Aufgaben

Berechne den Vektor zwischen den Punkten.

%%\displaystyle A=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}%%

Um den Vektor zwischen %%A%% und %%B%% zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.

%%\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}%%

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}-1-1\\-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}%%

%%\displaystyle C=\begin{pmatrix}10\\50\end{pmatrix},\,D=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}%%

Um den Vektor zwischen %%C%% und %%D%% zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.

%%\overrightarrow{CD}=\overrightarrow d-\overrightarrow c%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle \overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\50\end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix}7-10\\14-50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-36\end{pmatrix}%%

%%\displaystyle E=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix},\, F=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%%

Um den Vektor zwischen %%E%% und %%F%% zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.

%%\overrightarrow{EF}=\overrightarrow f-\overrightarrow e%%

Setz die Werte ein.

%%\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}5-(-3)\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}%%

Bestimme die Koordinaten des Vektors, der im Bild zu sehen ist.

Vektor

Vektorkoordinaten ablesen

Aufgabenstellung

Zähle am Gitternetz die Zahl der Kästchen ab, die der Vektor nach rechts/links bzw. oben/unten führt.

Ablesen

Wie du links in der Skizze erkennen kannst, führt der Vektor zwei Kästchen nach rechts und drei Kästchen nach oben.

Da der Vektor nach oben und rechts führt, sind beide Koordinaten positiv.

%%\Rightarrow%% Der Vektor hat die Koordinaten %%\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}%%

Vektor

Vektorkoordinaten ablesen

Vektor

Zähle am Gitternetz die Zahl der Kästchen ab, die der Vektor nach rechts/links bzw. oben/unten führt.

Ablesen

Wie du links in der Skizze erkennen kannst, führt der Vektor vier Kästchen nach rechts und ein Kästchen nach unten.

Vorsicht! Da der Vektor nach unten führt, ist die %%y%%-Koordinate negativ.

%%\Rightarrow%% Der Vektor hat die Koordinaten %%\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}%%

Bestimme die Koordinaten des Vektors %%\vec{v}%% mit Fußpunkt %%A%% und Spitze %%B%%.

%%A(2|0)%%, %%B(8|9)%%

Koordinaten eines Vektors bestimmen

%%A(2|0)%%, %%B(8|9)%%

%%\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}%%

%%A(2|0) \Rightarrow a_x = 2, a_y = 0%% %%B(8|9) \Rightarrow b_x = 8, b_y = 9%%

Setze die Koordinaten des Fußpunkts und der Spitze in die Formel ein.

%%= \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 9 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}%%

Damit hast du die Koordinaten berechnet.

%%\Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}%%

Skizze des Vektors: Skizze

%%A(4|5)%%, %%B(0|1)%%

Koordinaten eines Vektors bestimmen

%%A(4|5)%%, %%B(0|1)%%

%%\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}%%

Setze die Werte ein.

%%= \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix}%%

Skizze des Vektors: Skizze

Bestimme die Koordinaten des angegebenen Vektors

Der Vektor %%\vec{v}%% verläuft von Punkt %%A(2|-10)%% zum Punkt %%B(-8|7)%%.

Koordinaten eines Vektors bestimmen

Fußpunkt und Spitze von %%\vec{v}%% sind wie in der Beschreibung der Formel zur Bestimmung der Koordinaten als %%A%% bzw. %%B%% bezeichnet.

Setze die Koordinaten von %%A%% und %%B%% in die Formel ein.

%%\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 2 \\ 7 - (-10) \end{pmatrix}%%

Ausrechnen

%%= \begin{pmatrix} -10 \\ 17 \end{pmatrix}%%

Vektor %%\vec{a}%% hat Fuß %%P(3|6)%% und Spitze %%Q(1|1)%%.

Koordinaten eines Vektors bestimmen

Fuß: %%P(3|6)%%

Spitze: %%Q(1|1)%%

Verwende zur Berechnung der Koordinaten die Formel zur Bestimmung der Koordinaten.

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}%%

Die Punkte sind in diesem Fall nicht als %%A%% und %%B%% bezeichnet. Dementsprechend muss die Formel angepasst werden.

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} q_x - p_x \\ q_y - p_y \end{pmatrix}%%

%%P(3|6) \Rightarrow p_x = 3, p_y = 6%% %%Q(1|1) \Rightarrow q_x = 1, q_y = 1%%

Nun kannst du die Koordinaten der Punkte in die Formel einsetzen.

