Aufgaben

Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:

%%v_1 = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \\%% und %%\ v_2 = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2%%.

Hier also:

%%\,\vec v_1\odot\vec v_2 = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 = -10 + 21 = 11%%

Das Skalarprodukt von %%\vec v_1%% und %%\vec v_2%% ist %%11%%.

%%w_1=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \\%% und %%\ w_2=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2%%.

Hier also:

%%\,\vec w_1\odot\vec w_2 = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix} = 1 \cdot (-9) + 3 \cdot 3 = -9 + 9 = 0%%

Hier stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt %%0%% ist.

%%c_1 = \begin{pmatrix}-8\\1\end{pmatrix} \\%% und %%\ c_2=\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2%%.

Hier also:

%%\,\vec c_1\odot\vec c_2 = \begin{pmatrix}-8\\1\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} = (-8) \cdot 0 + 1 \cdot 6 = 6%%

Das Skalarprodukt von %%\vec c_1%% und %%\vec c_2%% ist %%6%%.

%%d_1 = \begin{pmatrix}0\\107\end{pmatrix} \\%% und %%\ d_2=\begin{pmatrix}-342\\0\end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2%%

Hier also:

%%\,\vec d_1\odot\vec d_2 = \begin{pmatrix}0\\107\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-342\\0\end{pmatrix} = 0 \cdot (-342) + 107 \cdot 0 = 0%%

Das Skalarprodukt von %%\vec d_1%% und %%\vec d_2%% ist %%0%%. Die Vektoren stehen somit Senkrecht aufeinander.

%%\vec{u} =\begin{pmatrix} 0,5\\-1 \end{pmatrix}%% und %%\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

Du sollst in dieser Aufgabe das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

%%\begin{align} \vec{u}\odot \vec{v} &= \begin{pmatrix} 0,5\\-1\end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}\\ &= 0,5\cdot 4 + (-1)\cdot 2 \\ &= 2-2 \\ &= 0 \end{align}%%

Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts.

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist %%0%%. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

%%\vec{u} =\begin{pmatrix} 7\\11 \end{pmatrix}%% und %%\vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\1/2 \end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.

%%\begin{align} \vec{u} \odot \vec{v} &= \begin{pmatrix}7\\11 \end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix} 0\\1/2\end{pmatrix}\\ &= 7\cdot 0 + 11\cdot 1/2 \\ &= 11/2 \\ &= 5,5\end{align}%%

Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts.

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist %%5,5%%.

%%\vec{u} =\begin{pmatrix} 0\\-3\pi \end{pmatrix}%% und %%\vec{v} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

Hier musst du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Dies kannst du anhand der Formel machen, wie du hier siehst oder du verwendest den Tipp und siehst die Antwort sofort.

%%\begin{align} \vec{u} \odot \vec{v} &= \begin{pmatrix} 0\\-3\pi \end{pmatrix}\odot \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\0\end{pmatrix}\\ &= 0\cdot\sqrt{2} + (-3\pi)\cdot 0 \\ &= 0 + 0 \\ &=0 \end{align} %%

Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts.

Das Skalarprodukt von %%\vec u%% und %%\vec v%% ist %%0%%. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

%%\vec a = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 45^\circ \end{pmatrix}%% und %%\vec b = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 120^\circ \end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe kannst du nicht sofort das Skalarprodukt berechnen, da du es mit Polarkoordinaten zu tuen hast, wie der Tipp bereits erwähnt. Deshalb musst du zuerst die Polarkoordinaten in kartesiche Koordinaten umrechnen und anschließend das Skalarprodukt berechnen.

Umrechnung in kartesische Koordinaten

Allgemein gilt für die Umrechnung eines Vektors in Polarkoordinaten %%(r,\varphi)%%:

%%x=r\cdot\cos\varphi%% und %%y=r\cdot\sin\varphi%%

Setze in diese Formel ein.

%%\vec a%%:

%%x_a=2\sqrt2\cdot\cos45^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=2%% und %%y_a=2\sqrt2\cdot\sin45^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=2%%
%%\vec b%%:
%%x_b=\sqrt3\cdot\cos120^\circ=\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}%% und %%y_b=\sqrt 3\cdot\sin120^\circ=\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3}{2}%%

Damit erhältst du die folgenden Vektoren in kartesischer Form.

%%\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix}%% und %%\vec b=\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2} \\\frac{3}{2} \end{pmatrix}%%

Skalarprodukt berechnen

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2%%.

