Denk- und Beweisaufgaben zum Parallelogramm

Wie gut kennst du dich mit dem Parallelogramm aus? Teste dich mit diesen Denkaufgaben und vertiefe dein Wissen!

1
Experimentiere mit einem Zollstock
Mit einem Zollstock lassen sich leicht verschiedene Parallelogramme formen.
1. Durch die Seitenlängen (und somit auch durch seinen "Umfang", d.h. die Summe der Seitenlängen) ist die Form eines Parallelogramms nicht bestimmt. Zeige dies!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Eine andere Form wäre z.B. die gezeichnete. Du findest sicher noch weitere.
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2. Welche Form besitzt ein Parallelogramm mit vorgegebenen Seitenlängen, wenn seine beiden Höhen am größten sind?
  Rechteck
  Quadrat
  Trapez
  Raute
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Das Parallelogramm ist dann ein Rechteck. Falls alle Seiten des Parallelogramms gleich groß sind, als Sonderfall ein Quadrat.
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3. Was passiert mit der Höhe $h_{b}$ eines bestimmten "Zollstockparallelogramms", wenn man dieses ohne Veränderung der Seitenlängen so verbiegt, dass die Höhe $h_{a}$ nur noch die Hälfte (den dritten Teil; den vierten Teil) beträgt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  So kann man den Flächeninhalt des Paralleolgramms berechnen:
  $\begin{array}{l} A_{P a r a l l e o g r a m m} = a \cdot h_{a} \\ A_{P a r a l l e l o g r a m m} = b \cdot h_{b} \end{array}$
  Dann gilt:
  $\begin{array}{l} a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} \\ \Rightarrow h_{b} = \frac{a}{b} \cdot h_{a} \end{array}$
  Da $a$ und $b$ unverändert bleiben, ist $h_{b}$ nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich $h_{a}$ entsprechend ändert.
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4. Wahr oder falsch?
  Wird ohne Veränderung der Seitenlängen eine Höhe eines Parallelogramms um $1 cm$ ( $2 cm$ , $3 cm$ ) kleiner, dann wird auch die andere Höhe um $1 cm$ ( $2 cm$ , $3 cm$ ) kleiner.
  nein
  ja
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:
  $\begin{array}{l} A_{P a r a l l e l o g r a m m} = a \cdot h_{a} u n d \\ A_{P a r a l l e l o g r a m m} = b \cdot h_{b} \end{array}$
  Also gilt:
  $b \cdot h_{b} = a \cdot h_{a}$
  Verkleinere $h_{a}$ um $1 LE$ und berechne das zugehörige $h_{b}^{'}$ .
  Voraussetzung: $h_{a} > 1 L E$
  $b \cdot h_{b}^{'} = a \cdot (h_{a} - 1)$
  durch $b$ dividieren
  $h_{b}^{'} = \frac{a}{b} (h_{a} - 1)$
  rechte Seite ausmultiplizieren
  $h_{b}^{'} = \frac{a}{b} h_{a} - \frac{a}{b} = h_{b} - \frac{a}{b}$
  Ergebnis:
  Die neue Höhe $h_{b}^{'}$ wird um $\frac{a}{b} LE$ kleiner. Nur wenn gilt: $a = b$ , d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch $h_{b}$ gerade um $1 LE$ kleiner werden.
  Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - $h_{a}$ um $2 LE$ oder $3 LE$ kleiner wird.
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2
Große Lasten - hohe Kräfte!
Ein Parallelogramm, bei dem nur die Seitenlängen vorgegeben sind, ist nicht "stabil".
Falls jedoch zusätzlich noch eine Diagonalenlänge fest gegeben ist, "rührt" sich an dem Parallelogramm nichts mehr.
Probiere es z.B. an einem Zollstockparallelogramm aus.
In der Technik nennt man solch eine stabilisierende Diagonale eine "Verstrebung" und erreicht damit große Belastbarkeit, etwa bei Baukränen.
Kannst du dir erklären, warum solch eine Verstrebung funktioniert?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramme
Die Verformung eines Parallelogramms bei vorgegebenen Seitenlängen ändert die Innenwinkel des Vierecks. Deshalb die andere "Form".
Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. Für diese sind dann ihre drei Seiten vorgegeben. Die Form eines Dreiecks - also auch ihre Innenwinkel - sind durch die Dreiecksseiten eindeutig bestimmt.
Damit ist jetzt auch die Form des Vierecks festgelegt und unveränderbar.
Die Lastarme des Krans sind aus verstrebten Rechtecken konstruiert, so dass sie - in Grenzen - belastbar sind. Die Grenzen liegen dann vor allem in der Materialbeschaffenheit der Kranteile.
3
Konstrukteure gefragt
Geometrische Aufgaben löst man in der Regel durch eine Berechnung oder durch eine Konstruktion.
Eine "Konstruktion" ist eine möglichst genaue Zeichnung alleine mit den Hilfsmitteln eines Zirkels und eines Lineals. Oft darf man zur Erleichterung auch ein Geodreieck verwenden.
Löse die folgenden Aufgabenstellungen jeweils durch eine Konstruktion.
1. Konstruiere eine Strecke durch den Punkt P als Mittelpunkt der Strecke so, dass die Endpunkte auf g und h liegen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Tipp: Denke daran: Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen.
  Naheliegend ist es dann, $P$ als Schnittpunkt der Diagonalen eines zu konstruierenden Parallelogramms zu betrachten.
  Du kannst den Konstruktionsverlauf abspielen.
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  Die Konstruktionsschritte:
  Spiegle den Punkt A am Punkt P, d.h. verlängere die Strecke $A P$ über P hinaus um sich selbst. Der Spiegelpunkt heiße A'.
  Zeichne die Parallele zu h durch A'.
  Schneide die Parallele mit g. Der Schnittpunkt heiße D.
  Schneide die Gerade DP mit h. Der Schnittpunkt heiße E.
  Die Strecke [DE] wird von P halbiert und ist die Lösung der Aufgabe.
  Begründung: AEA'D ist ein Parallelogramm und [DE] eine Diagonale, die vom Schnittpunkt der Diagonalen halbiert wird.
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2. Lege eine Strecke von P aus so, dass der Endpunkt auf h liegt und die Strecke von g halbiert wird.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Du kannst den Konstruktionsverlauf abspielen.
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  Die Konstruktionsschritte:
  Zeichne zu h eine Parallele durch P.
  Schneide die Parallele mit g. Der Schnittpunkt heiße D.
  Zeichne eine Parallele zur Geraden AP durch D. Ihr Schnittpunkt mit h heiße E.
  Die Strecke [PE] ist die Lösung der Aufgabe.
  Begründung: Das Viereck APDE ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich halbieren.
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3. Konstruiere eine zur Geraden g parallele Strecke mit vorgegebener Länge a LE so, dass die Endpunkte der Strecke auf s und t liegen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Du kannst die Konstruktionsschritte abspielen.
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  Die Konstruktionsschritte:
  Trage auf der Geraden g vom Punkt S aus die Länge a LE ab. Der Endpunkt heiße P.
  Zeichne zum Schenkel t die Parallele durch P.
  Schneide die Parallele mit dem Schenkel s. Der Schnittpunkt heiße A.
  Zeichne zur Geraden g die Parallele durch A.
  Schneide die Parallele mit dem Schenkel t. Der Schnittpunkt heiße B.
  Die Strecke [AB] ist die Lösung der Aufgabe.
  Begründung: Das Viereck ABSP ist ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge von a LE.
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4
Quer durchs Parallelogramm
Eine Gerade "quer" durchs Parallelogramm, wie z.B. eine Diagonale, heißt eine Transversale.
1. Begründe, warum die Eckpunkte B und D des Parallelogramms ABCD von der Diagonalen durch A und C gleichen Abstand haben.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenz von Dreiecken
  Die Diagonale zerlegt das Parallelogramm nach dem SSS-Satz in zwei kongruente Dreiecke, die dann auch in den zur gemeinsamen Seite gehörenden Höhen übereinstimmen.
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2. Für eine durch den Eckpunkt A des Parallelogramms ABCD und einen beliebigen Punkt X der Seite [CD] verlaufende Transversale gilt:
  Der Abstand des Punktes B zur Transversalen ist die Summe der Abstände der Eckpunkte C und D von ihr.