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 1 - 6 \end{pmatrix}%%

Rechne das Ergebnis aus.

%%= \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}%%

%%\vec{w}%% hat Fuß %%B(-1|2)%% und Spitze %%A(-1|-3)%%.

Koordinaten eines Vektors bestimmen

Fuß: %%B(-1|2)%%

Spitze: %%A(-1|-3)%%

Verwende zur Berechnung der Koordinaten die Formel zur Bestimmung der Koordinaten.

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}%%

Vorsicht! In dieser Aufgabe sind der Fuß als %%B%% und die Spitze als %%A%% bezeichnet, also genau umgekehrt wie in der Formel. Diese lautet also in diesem Fall:

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}%%

%%B(-1|2) \Rightarrow b_x = -1, b_y = 2%% %%A(-1|-3) \Rightarrow a_x = -1, a_y = -3%%

Nun kannst du die Koordinaten der Punkte in die Formel einsetzen.

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 - (- 1) \\ -3 - 2 \end{pmatrix}%%

Rechne das Ergebnis aus.

%%= \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix}%%

Gib alle im unteren Bild abgebildeten Vektoren an.

Vektoren

Repräsentanten

Von allen abgebildeten Vektoren sind mehrere Repräsentanten im Gitternetz zu sehen. In der folgenden Abbildung sind Repräsentanten desselben Vektors in derselben Farbe eingefärbt.

Vektoren markiert

Somit reicht es, wenn du von jedem Vektor nur einen Repräsentanten betrachtest und dessen Koordinaten und somit die des Vektors bestimmst. Es ergeben sich vier Vektoren. Hier werden sie als %%\vec{t}%%, %%\vec{u}%%, %%\vec{v}%% und %%\vec{w}%% bezeichnet.

%%\color{#FF6600}{\vec{t} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}}%%, %%\color{#009999}{\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}}%%, %%\color{#006400}{\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}}%% und %%\color{#660099}{\vec{t} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}}%%

Bestimme jeweils die Koordinaten des Vektors %%\vec v%% und veranschauliche in den Teilaufgaben b) bis d) durch eine Zeichnung!

Vektor

Vektorkoordinaten ablesen

Vektor

Zähle am Gitternetz die Anzahl der Längeneinheiten ab, die der Vektor (vom Fuß zur Spitze) nach rechts/links bzw. oben/unten führt.

Längeneinheiten des Vektors

Der Vektor führt 5 LE nach rechts und 2 LE nach unten.

%%\Rightarrow%% Koordinaten: %%\vec v = \begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}%%

%%A(2|1), B(5|7,5), \vec v = \overrightarrow{AB}%%

Vektor zwischen zwei Punkten berechnen

geg.: %%A(2|1), B(5|7,5)%%

ges.: %%\vec v = \overrightarrow{AB}%%

Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors der Punkte %%A%% und %%B%%, indem du "Spitze minus Fuß" rechnest!

$$\vec v = \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}5-2\\7,5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6,5\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Graphische Veranschaulichung

Gegenvektor von %%\vec v = \begin{pmatrix}-1,5\\4\end{pmatrix}%%

Gegenvektor bestimmen

geg.: %%\vec v = \begin{pmatrix}-1,5\\4\end{pmatrix}%%

ges.: Gegenvektor %%-\vec v%%

Um den Gegenvektor zu bestimmen, ändere bei jeder Koordinate des Vektors das Vorzeichen!

$$-\vec v = \begin{pmatrix}-(-1,5)\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,5\\-4\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Vektor und Gegenvektor

Ortsvektor von %%C(0|6)%%

Ortsvektor bestimmen

geg.: %%C(0|6)%%

ges.: Ortsvektor %%\overrightarrow C = \overrightarrow{OC}%%

Um den Ortsvektor eines Punktes zu bestimmen, übernimm die Koordinaten des Punktes als Koordinaten des Vektors!

$$\overrightarrow{C} = \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Graphische Veranschaulichung des Ortsvektors

Berechne zu den gegebenen Koordinaten %%A,B%% jeweils den Verbindungsvektor %%\overrightarrow{AB}%%.

Hinweis: Gib den Vektor %%\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}%% als %%\left(x,y,z\right)%% in das Feld ein.

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