Hier also:

%%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt3}{2}\\\dfrac{3}{2}\end{pmatrix} = 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+ 2 \cdot \dfrac 3 2 = -\sqrt3 + 3 = 3-\sqrt3\approx1,27%%

Das Skalarprodukt von %%\vec a%% und %%\vec b%% ist somit %%3-\sqrt3%%.

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}%%   und   %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ergibt.

%%\begin{align} \overrightarrow a\odot\overrightarrow b = \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} = (-2)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right) =2-2 =0 \end{align}%%

Das Skalarprodukt von %%\overrightarrow a%% und %%\overrightarrow b%% ist %%0%%. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}%% und %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}0.5\\-1\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ergibt.

%%\begin{align} \overrightarrow a\odot\overrightarrow b = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0,5\\-1\end{pmatrix} = 6\cdot0,5+4\cdot\left(-1\right) =3-4 =-1 \end{align}%%

Das Skalarprodukt von %%\overrightarrow a%% und %%\overrightarrow b%% ist %%-1%%. Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix}%% und %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ergibt.

%%\begin{align} \overrightarrow a\odot\overrightarrow b = \begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix} = 2\pi\cdot\left(-3.5\right)+7\cdot \pi\ =7\pi-7\pi =0 \end{align}%%

Das Skalarprodukt von %%\overrightarrow a%% und %%\overrightarrow b%% ist %%0%%. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

%%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}\sqrt6\\-\sqrt3\end{pmatrix}%% und %%\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix}%%

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt %%0%% ergibt.

%%\begin{align} \overrightarrow a\odot\overrightarrow b = \begin{pmatrix}\sqrt{6}\\-\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix} = \sqrt{6}\cdot\sqrt2+(-\sqrt3)\cdot2 =\sqrt{12 }-2\sqrt3 \end{align}%%

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: %%2\sqrt3= \sqrt4 \cdot \sqrt3= \sqrt{4\cdot3}= \sqrt{12}%%

Damit ergibt sich insgesamt: %%\sqrt{12}-2\sqrt3= \sqrt{12} -\sqrt{12}= 0%%

Das Skalarprodukt von %%\overrightarrow a%% und %%\overrightarrow b%% ist %%0%%. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Finde den Wert %%x%%, für den die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen!

%%\vec a= \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}%% und %%\vec b= \begin{pmatrix} 2x \\ 6 \end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle %%x%%, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

%%\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 2x \\ 6 \end{pmatrix} = 3\cdot 2x+9\cdot6%%

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt %%0%%. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich %%0%% und löse nach %%x%% auf!

%%3\cdot 2x+9\cdot6 \overset{!}{=}0%%

%%6x+54=0%%

%%|-54%%

%%6x=-54%%

%%|:6%%

%%x=-9%%

Somit musst du %%x=-9%% setzen, damit die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Vektore %%\vec{b}%% ist also:

%%\vec b = \begin{pmatrix} 2 x \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot (-9) \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -18 \\ 6 \end{pmatrix}%%

%%\vec a= \begin{pmatrix} -x \\ 5 \end{pmatrix}%% und %%\vec b= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle %%x%%, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

%%\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} -x \\ 5 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = (-x)\cdot 3+5\cdot6%%

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt %%0%%. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich %%0%% und löse nach %%x%% auf!

%%(-x)\cdot 3+5\cdot6 \overset{!}{=}0%%

%%-3x+30=0%%

%%|-30%%

%%-3x=-30%%

%%|:(-3)%%

%%x=10%%

Somit musst du %%x=10%% setzen, damit das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% ergibt und sie somit senkrecht aufeinander stehen.
%%\vec a = \begin{pmatrix} -10 \\ 5 \end{pmatrix}%%

%%\vec a= \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}%% und %%\vec b= \begin{pmatrix} -3x \\ 4 \end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle %%x%% so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

%%\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} -3x \\ 4 \end{pmatrix} = 0\cdot (-3x)+12\cdot4= 48%%

Du siehst also, dass das Skalarprodukt %%48%% beträgt und unabhänigig von %%x%% ist. Das Skalarprodukt kann also nicht %%0%% werden! Die Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% stehen also für keine Wahl von %%x%% senkrecht aufeinander!

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} 2x-4 \\ x\end{pmatrix}%% und %%\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ x-6\end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle %%x%%, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

%%\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 2x-4 \\ x \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 2 \\ x-6 \end{pmatrix} = (2x-4)\cdot 2 +x\cdot (x-6)%%

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt %%0%%. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich %%0%% und löse nach %%x%% auf!

%%(2x-4)\cdot 2 +x\cdot (x-6) \overset{!}{=}0%%

Multipliziere aus!

%%4x-8+x^2-6x=0%%

Fasse zusammen!