  Begründe dies.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Tipp: Lege eine geeignete Parallele zur Transversalen.
  Der "Trick" zur Begründung:
  Lege durch die Ecke C die Parallele zur Transversalen.
  Dann enthält die Zeichnung die beiden nach dem WSW-Satz kongruenten Dreiecke HBC und AXD, die in ihrer Höhe d übereinstimmen.Dazu ein Rechteck mit der Seitenlänge c.
  Der Abstand b des Eckpunktes B von der Transversalen ist dann die Summe c+d.
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3. Was gilt für die Teilaufgabe b, wenn X = D?
  Was gilt, wenn X = C?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Bei beliebiger Lage von X auf [CD] gilt: $b = c + d$ .
  Wenn X = D, dann gilt:
  Die Seite AD des Parallelogramms ist selbst Transversale. Der Eckpunkt D hat zu ihr den Abstand 0, d.h. $d = 0$ . Die Eckpunkte B und C des Parallelogramms haben zur Seite AD gleichen Abstand, d.h. es gilt $b = c$ .
  Wenn X = C, dann gilt:
  $c = 0$ , und es gilt die Feststellung aus Teilaufgabe a, dass $b = d$ .
  Die allgemeine Beziehung $b = c + d$ gilt also auch für die beiden Sonderlagen des Punktes X.
  Im nachfolgenden Appplet kannst du durch Verschieben des Punktes X die einzelnen Abstandswerte ablesen und die Sonderlagen von X überprüfen.
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5
Verwandlungskünste
Je weniger Eckpunkte eine geometrische Figur bei gleichbleibender Fläche hat, desto wünschenswerter ist dies oft.
Verwandle durch eine Konstruktion Parallelogramme so, dass jeweils ein flächengleiches Dreieck entsteht.
1. Verwandle das Parallelogramm $A B C D$ mit den Eckpunkten $A (0 | 0), B (4 | 0), C (7 | 2), D (3 | 2)$ unter Beibehaltung der Seite $[A B]$ und des Innenwinkels $α$ in ein flächengleiches Dreieck.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramme
  Die Konstruktion:
  Lege durch den Eckpunkt $C$ die Parallele zur Diagonalen $B D$ . Sie schneidet die Verlängerung der Parallelogrammseite $[A D]$ im Punkt $E$ .
  $E$ hat im Koordinatensystem die Koordinaten $(6 | 4)$ .
  Das Dreieck $ABE$ ist flächengleich zum Parallelogramm $ABCD$ .
  Begründung:
  Die beiden Dreiecke $BCD$ und $BDE$ haben die gleiche Grundlinie und die gleiche Höhe, sind also flächengleich.
  Die Konstruktion kannst du mit folgendem Applet nachvollziehen.
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2. Verwandle das Parallelogramm $ABCD$ mit den Eckpunkten $A (0 | 0), B (4 | 0), C (3 | 2), D (- 1 | 2)$ unter Beibehaltung der Parallelogrammseite $[B C]$ und des Innenwinkels $β$ in ein flächengleiches Dreieck.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramme
  Die Konstruktion:
  Lege die Parallele zur Parallelogramm-Diagonalen $[A C]$ durch den Eckpunkt $D$ . Sie schneidet die Verlängerung der Parallelogrammseite $[A B]$ im Punkt $F$ .
  $F$ hat im Koordinatensystem die Koordinaten $(- 4 | 0)$ .
  Begründung der Konstruktion:
  Die beiden Dreiecke $ACD$ und $ACF$ haben die gleiche Grundlinie $[A C]$ und die gleiche Höhe, sind also flächengleich.
  Du kannst die Konstruktion mit einem Applet nachvollziehen.
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6
Geometrische Graffitis
Zur Verschönerung wird ein Parallelogramm $ABCD$ auf drei verschiedene Weisen mit geometrischen Figuren besprüht. (Welches Graffiti würde dir als "Kunstwerk" am besten gefallen?)
