Aufgaben
Berechne durch geschicktes Aufteilen das Volumen des gegebenen Körpers.
Bild Quader

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern

Zerteile zuerst den Körper in Quader.
Quader
Berechne nun jeweils das Volumen der einzelnen Quader.
Oberster Quader:VQuader oben=3 cm4 cm3 cm=36 cm3V_{\text{Quader oben}} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=36\text{ cm}^3
Mittlerer Quader: VQuader Mitte=11 cm3 cm4 cm=132 cm3V_{\text{Quader Mitte}} = 11\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=132\text{ cm}^3
Unterer Quader: VQuader unten=3 cm4 cm2 cm=24 cm3V_\text{Quader unten} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot 2\text{ cm=24} \text{ cm}^3
Jetzt musst du nur noch alle Volumen miteinander addieren.
Vgesamt=36 cm3+132 cm3+24 cm3=192 cm3V_\text{gesamt} = 36\text{ cm}^3+132\text{ cm}^3+24\text{ cm}^3=192\text{ cm}^3
Berechne durch geschicktes Aufteilen das Volumen des gegebenen Körpers. Gib das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma gerundet OHNE Größeneinheit an!
Zylinder

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumensberechnung bei zusammengesetzten Körpern

Berechne als Erstes einen der Zylinder.
(2 cm)2π3 cm37,7 cm3(2\text{ cm})^2\cdot\pi\cdot3\text{ cm}\approx37,7\text{ cm}^3
Berechne nun den Quader.
13 cm4 cm3 cm=156 cm313\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=156\text{ cm}^3
Nun musst du nur noch dreimal den Zylinder mit dem Quader addieren.
337,7 cm3+156cm3269.1 cm33\cdot37,7\text{ cm}^3+156\text{cm}^3\approx269.1\text{ cm}^3
Berechne das Volumen des folgenden Körpers durch geschicktes Aufteilen in Quader.
quader

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern

Teile den Körper zuerst in 4 Quader ein.
quader
Rechne nun das Volumen des untersten Quaders aus.
5 cm6 cm3 cm=90 cm35\text{ cm}\cdot6\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=90\text{ cm}^3
Rechne jetzt den roten Quader aus.
15 cm6 cm2 cm=180 cm315\text{ cm}\cdot 6\text{ cm}\cdot2\text{ cm}=180\text{ cm}^3
Rechne nun einen der zwei grünen Quader aus.
6 cm4 cm4 cm=96 cm36\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=96\text{ cm}^3
Jetzt musst du nur noch alle Quader zusammenrechnen. Allerdings musst du den grünen Quader zweimal nehmen.
90 cm3+180 cm3+296 cm3=462 cm90\text{ cm}^3+180\text{ cm}^3+2\cdot96\text{ cm}^3=462\text{ cm}
Welches Volumen hat ein 4,5m4{,}5\, \mathrm{m} hohes Haus mit der Breite 4m4\, \mathrm{m} und der Länge 7m7\, \mathrm{m}, wenn das Dachgeschoss 2m2 \, \mathrm{m} hoch ist?
Haus im Bau

Volumenberechnung

Haus im Bau
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
  • Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
  • oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Gegeben: Länge des Quaders = 7m7\, \mathrm{m} Breite des Quaders = 4m4\, \mathrm{m}
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses (4,5m4{,}5 \, \mathrm{m}) die Höhe des Dachs (2m2 \, \mathrm{m}) abziehst.
Höhe des Quaders = 4,5m2m=2,5m4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
VQuader=La¨ngeBreiteHo¨he=7m4m2,5m=70m3V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}


Volumen des Prismas (Dach)

Gegeben: Länge des Dachs = 7m7 \, \mathrm{m} Breite des Dachs = 4m4 \, \mathrm{m} Höhe des Dachs = 2m2 \, \mathrm{m}
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
GPrisma=12BreiteHo¨he=124m2m=4m2G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
VPrisma=GPrismaLa¨nge=4m27m=28m3V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}


Gesamtvolumen des Hauses

VHaus=?V_\text{Haus} = \ldots ?
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
VHaus=VQuader+VPrisma=70m3+28m3=98m3V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}

Antwort: Das Haus hat ein Volumen von 98m398\, \mathrm{m^3}.
In Nîmes in Frankreich steht einer der am besten erhaltenen römischen Tempel, die Maison Carrée. Berechne das Volumen des Tempels mit den zehn 0,8m0,8\, \mathrm{m} breiten Säulen mithilfe des Modells.
Maison Carrée
Tempel Modell
Tempel Modell
Der Tempel besteht aus einem dreiseitigen Prisma (Dach), drei Quadern und zehn Zylindern.