%%x^2-2x-8=0%%

Mitternachtsformel:

%%\begin{align} x_{1,2}&=\dfrac {-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot (-8)}}{2}\\ &= \dfrac {2\pm \sqrt {4+32}}{2}\\ &=\dfrac {2\pm 6}{2}\\ \end{align}%% %%\Rightarrow x_1=4, x_2=-2%%

Das Skalarprodukt ist daher %%0%%, wenn du %%x_1=4%% oder %%x_2=-2%% setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

%%a_1=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}%% und %%b_1=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}%%

oder

%%a_2=\begin{pmatrix} -8 \\ -2 \end{pmatrix}%% und %%b_2=\begin{pmatrix} 2 \\ -8 \end{pmatrix}%%

%%\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2x \end{pmatrix}%% und %%\vec{b}=\begin{pmatrix} x^2 - 5 \\ 1-x \end{pmatrix}%%

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle %%x%%, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren %%0%% wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

%%\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2x \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} x^2 -5\\ 1-x \end{pmatrix} = 3\cdot (x^2-5) +2x\cdot (1-x)%%

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt %%0%%. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich %%0%% und löse nach %%x%% auf!

%%3\cdot (x^2-5) +2x\cdot (1-x)\overset{!}=0%%

Multipliziere aus!

%%3x^2-15+2x-2x^2=0%%

Fasse zusammen!

%%x^2+2x-15=0%%

Mitternachtsformel:

%%\begin{align} x_{1,2}&=\dfrac {-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-15)}}{2}\\ &= \dfrac {-2\pm \sqrt {4+60}}{2}\\ &=\dfrac {-2\pm 8}{2}\\ \end{align}%% %%\Rightarrow x_1=3, x_2=-5%%

Das Skalarprodukt ist daher %%0%%, wenn du %%x_1=3%% oder %%x_2=-5%% setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

%%a_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}%% und %%b_1=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}%%

oder

%%a_2=\begin{pmatrix} 3 \\ -10 \end{pmatrix}%% und %%b_2=\begin{pmatrix} 20 \\ 6 \end{pmatrix}%%

Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen!

Zu text-exercise-group 44362:
Nish 2018-11-13 01:16:07
Bitte, falls jdn. mal Zeit und Lust hat:
Es sollte die Aufgabenlösungen zu allen Teilaufgaben, bis auf d), nach den neuesten Richtlinien überarbeitet werden! Teilaufgabe d) habe ich eben selber korrigiert. DIe aktuellen RIchtlinien zu den Inhalten findet man unter http://de.serlo.org/90253 ;)

LG und danke schonmal im Voraus,
Nish
Jonathan 2018-11-14 12:26:06
Danke für den Hinweis, wurde überarbeitet.
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%%\vec v = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%% und %%\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}%%

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel $$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}$$

In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren %%\vec v =\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%% und %%\vec w =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}%%.

Diese setzen wir ein und erhalten:

$$\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}$$

Skizze der Vektoren: Skizze

%%\,%%

und wenn du die Formel nach %%\varphi%% umformst:

$$\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}\right)$$

Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.

%%\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 9 \cdot 1 = 15%%

%%|\vec v| \cdot |\vec w| = (\sqrt{3^2 + 9^2}) \cdot (\sqrt{2^2 + 1^2})%%

%%= \sqrt{90} \cdot \sqrt{5}%%

%%= 15\sqrt{2}%%

Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.

$$\ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{15}{15\sqrt{2}} \right)$$ $$ = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^\circ $$

Schließlich kommst du auf den gesuchten Winkel.

Also beträgt der Schnittwinkel %%\ \varphi = 45^\circ%%.

%%\vec v = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}%% und %%\ \vec w = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}%%

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel $$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}$$

Skizze der Vektoren: Skizze

In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren %%\vec v =\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}%% und %%\vec w =\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}%%. Diese setzen wir ein und erhalten:

$$\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\right|}$$

%%\,%%

und wenn du die Formel nach %%\varphi%% umformst:

$$\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\right|}\right)$$

Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.

%%\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix} = -6%%

%%|\vec v| \cdot |\vec w|%%

%%= (\sqrt{6^2 + 0^2}) \cdot (\sqrt{(-1)^2 + (-3)^2})%%

%%= 6 \cdot \sqrt{10}%%

Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.

$$\ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{-6}{6\sqrt{10}} \right)$$ $$ = \cos^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right) = 108,4^\circ $$

Schließlich kommst du auf den gesuchten Winkel.

Also beträgt der Schnittwinkel %%\varphi = 108,4^\circ%%.