Graffiti 1
Hier gilt:
$B E = 2 \cdot C E$ und $A F = 2 \cdot F E$
Graffiti 2
Hier gilt:
$A M = M D$ und $M E = 2 \cdot E C$
Graffiti 3
Hier gilt:
$[E F]$ ist eine Mittelparallele im Parallelogramm und der Punkt $H$ teilt diese im Verhältnis $5 : 3$ . Der Punkt $G$ teilt die Seite $[D C]$ im Verhältnis $3 : 1$ .
1. Schule dein Empfinden für Flächengrößen und entscheide ohne Rechnung, welche Aussage für das Graffiti 1 zutrifft.
  Klicke die deiner Meinung nach zutreffende Aussage an.
  Die Fläche orange ist kleiner als die Fläche lila.
  Die Flächen türkis und orange sind gleich groß.
  Die Fläche lila ist größer als die Fläche türkis.
  Die Summe der Flächen lila und rot ist so groß wie die Summe der Flächen türkis und orange.
2. Entscheide auch für das Graffiti 2 ohne Rechnung, welche der folgenden Aussagen zutrifft.
  Klicke die deiner Meinung nach richtige Aussage an.
  Die Fläche rot ist kleiner als die Fläche lila.
  Die Summe der Flächen rot und lila ist so groß wie die Fläche orange.
  Die Fläche lila ist kleiner als die Fläche rot.
  Die Summe der Flächen grün und lila ist größer als die Fläche orange.
3. Ordne für das Graffiti 1 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis $2 : 3 : 4 : 9$ stehen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Für die Flächenzerleung des Parallelogramms $A B C D$ gilt:
  $\begin{array}{r} B E = 2 \cdot C E \\ A F = 2 \cdot F E \end{array}$
  Hilfreiche Vorkenntnisse zum Beweis
  Flächeninhalt des Parallelogramms
  $A_{Parallelogramm} = b \cdot h_{b}$
  Flächeninhalt des Dreiecks
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Der Strahlensatz
  Werden zwei sich schneidende Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den beiden Strecken gleich.
  Für die gezeichnete Figur gilt:
  $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{2}{1} \Rightarrow h_{1} = 2 \cdot h_{2}$
  Behauptung:
  Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis
  $2 : 3 : 4 : 9$
  Der Beweis
  Für $A_{△ E C D}$ gilt:
  $A_{△ E C D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} b \cdot h_{b} = \frac{1}{6} \cdot (b \cdot h_{b}) = \frac{1}{6} \cdot A_{Parallelogramm}$
  Für $A_{△ A E D}$ gilt:
  $A_{△ A E D} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot (b \cdot h_{b}) = \frac{1}{2} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m}$
  Für $A_{△ B E F}$ gilt:
  $A_{△ B E F} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} b \cdot \frac{1}{3} h_{b} = \frac{1}{9} \cdot (b \cdot h_{b}) = \frac{1}{9} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m}$
  Für $A_{△ A B F} g i l t :$
  $\begin{aligned} A_{△ A B F} & = A_{P a r a l l e l o g r a m m} - A_{△ B E F} - A_{△ E C D} - A_{△ A F D} \\ A_{△ A B F} & = A_{P a r a l l e l o g r a m m} - \frac{1}{9} \cdot A_{P . g r a m m} - \frac{1}{6} \cdot A_{P . g r a m m} - \frac{1}{2} \cdot A_{P . g r a m m} \\ A_{△ A B F} & = \frac{2}{9} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m} \end{aligned}$
  Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchteile $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}$ auf den gemeinsamen Nenner $18$ und ordne sie der Größe nach.
  $A_{△ B E F} = \frac{2}{18} \cdot A_{P .} < A_{△ E C D} = \frac{3}{18} \cdot A_{P .} < A_{△ A B F} = \frac{4}{18} \cdot A_{P .} < A_{△ A E D} = \frac{9}{18} \cdot A_{P .}$
  Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:
  $2 (orange) : 3 (lila) : 4 (türkis) : 9 (rot)$
  Anmerkungen zum Beweis
  Dass $Δ A B F$ doppelt so groß ist wie $Δ B E F$ , erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von $B$ aus ist die Grundlinie doppelt so groß.
