Aufgaben

Ein rotationssymmetrisches Werkstück soll aus Gusseisen der Dichte  %%7,2\frac g{cm^3}%% hergestellt werden. 

Das Bild zeigt das Werkstück im Querschnitt. Berechne die Masse des Werkstücks.

rotationssymmetrisches Werkzeug

Volumen- und Massenberechnung

Gesucht: Masse %%m%% des Werkstücks

Die Masse %%m%% hängt mit dem Volumen %%V%% und der Dichte %%\rho%% zusammen.

Die Formel lautet:

%%\rho=\frac {m}{V}%%

%%\rho=\dfrac {m}{V}%%

Stelle diese Formel nach %%m%% um.

%%m=\rho \cdot V%%

%%\rho =7,2 \frac {\mathrm {g}}{\mathrm{cm}^3}%% ist in der Aufgabe angegeben.
Das Volumen musst du noch berechnen.

Berechnung des Volumens

Das Werkstück ist rotationssymmetrisch.
Wenn sich die Figur um die eingezeichnete Achse dreht, entsteht

  • ein Kegel (wegen des Dreiecks),

  • aus dem eine Halbkugel (wegen des Halbkreises) herausgeschnitten ist.

%%V=\frac13\cdot\left(6,0cm\right)^2\mathrm\pi\cdot8,0\mathrm{cm}-\frac12\cdot\frac43\cdot\left(4,0\mathrm{cm}\right)^3\mathrm\pi=\frac{160}3\cdot\mathrm{πcm}^3\approx168\mathrm{cm}^3%%

Abziehen des Volumens der halben Kugel von dem Volumen des Kegels

Berechnung der Masse

%%m=\rho\cdot V=7,2\frac g{cm^3}=268cm^3\cdot7,2\frac g{cm^3}=1929,6g\approx1,9kg%%

Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A.

Berechne das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.

7673_uroG79JEPo.xml

%%{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}-\;{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}+\;{\mathrm V}_\mathrm{Kegel}%%

Durch die Rotation entsteh ein Kegel auf einem großen Zylinder, aus dem ein Kleinerer ausgeschnitten wurde.

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{Kegel}\;}=\frac13\cdot\;({\mathrm r}_\mathrm{Kegel})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Kegel}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\;\cdot\;(2\mathrm a)^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\cdot4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac43\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Kegels

Auflösen der Klammer

Zusammenfassen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}})^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(2\mathrm a)^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders

Auflösen der Klammer

Zusammenfassen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^3\;\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders

Zusammenfassen

Zusammenführen aller Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;-\;\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;+\;\frac43\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\frac13\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Zusammenfassen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5272_UUQ478PFEk.xml
Berechne in Abhängigkeit von aa Volumen und Oberfläche des Rotationskörpers, der durch Rotation der Figur um die Achse AA entsteht.
Wie groß muss aa sein, damit das Volumen 1 Liter beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Rotationskörper

Der Rotationskörper RR, der durch Drehung der skizzierten Figur um die Achse AA entsteht, ist die Kombination eines Kegels mit Höhe hKegel=4ah_{Kegel}=4a und Radius rKegel=3ar_{Kegel}=3a und einer Halbkugel mit Radius rHalbkugel=3ar_{Halbkugel}=3a.

Das Volumen des Rotationskörpers bestimmt sich hier als Summe der Volumina von Kegel und Halbkugel.
Die Oberfläche des Rotationskörpers ist gegeben als Summe der Mantelfächen von Halbkugel und Kegel.