Volumen des Daches

Tempel Dach Prisma

Das Dach ist ein liegendes Prisma.
Dach Tempel
Die Grundfläche davon ist ein Dreieck und die Prismahöhe ist 22m22 \, \mathrm{m}
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Prismen.
VDach=GPrismahPrismaV_\text{Dach} = G_\text{Prisma} \cdot h_\text{Prisma}
Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundlinie der Länge 13,5m13,5\, \mathrm{m} und der Dreieckshöhe 2m2\, \mathrm{m}
=(1213,5m2m)hPrisma= \left(\dfrac12 \cdot 13,5\, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m}\right) \cdot h_\text{Prisma}
Die Höhe des Prismas ist 22m22\, \mathrm{m}
%%= \left(\dfrac12 \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 2\, \mathrm{m}\right) \cdot 22\, \mathrm{m} = 13,5 \, \mathrm{m^2} \cdot 22 \, \mathrm{m} = 297 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Quaders unter dem Dach

Tempel Dach Quader

Das Dach liegt auf einem Quader.
Dach Teil 2 Tempel
Er ist 13,5m13,5 \, \mathrm{m} breit, 22m22 \, \mathrm{m} lang und 2m2 \, \mathrm{m} hoch.
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.
VQuader unter Dach=lbh=22m13,5m2m=594m3V_\text{Quader unter Dach} = l \cdot b \cdot h = 22 \, \mathrm{m} \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 594 \, \mathrm{m^3}

Volumen des Tempelraumes

Tempelraum Quader

Der Tempelraum ist ein Quader.
Quader
Er ist 13,5m13,5 \, \mathrm{m} breit, 15m15 \, \mathrm{m} lang und 10m10 \, \mathrm{m} hoch.
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.
VTempelraum=lbh=15m13,5m10m=2025m3V_\text{Tempelraum} = l\cdot b \cdot h = 15 \, \mathrm{m} \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 10 \, \mathrm{m} = 2025 \, \mathrm{m^3}

Volumen des Sockels

Tempel Sockel Quader

Der Sockel des Tempels ist ein Quader.
Sockel Tempel
Er ist 13,5m13,5\, \mathrm{m} breit, 26,5m26,5 \, \mathrm{m} lang und 3m3\, \mathrm{m} hoch.
Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.
VSockel=lbh=26,5m13,5m3m=1073,25m3V_\text{Sockel} = l \cdot b \cdot h = 26,5 \, \mathrm{m} \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 3 \, \mathrm{m} = 1073,25 \, \mathrm{m^3}

Volumen der Säulen

Tempel Säulen Zylinder

Die Säulen sind Zylinder.
Tempel Säule

Der Durchmesser ist 0,8m0,8 \, \mathrm{m} und sie sind 10m10 \, \mathrm{m} hoch.
Berechne das Volumen einer Säule mit der Volumenformel für Zylinder.
Veine Sa¨ule=Gh=r2πhV_\text{eine Säule} = G \cdot h = r^2 \cdot \pi \cdot h
Der Durchmesser ist 0,8m0,8 \, \mathrm{m}, also ist der Radius 120,8m=0,4m\dfrac12 \cdot 0,8\, \mathrm{m} = 0,4 \, \mathrm{m}
=(0,4m)2π10m=1,6m3π5,03m3= (0,4 \, \mathrm{m})^2 \cdot \pi \cdot 10 \, \mathrm{m} = 1,6 \, \mathrm{m^3} \cdot \pi \approx 5,03 \, \mathrm{m^3}
Berechne nun das Volumen für alle zehn Säulen.
VSa¨ulen=10Veine Sa¨ule=105,03m3=50,3m3V_\text{Säulen} = 10 \cdot V_\text{eine Säule} = 10 \cdot 5,03 \, \mathrm{m^3} = 50,3 \mathrm{m^3}

Gesamtvolumen des Tempels

Um das gesamte Volumen des Tempels auszurechnen, addiert man nun noch die einzelnen Teile
%%V_\text{Tempel} = V_\text{Dach} + V_\text{Quader unter Dach} + V_\text{Tempelraum} + V_\text{Sockel} + V_\text{Säulen}\\= 297 \, \mathrm{m^3} + 594 \, \mathrm{m^3}+ 2025\, \mathrm{m^3}+ 1073,25 \, \mathrm{m^3}+ 50,3\, \mathrm{m^3} = 4039,55 \, \mathrm{m^3}%%
Lösung: Der Tempel hat ein Volumen von 4039,55m34039,55 \, \mathrm{m^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper

Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, kann man zum Beispiel zuerst das Volumen des kompletten Quader mit Länge 5cm5 \mathrm{cm}, Breite 2cm2 \mathrm{cm} und Höhe 7cm7 \mathrm{cm} berechnen. Davon zieht man dann die Lücken noch ab.
Volumen des Großen Quaders:
VQuader groß=5 cm2 cm7 cm=70 cm3\begin{array}{lcl}V_\text{Quader groß} & = & 5\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 7\ \mathrm{cm} \\& = & 70\ \mathrm{cm}^3 \\\end{array}
Volumen einer Lücke:
VLu¨cke=3 cm2 cm1,4 cm=8,4 cm3\begin{array}{lcl}V_\text{Lücke} & = & 3\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1,4\ \mathrm{cm} \\& = & 8,4\ \mathrm{cm}^3 \\\end{array}
Volumen des Körpers:
VKo¨rper=VQuader großVLu¨ckeVLu¨cke=70 cm38,4 cm38,4 cm3=53,2 cm3\begin{array}{lclclcl}V_\text{Körper} & = & V_\text{Quader groß} & - & V_\text{Lücke} & - & V_\text{Lücke} \\& = & 70\ \mathrm{cm}^3 & - & 8,4\ \mathrm{cm}^3 & - & 8,4\ \mathrm{cm}^3 \\& = & 53,2\ \mathrm{cm}^3 \\\end{array}
Der Körper hat also ein Volumen von 53,2 cm353,2\ \mathrm{cm}^3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung

Tipp: Rechne erst die l\text{l} in cm3\text{cm}^3 um. Was passiert denn mit dem Volumen wenn du einen Eiswürfel in das Glas einschenkst?

Volumen zusammengesetzter Quader

Das Volumen der Mischung "Apfelschorle ++ Eiswürfel" erhöht sich bei jedem Eiswürfel der dazugeschenkt wird. Du sollst bei dieser Aufgabe herausfinden wie viele Eiswürfel ins Glas passen, ohne dass die Apfelschorle überläuft. Die Apfelschorle überläuft wenn das Volumen der Mischung "Apfelschorle ++ Eiswürfel" größer ist als das Gesamtvolumen des Glas (0,5l)(0,5\:\text{l}).

Einschenken eines Eiswürfel

Die Eiswürfel sind jeweils Würfel der Kantenlänge a=3cma = 3\text{cm}. Das Volumen eines Eiswürfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfels berechnen:
%%\begin{array}{lcl}V_{Eiswürfel} & = & a\cdot a\cdot a \\& = & 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 27\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Um das Volumen "Apfelschorle ++ 11 Eiswürfel" auszurechnen, ist es Hilfreich das Volumen der Apfelschorle von l\text{l} in cm3\text{cm}^3 umzurechnen:
%%\begin{array}{lcl}V_{Apfelschorle} & = & 0,3\:\text{l} \\& = & 300\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Nun kannst du das Volumen "Apfelschorle +1+\:1 Eiswürfel" berechnen:
%%\begin{array}{lclcl}V_1 & = & V_{Apfelschorle} & + & V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 27\text{cm}^3 \\& = & 327\text{cm}^3 \\\end{array}%%