  Für diesen Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.
  Alternativer Beweis
  Dreiecksflächen
  $Δ B E F$ habe bei seiner Grundlinie $[E F]$ und der Höhe $h_{x}$ den angenommenen Flächeninhalt $x FE$ .
  $A_{Δ B E F} = x FE$
  $Δ A B F$ ist dann bei der gleichen Höhe $h_{x}$ wegen der doppelten Grundlinienlänge $[A F]$ auch doppelt so groß.
  $A_{Δ A B F} = 2 x FE$
  $Δ A B E$ hat den Flächeninhalt $x + 2 x = 3 x$ .
  $Δ E C D$ ist halb so groß. Begründung: Halbe Grundlinie $\frac{1}{3} b$ statt $\frac{2}{3} b$ bei gleicher Höhe $h_{b}$ .
  $A_{Δ E C D} = 1,5 x FE$
  $Δ A E D$ ist wegen dreifacher Grundlinie und gleicher Höhe $h_{b}$ dreimal so groß wie $Δ E C D$ .
  $A_{Δ A E D} = 4,5 x FE$
  Der Größe nach geordnet stehen die vier Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:
  $\begin{aligned} A_{Δ B E F} : A_{Δ E C D} : A_{Δ A B F} : A_{Δ A E D} & = x : 1,5 x : 2 x : 4,5 x | \cdot 2 : x \\ = 2 : 3 : 4 : 9 \end{aligned}$
  Zusammenfassung
  Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich unabhängig von der Form des Parallelogramms sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.
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4. Ordne für das Graffiti 2 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis $1 : 2 : 3 : 6$ stehen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Für die Flächenzerlegung des Parallelogramms $A B C D$ gilt:
  $A M = M D$
  $M D = \frac{2}{3} \cdot E C$
  Notwendige Vorkenntnisse zum Beweis
  Flächeninhalt des Parallelogramms
  $A_{P a r a l l e l o g r a m m} = b \cdot h_{b}$
  Flächeninhalt des Dreiecks
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Der Strahlensatz
  Werden zwei Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den bieden Strecken gleich.
  Für die gezeichnete Figur gilt:
  $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{2 LE}{1 LE} \Rightarrow h_{1} = 2 \cdot h_{2}$
  Behauptung
  Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis:
  $1 : 2 : 3 : 6$
  Der Beweis
  Für $A_{△ A B M}$ gilt:
  $A_{△ A B M} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot h_{b} = \frac{1}{4} \cdot (b \cdot h_{b}) = \frac{1}{4} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m}$
  Für $A_{△ B C M}$ gilt:
  $A_{△ B C M} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m}$
  Für $A_{△ M E D}$ gilt:
  $A_{△ M E D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot h_{b} = \frac{1}{6} \cdot (b \cdot h_{b}) = \frac{1}{6} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m}$
  Für $A_{△ D E C}$ gilt:
  $\begin{aligned} A_{△ D E C} & = A_{P . g r .} - A_{△ A B M} - A_{△ B C M} - A_{△ M E D} \\ = A_{P . g r .} - \frac{1}{4} \cdot A_{P . g r .} - \frac{1}{2} \cdot A_{P . g r .} - \frac{1}{6} \cdot A_{P . g r .} \end{aligned} = \frac{1}{12} \cdot A_{P a r a l l e l o g r a m m}$
  Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchterme
  $\frac{1}{12}; \frac{1}{6}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}$
  auf den gemeinsamen Nenner $12$ und ordne sie der Größe nach.
  $A_{△ D E C} = \frac{1}{12} \cdot A_{P .} < A_{△ M E D} = \frac{2}{12} \cdot A_{P .} < A_{△ A B M} = \frac{3}{12} \cdot A_{P .} < A_{△ B C M} = \frac{6}{12} \cdot A_{P .}$
  Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:
  $1 (g r \ddot{u} n) : 2 (r o t) : 3 (l i l a) : 6 (o r a n g e)$
  Anmerkungen zum Beweis
  Dass $Δ M E D$ doppelt so groß ist wie $Δ D E C$ erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von $D$ aus ist die Grundlinie doppelt so lang.
  Für den Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.