Berechnung des Volumens

Mit den Formeln für das Volumen eines Kegels und das Volumen einer Halbkugel gilt:
VR=VKegel+VHalbkugel=13rKegel2πhKegel+23πrHalbkugel3V_R=V_{Kegel}+V_{Halbkugel}= \frac13\cdot r_{Kegel}^2\cdot\pi\cdot h_{Kegel}+\frac23\cdot\pi\cdot r_{Halbkugel}^3
VR=13(3a)2π4a+23π(3a)3=12πa3+18πa3=30πa3V_R=\frac13\cdot(3a)^2\cdot\pi\cdot4a+\frac23\cdot\pi\cdot(3a)^3=12\pi a^3+18\pi a^3=30\pi a^3
\Rightarrow Das Volumen des Rotationskörpers beträgt also 30πa330\pi a^3.
Somit impliziert VR=1l=1.000cm3V_R=1l=1.000\,cm^3 folgende Bedingung an aa:
1.000cm3=30πa3    a3=100cm33π  a=1003π3cm2,197cm1.000\,cm^3=30\pi a^3\;\Rightarrow\;a^3=\frac{100\,cm^3}{3\pi}\;\Rightarrow a=\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi}}\,cm\approx2,197\,cm

Berechnung der Oberfläche

Mit den Formeln für die Mantelfläche eines Kegels und die Mantelfläche einer Halbkugel gilt:
OR=MKegel+MHalbkugel=rKegelπsKegel+2rHalbkugel2πO_R=M_{Kegel}+M_{Halbkugel}=r_{Kegel}\cdot\pi\cdot s_{Kegel}+2\cdot r_{Halbkugel}^2\cdot\pi,
wobei sich die Mantellinie ss als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreicks mit Radius und Höhe als Katheten darstellt.
OR=3aπ(3a)2+(4a)2+2(3a)2π=3aπ5a+18a2π=33πa2O_R=3a\cdot\pi\cdot \sqrt{(3a)^2+(4a)^2}+2\cdot(3a)^2\cdot\pi=3a\cdot\pi\cdot5a+18a^2\cdot\pi=33\cdot\pi a^2
\Rightarrow Die Oberfläche des Rotationskörpers beträgt also 33πa233\pi a^2.

Durch Rotation des dargestellten rot umrandeten Flächenstücks um die Achse %%g%% entsteht ein rotationssymmetrischer Körper. Bestimme jeweils das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses Rotationskörpers in den Einheiten %%a^3%% bzw. %%a^2%% .

Geogebra File https://assets.serlo.org/legacy/5274_Ewi8rrrdUJ.xml Geogebra File https://assets.serlo.org/legacy/5278_VpzUZsjU4F.xml

Lösung zur ersten Figur

$$V_{rot}=V_{außen}-V_{innen}$$

Subtrahiere das innere Volumen vom äußeren.

$$V_{rot}=\frac23\cdot(3a)^3\cdot\mathrm\pi-\frac23\cdot(2\mathrm a)^3\cdot\mathrm\pi$$

Löse auf.

$$\begin{array}{l}2\mathrm\pi\cdot27\mathrm a^3-\frac23\mathrm\pi\cdot8\mathrm a^3\\\end{array}$$

Vereinfache so weit wie möglich.

$$\begin{array}{l}\frac23\mathrm\pi\cdot19\mathrm a^3\\\Rightarrow\frac{38}3\mathrm{πa}^3\end{array}$$

Lösung zur zweiten Figur

$$V_{rot}=V_{außen}-V_{innen}$$

Subtrahiere das innere Volumen vom äußerem

$$\frac13(3a)^2\mathrm\pi(4\mathrm a)-\frac23\cdot(2\mathrm a)^3\mathrm\pi$$

Löse die Klammern auf

$$\begin{array}{l}\frac13\cdot9a^2\mathrm\pi\cdot4\mathrm a-\frac23\cdot8\mathrm a^3\mathrm\pi\\3\mathrm a^2\mathrm\pi\cdot4\mathrm a-\frac23\cdot8\mathrm a^3\mathrm\pi\end{array}$$

Klammere a und %%\mathrm\pi%% aus

$$(3\cdot4-\frac23\cdot8)\cdot\mathrm{πa}^2\mathrm a$$

Löse auf

$$\begin{array}{l}(12-\frac{16}3)\cdot\mathrm{πa}^2\mathrm a\\\Rightarrow\frac{20}3\mathrm{πa}^3\end{array}$$

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