%%\vec v = \begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix}%% und %%\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}%%

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren %%\vec v =\begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix}%% und %%\vec w =\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}%% gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

$$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|} = \frac{\begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}\right|} = \frac{(-5) \cdot 2 + (-22,5) \cdot 9}{\sqrt{(-5)^2 + (-22,5)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 9^2}}$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{-212,5}{2,5 \cdot \sqrt{85} \cdot \sqrt{85}} = -1$$

Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:

$$\varphi = \cos^{-1}(-1) = 180^\circ$$

Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich %%\vec v%% als %%\vec v = k \cdot \vec w%% schreiben lässt, wobei %%k%% eine reelle Zahl.

%%\vec v = \begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix}%% und %%\ \vec w = \begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}%%

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren %%\vec v =\begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix}%% und %%\vec w =\begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}%% gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

$$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|} = \frac{\begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}} {\left|\begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}\right|} = \frac{1,3 \cdot (-4,5) + (-2,4) \cdot 3}{\sqrt{1,3^2 + (-2,4)^2} \cdot \sqrt{(-4,5)^2 + 3^2}}$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{-13,05}{0,1 \cdot \sqrt{745} \cdot 1,5 \cdot \sqrt{13}} \approx -0,884$$

Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:

$$\varphi = \cos^{-1}(-0,884) = 152,13^\circ$$

also beträgt der Winkel %%\varphi = 152,13^\circ%%.

%%a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \\%% und %%b=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}%%

Bestimmung des Winkels

Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt %%0%% ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Berechne das Skalarprodukt zwischen %%\vec a%% und %%\vec b%%!

%%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix} = 1 \cdot (-9)+ 3 \cdot 3 = -9+9 = 0%%

Das Skalarprodukt von %%\vec a%% und %%\vec b%% ist also %%0%%. Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also %%\varphi=90^\circ%%.

%%a = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \\%% und %%\ b = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}%%

Berechnung des Winkels

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von %%\vec a%% und %%\vec b%%. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von %%\vec a%% mit sich selbst und %%\vec b%% mit sich selbst:

%%\vec a \odot \vec a =\begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix}= (-2)\cdot (-2) + 7\cdot 7 = 53%%

%%\vec b \odot \vec b =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}= 5\cdot 5 + 3\cdot 3 = 34%%

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

%%\left | \vec a \right | = \sqrt{\vec a \odot \vec a} = \sqrt{53}%% und %%| \vec b | = \sqrt{\vec b \odot \vec b} = \sqrt{34}%%

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2%%.

Hier also:

%%\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 = -10 + 21 = 11%%

Das Skalarprodukt von %%\vec a%% und %%\vec b%% ist somit %%11%%.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)%%

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{34}}\right)=74,98^\circ%%

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt %%\varphi =74,98^\circ%%.

Bestimme jeweils die Länge des Vektors mithilfe des Skalarprodukts!

%%\vec a=\begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix}%%

Länge des Vektors

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

%%\vec a \odot \vec a =\begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix}= (-2)\cdot (-2) + 7\cdot 7 = 53%%

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

%%\left | \vec a \right | = \sqrt{\vec a \odot \vec a} = \sqrt{53}%%

Die Länge des Vektors ist also %%\sqrt{53}%%.

%%\vec a=\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}%%

Länge des Vektors

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

%%\vec a \odot \vec a =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}= 5\cdot 5 + 3\cdot 3 = 34%%

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

%%\left | \vec a \right | = \sqrt{\vec a \odot \vec a} = \sqrt{34}%%

Die Länge des Vektors ist also %%\sqrt{34}%%.

%%\vec a=\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}%%

Länge des Vektors

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

%%\vec a \odot \vec a =\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}= 1\cdot 1 + 3\cdot 3 = 10%%

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

%%\left | \vec a \right | = \sqrt{\vec a \odot \vec a} = \sqrt{10}%%

Die Länge des Vektors ist also %%\sqrt{10}%%.

%%\vec a=\begin{pmatrix} -9\\3\end{pmatrix}%%

Länge des Vektors

Zur Berechnung der Länge des Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt:

%%\vec a \odot \vec a =\begin{pmatrix} -9\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} -9\\3\end{pmatrix}= (-9)\cdot (-9) + 3\cdot 3 = 90%%

Indem du jetzt die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Länge des Vektors:

%%\left | \vec a \right | = \sqrt{\vec a \odot \vec a} = \sqrt{90}%%

Die Länge des Vektors ist also %%\sqrt{90}%%.

Berechne den Winkel zwischen den zwei Geraden!