Maximale Anzahl der Eiswürfel

Wenn Sina zum Beispiel 55 Eiswürfel einschenkt, kannst du das Volumen "Apfelschorle +5+\:5 Eiswürfel" wie folgt berechnen:
%%\begin{array}{lclcl}V_5 & = & V_{Apfelschorle} & + & 5\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 5\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 140\text{cm}^3 \\& = & 440\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Wie kannst du nun wissen wie viele Eiswürfel Sina höchstens einschenken kann? Dafür musst du das berechnete Volumen mit dem Gesamtvolumen des Glas vergleichen. Es ist also wieder Hilfreich das Volumen des Glas in cm3\text{cm}^3 umzurechnen:
%%\begin{array}{lcl}V_{Glas} & = & 0,5\:\text{l} \\& = & 500\text{cm}^3 \\\end{array}%%
  • Ist das berechnete Volumen "Apfelschorle ++ Eiswürfel" größer als VGlasV_{Glas}, läuft die Apfelschorle über.
  • Ist das das berechnete Volumen "Apfelschorle ++ Eiswürfel" kleiner als VGlasV_{Glas}, läuft die Apfelschorle nicht über.
Da 440cm3<500cm3440\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3 ist V5<VGlasV_5 < V_{Glas}. Die Apfelschorle laüft also bei 55 Eiswürfel noch nicht über.
Wenn Sina 77 Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle +7+\:7 Eiswürfel":
%%\begin{array}{lclcl}V_7 & = & V_{Apfelschorle} & + & 7\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 7\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 189\text{cm}^3 \\& = & 489\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Da 489cm3<500cm3489\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3 ist V7<VGlasV_7 < V_{Glas}. Die Apfelschorle läuft bei 77 Eiswürfel nicht über.
Wenn Sina 88 Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle +8+\:8 Eiswürfel":
%%\begin{array}{lclcl}V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 216\text{cm}^3 \\& = & 516\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Da 516cm3>500cm3516\text{cm}^3 > 500\text{cm}^3 ist V8>VGlasV_8 > V_{Glas}. Bei 88 Eiswürfel läuft die Apfelschorle über.
Sina kann somit höchstens 77 Eiswürfel in ihr Glas einschenken, ohne dass die Apfelschorle überläuft.
Es ist dir bestimmt schon aufgefallen, dass ähnlich wie bei einem Eisberg, ein Teil der Eiswürfel über der Oberfläche "schwimmt".
Dieser Anteil ist immer etwa gleich 88 % des Gesamtvolumen des Eiswürfels. Es sind dann nur 9292 % =0,92= 0,92 des Volumen tatsächlich "unterwasser", also:
%%\begin{array}{lcl}V_{Eiswürfel,unterwasser} & = & 0,92 \cdot V_{Eiswürfel} \\& = & 0,92 \cdot 27\text{cm}^3 \\& = & 24,82 \text{cm}^3 \\\end{array}%%
Da nur das Volumen "unterwasser" dafür Verantwortlich ist, dass der Pegel steigt, muss mit 24,82cm324,82\text{cm}^3 an Stelle der 27cm327\text{cm}^3 weiter gerechnet werden.
In diesem Fall ist:
%%\begin{array}{lclcl}V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel,unterwasser} \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 24,82\text{cm}^3 \\& = & 300\text{cm}^3 & + & 198,56\text{cm}^3 \\& = & 498,56\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Wenn also kein Eiswürfel von den anderen Eiswürfel "unterwasser" gedrückt wird und Sina sehr präzise die Eiswürfel in die Apfelschorle legt, passen sogar 88 Eiswürfel in ihr Glas.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Würfels

Tipp: Bei dieser Aufgabe ist es ausreichend, nur eine Kantenlänge bei jedem der 33 Würfel zu wissen, da Höhe, Breite und Länge eines Würfels immer gleich lang sind.

Volumen eines aus Quadern zusammengesetztem Körpers

In dieser Aufgabe wird das Volumen eines aus Quadern zusammengesetztem Körpers berechnet.
Der hier abgebildete Turm besteht aus 33 Würfel:
  • ein brauner Würfel mit Kantenlänge a1=4cma_1 = 4\text{cm}
  • ein blauer Würfel mit Kantenlänge a2=2cma_2 = 2\text{cm}
  • ein roter Würfel mit Kantenlänge a3=1cma_3 = 1\text{cm}
Die Volumina der 33 Würfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfel berechnen.
%%\begin{array}{lcl}V_{Würfel,braun} & = & a_1 \cdot a_1 \cdot a_1 \\& = & 4\text{cm} \cdot 4\text{cm} \cdot 4\text{cm} \\& = & 64\text{cm}^3 \\\end{array}%%
%%\begin{array}{lcl}V_{Würfel,blau} & = & a_2 \cdot a_2 \cdot a_2 \\& = & 2\text{cm} \cdot 2\text{cm} \cdot 2\text{cm} \\& = & 8\text{cm}^3 \\\end{array}%%
%%\begin{array}{lcl}V_{Würfel,rot} & = & a_3 \cdot a_3 \cdot a_3 \\& = & 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \\& = & 1\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Das Volumen des Turms kannst du ausrechnen, indem du die Volumina der Würfel zusammen addierst.
%%\begin{array}{lclclcl}V_{Turm} & = & V_{Würfel,braun} & + & V_{Würfel,blau} & + & V_{Würfel,rot} \\& = & 64\text{cm}^3 & + & 8\text{cm}^3 & + & 1\text{cm}^3 \\& = & 73\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Der Turm hat somit ein Volumen von 73cm373\text{cm}^3.
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