  Alternativer Beweis
  Dreiecksflächen
  $Δ E C D$ habe bei der Grundlinienlänge $[E C]$ und der Höhe $h_{x}$ den angenommenen Flächeninhalt $x FE$ .
  $A_{Δ E C D} = x FE$
  $Δ M E D$ ist bei der gleichen Höhe $h_{x}$ wegen der doppelten Grundlinienlänge $[M E]$ doppelt so groß wie $Δ E C D$ .
  $A_{Δ M E D} = 2 x FE$
  $Δ M C D$ hat den Flächeninhalt $x + 2 x = 3 x FE .$
  $Δ A M B$ und $Δ M C D$ sind flächengleich wegen gleicher Grundlinienlänge $\frac{1}{2} b$ und gleicher Höhe $h_{b}$ .
  $A_{Δ A M B} = 3 x FE$
  $Δ B C M$ ist doppelt so groß wie $Δ A M B$ wegen der doppelt so großen Grundlinienlänge $b$ bei gleicher Höhe $h_{b}$ .
  $A_{Δ B M C} = 6 x FE$
  Der Größe nach geordnet stehen die Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:
  $\begin{aligned} A_{Δ E C D} : A_{Δ M E D} : A_{Δ A M B} : A_{Δ B M C} & = x : 2 x : 3 x : 6 x | : x \\ = 1 : 2 : 3 : 6 \end{aligned}$
  Zusammenfassung
  Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Teilverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.
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5. Beweise, dass das Graffiti $3$ drei gleich große Teilflächen enthält und die drei anderen im Verhältnis $3 : 6 : 8$ stehen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Für die Zerlegung des Parallelogramms $A B C D$ gilt:
  Die Höhe $[h_{a}]$ wird durch $[E F]$ halbiert.
  $D G = \frac{3}{4} \cdot a und G C = \frac{1}{4} \cdot a$
  $E H = \frac{5}{8} \cdot a und H F = \frac{3}{8} \cdot a$
  Hilfreiche Vorkenntnis zum Beweis:
  Flächeninhalt des Trapezes
  $A_{T r a p e z} = \frac{a + b}{2} \cdot h$
  $m = \frac{a + b}{2}$
  Behauptung
  Drei Flächenteile sind flächengleich, die restlichen stehen im Verhältnis
  $3 : 6 : 8$
  Der Beweis
  Für $A_{T r a p e z H F C G}$ gilt:
  $\begin{aligned} A_{T r a p e z} & = \frac{\frac{3}{8} \cdot a + \frac{1}{4} \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot h_{a} \\ A_{T r a p e z} & = \frac{5}{32} \cdot (a \cdot h_{a}) = \frac{5}{32} \cdot A_{P . g r a m m} \end{aligned}$
  Für $A_{△ H G E}$ gilt:
  $A_{△ H G E} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} a \cdot (\frac{1}{2} h_{a}) = \frac{5}{32} \cdot A_{P . g r a m m}$
  Für $A_{△ A E H}$ gilt:
  $A_{△ A E H} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} a \cdot (\frac{1}{2} h_{a}) = \frac{5}{32} \cdot A_{P . g r a m m}$
  Damit sind die drei flächengleichen Teilflächen gefunden:
  Das Trapez $H F C G$ (türkis) und die Dreiecke $H G E$ (orange) und $A E H$ (rot) sind flächengleich.
  Für $A_{△ E G D}$ gilt:
  $A_{△ E G D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} a \cdot (\frac{1}{2} h_{a}) = \frac{3}{16} \cdot A_{P . g r a m m}$
  Für $A_{△ A B H} g i l t :$
  $A_{△ A B H} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (\frac{1}{2} h_{a}) = \frac{1}{4} \cdot A_{P . g r a m m}$
  Für $A_{△ B F H}$ gilt:
  $A_{△ B F H} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} a \cdot (\frac{1}{2} h_{a}) = \frac{3}{32} \cdot A_{P . g r a m m}$
  Bringe zum direkten Vergleich der Dreiecke die Bruchteile
  $\frac{3}{16}, \frac{1}{4}, \frac{3}{32}$
  auf den gemeinsamen Nenner $32$ und ordne der Größe nach.