%%f:y=5x+3%% und %%g:y=-2x+3%%

Winkel zwischen Geraden

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu %%f%% gehörende Richtungsvektor ist %%v=\begin{pmatrix} 1\\5\end{pmatrix}%%.
Der zu %%g%% gehörende Richtungsvektor ist %%w=\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}%%.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von %%\vec v%% und %%\vec w%%. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von %%\vec v%% mit sich selbst und %%\vec w%% mit sich selbst:

%%\vec v \odot \vec v =\begin{pmatrix} 1\\5\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 1\\5\end{pmatrix}= 1\cdot 1 + 5\cdot 5 = 26%%

%%\vec w \odot \vec w =\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}= 1\cdot 1 + (-2)\cdot (-2) = 5%%

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

%%\left | \vec v \right | = \sqrt{\vec v \odot \vec v} = \sqrt{26}%% und %%| \vec w | = \sqrt{\vec w \odot \vec w} = \sqrt{5}%%

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec v\odot\vec w = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2%%.

Hier also:

%%\,\vec v\odot\vec w = \begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} = 1 \cdot1 + 5 \cdot (-2) = 1 + (-10) = -9%%

Das Skalarprodukt von %%\vec v%% und %%\vec w%% ist somit %%-9%%.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec v\odot\vec w}{\left|\vec v\right|\cdot|\vec w|}\right)%%

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec v\odot\vec w}{\left|\vec v\right|\cdot|\vec w|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{5}}\right)=142,13^\circ%%

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt %%\varphi =142,13^\circ%%.

%%f: y=x+5%% und %%g: y=-\dfrac 3 2 x-2%%

Winkel zwischen Geraden

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu %%f%% gehörende Richtungsvektor ist %%v=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}%%.
Der zu %%g%% gehörende Richtungsvektor ist %%w=\begin{pmatrix} 2\\-3\end{pmatrix}%%.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von %%\vec v%% und %%\vec w%%. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von %%\vec v%% mit sich selbst und %%\vec w%% mit sich selbst:

%%\vec v \odot \vec v =\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}= 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2%%

%%\vec w \odot \vec w =\begin{pmatrix} 2\\-3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 2\\-3\end{pmatrix}= 2\cdot 2 + (-3)\cdot (-3) = 13%%

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

%%\left | \vec v \right | = \sqrt{\vec v \odot \vec v} = \sqrt{2}%% und %%| \vec w | = \sqrt{\vec w \odot \vec w} = \sqrt{13}%%

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec v\odot\vec w = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2%%.

Hier also:

%%\,\vec v\odot\vec w = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} = 1 \cdot2 + 1\cdot (-3) = 2 + (-3) = -1%%

Das Skalarprodukt von %%\vec v%% und %%\vec w%% ist somit %%-1%%.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec v\odot\vec w}{\left|\vec v\right|\cdot|\vec w|}\right)%%

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec v\odot\vec w}{\left|\vec v\right|\cdot|\vec w|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}\right)=101,31^\circ%%

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt %%\varphi =101,31^\circ%%.

%%f: y=2x+6%% und %%g: y=-\dfrac 1 2x -2%%

Winkel zwischen Geraden

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu %%f%% gehörende Richtungsvektor ist %%v=\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}%%.
Der zu %%g%% gehörende Richtungsvektor ist %%w=\begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix}%%.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Hier kannst du entweder analog zu den anderen Aufgaben vorgehen, oder du erkennst, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das siehst du daran, dass das Skalarprodukt %%0%% ergibt.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von %%\vec a%% und %%\vec b%%. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von %%\vec v%% mit sich selbst und %%\vec w%% mit sich selbst:

%%\vec v \odot \vec v =\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}= 1\cdot 1 + 2\cdot 2 = 5%%

%%\vec w \odot \vec w =\begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix}= 2\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) = 5%%

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

%%\left | \vec v \right | = \sqrt{\vec v \odot \vec v} = \sqrt{5}%% und %%| \vec w | = \sqrt{\vec w \odot \vec w} = \sqrt{5}%%

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch %%\,\vec v\odot\vec w = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2%%.

Hier also:

%%\,\vec v\odot\vec w = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = 1 \cdot2 + 2\cdot (-1) = 2 + (-2) = 0%%

Das Skalarprodukt von %%\vec v%% und %%\vec w%% ist somit %%0%%.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec v\odot\vec w}{\left|\vec v\right|\cdot|\vec w|}\right)%%

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

%%\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec v\odot\vec w}{\left|\vec v\right|\cdot|\vec w|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\right)=90^\circ%%

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt %%\varphi =90^\circ%%.

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