_jr 2017-09-17 17:02:54
Hallo Rebi,
herzlichen Dank für deine Antwort! Sie ist verständlich.
nur die besten Grüße,
Geoffroy Junior
Rebi 2017-09-17 21:45:52
Das freut mich!
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Nish 2017-01-14 17:22:11
Hallo Digamma,

ich wollte ja noch ein paar allgemeine Verbesserungsvorschläge zu diesem Artikel machen. Das ist jetzt schon etw. her.
Ich hoffe, du hast nicht darauf gewartet. Ich bin leider nicht dazu gekommen und hab's auch dann vergessen, da ich durch meine anderen Aufgaben bei Serlo und durch mein Studium natürlich zeitlich eingeschränkt war und noch bin.

Nun aber zu meinen Verbesserungsvorschlägen:
- In der Graphik vom Beispiel beim Part Parameterform wird der Stützvektor mit a und der Richtungsvektor mit b bezeichnet. Es wäre aber schön, wenn diese wie im Beispiel und im restlichen Artikel mit p und u bezeichnet werden würden. Das kann ich aber gleich selber machen.
- Mir fehlen hier graphische Veranschaulichungen sowohl am Anfang des Textes als auch bei den Unterpunkten (Paramterform, Normalenform) bei den Erklärungen. Diese könnten den textlastigen Part ein wenig leserlicher machen bzw. abschwächen, auch wenn diese schon gut strukturiert sind.
Was meinst du? Was meinen die andren?
- Wichtige/Wesentliche Begriffe sollten verlinkt werden. Entweder zum gleichnamigen Artikel oder zu dem Artikel, wo dieser Begriff erklärt wird. (Dabei gilt: Je mehr verlinkt wird, desto besser ;) )
- Nach jedem Theorieteil und Beispiel(en) sollten 3-4 Übungsaufgaben in einem Spoiler direkt im Artikel eingefügt und auf den zugehörigen Übungsordner verlinkt werden (siehe z.B. Artikel Scheitelpunkt einer Parabel)

Ansonsten finde ich den Artikel natürlich schon recht gut.

LG,
Nish
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Renate 2016-11-16 14:20:37
UNTERSCHEIDUNG PUNKTE VS. ORTSVEKTOREN
In diesem Artikel wird in den Formulierungen nicht korrekt zwischen einem Punkt und seinem Ortsvektor unterschieden.
Der Artikel sollte diesbezüglich überarbeitet werden, denn auch in der Schule wird von manchen Lehrern auf diese Unterscheidung offenbar durchaus Wert gelegt;
vgl. hierzu auch die Diskussionsbeiträge auf https://de.serlo.org/58150.

Gibt es vielleicht jemanden aus dem Team oder der Community, der / die diese Aufgabe übernehmen möchte?

Viele Grüße
Renate (Serlo-Teammitglied Mathematikredaktion)


Digamma 2016-11-16 19:23:57
Hier geht noch mehr durcheinander. Z.B. heißt der Stützvektor einmal \vec a und einmal \vec r_0. Der Richtungsvektor heißt ganz oben \vec v, im Abschnitt "Parameterform" heißt er \vec u und in der Zeichnung heißt er \vec b. Der Ortsvektor des allgemeinen Punkts heißt ganz oben \vec x, im Rest aber \vec r.
Renate 2016-11-18 08:57:08
Ok @Digamma, die Bezeichnungen sind hier in den verschiedenen Abschitten nicht durchgängig gehandhabt, aber es ist doch wenigstens nicht wirklich etwas falsch, oder habe ich etwas übersehen?
Der Richtungsvektor kann ja tatsächlich genauso gut \vec v wie \vec u oder \vec b heißen.

Aber mit mit \vec a darf nicht der Aufpunkt bezeichnet werden, sondern nur der Ortsvektor des Aufpunktes (bzw. natürlich "Stützvektor" in deiner Formulierung).

Gruß (und dennoch in jedem Fall Dank für deinen Kommentar!)
Renate
Digamma 2016-11-18 13:02:22
Du hast natürlich recht. Ich finde es nur etwas chaotisch.
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