  $A_{△ B F H} = \frac{3}{32} \cdot A_{P . g r a m m} < A_{△ E G D} = \frac{6}{32} \cdot A_{P . g r a m m} < A_{△ A B H} = \frac{8}{32} \cdot A_{P . g r a m m}$
  Damit stehen die restlichen Dreiecke des Parallelogramms in folgendem Verhältnis:
  $3 (grün) : 6 (lila) : 8 (braun)$
  Anmerkungen zum Beweis
  Auf die Berechnung des Flächenteils des Trapezes kann man auch verzichten (wenn man z.B. die Flächenformel für das Trapez doch nicht kennt!), indem man die Flächenanteile aller fünf Dreiecke addiert und die Summe vom Flächenteil $1$ (des Parallelogramms) abzieht. Allerdings erkennt man auf diese Weise die drei gleich großen Flächen erst am Schluss.
  Zum Beweis wird die Form und die Größe des Parallelogramms nicht benötigt. Am nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt $C$ des Parallelogramms.
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7
Die Ordnungskraft der Mittelpunkte
Ein allgemeines Viereck $A B C D$ . Die Seiten des Vierecks sind weder parallel noch gleich lang.
Verbindet man die Mittelpunkte der Vierecksseiten zu einem neuen Viereck, entsteht das "Mittelpunktsviereck". Das Mittelpunktsviereck ist stets ein Parallelogramm.
1. Begründe die "Ordnungskraft" der Seitenmittelpunkte eines Vierecks: Erkläre, warum das Mittelpunktsviereck eines beliebigen Vierecks stets ein Parallelogramm ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
  In der Strahlensatzfigur $A D C$ (Teildreieck des Vierecks $A B C D$ ) teilen die Mittelpunkte die Strahlen $[D A$ und $[D C$ im gleichen Verhältnis 1:1. Die Seite $[M_{1} M_{2}]$ ist demnach parallel zu $[A C]$ , der Diagonalen des Vierecks.
  Gleiches gilt für die drei anderen Seiten des Mittelpunktsvierecks. Dessen Seiten sind somit paarweise parallel zu einer Diagonalen des Vierecks (und im Übrigen gerade halb so lang wie diese.)
  Das Mittelpunktsviereck ist also stets ein Parallelogramm.
  Da die Seiten des Mittelpunktsvierecks parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks sind, ist der spitze Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks so groß wie der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen des ursprünglichen Vierecks schneiden. Also ist $α = β$ .
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2. Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Quadraten? Begründe deine Antwort!
  Quadrat
  Rechteck
  Raute
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Das Mittelpunktsviereck eines Quadrats ist wieder ein Quadrat.
  Begründung:
  Die Diagonalen des (ursprünglichen) Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.
  Damit sind die Seiten des Mittelpunktsvierecks auch gleich lang (halb so lang wie die ursprünglichen Diagonalen) und stehen aufeinander senkrecht.
  Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Quadrats wieder ein Quadrat.
  (Zusatz: Mit halb so großem Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.)
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3. Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rechtecken? Begründe deine Anwort!
  Quadrat
  Rechteck
  Raute
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks ist eine Raute.
  Begründung:
  Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang, stehen aber nicht aufeinander senkrecht.
  Damit sind die vier Seiten des Mittelpunktsvierecks gleich lang. Die Eckwinkel sind aber nicht 90°.
  Damit ist das Mittelpunktsviereck eines Rechtecks eine Raute (und kein Quadrat.)
  (Zusatz: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der des ursprünglichen Rechtecks.)
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4. Von welcher Form sind die Mittelpunktsvierecke von Rauten? Begründe deine Anwort!
  Quadrat
  Rechteck
  Raute
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
  Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist ein Rechteck.
  Begründung:
  Die Diagonalen einer Raute stehen aufeinander senkrecht, sind aber nicht gleich lang.
  Damit sind die Eckwinkel des Mittelpunktsvierecks rechte Winkel und die Seiten paarweise verschieden lang.
  Das Mittelpunktsviereck einer Raute ist somit ein Rechteck.
  (Zusatz: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt der ursprünglichen Raute.)
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