Aufgaben
Welches Volumen hat ein 4,5m4{,}5\, \mathrm{m} hohes Haus mit der Breite 4m4\, \mathrm{m} und der Länge 7m7\, \mathrm{m}, wenn das Dachgeschoss 2m2 \, \mathrm{m} hoch ist?
Haus im Bau

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma


V=?V=GhPrisma\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm V=?\\\mathrm V=\mathrm G\cdot h_\mathrm{Prisma}\end{array}
Der Blumenkasten ist ein Prisma. Deshalb brauchest du die Formel:
V=GhPrisma\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}
G=a+c2hTrapez\displaystyle \mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Trapez}
Die Höhe hPrismah_\mathrm{Prisma} ist 100cm, aber die Grundfläche hast du nicht in der Aufgabe angegeben. Die Grundfläche ist ein Trapez.Deshalb musst du diese Formel benutzen um die Grundfläche zu finden:
G=a+c2hTrapez\mathrm G=\frac{\mathrm a+\mathrm c}2\cdot h_\mathrm{Trapez}
G=20  cm+15  cm218  cm\mathrm G=\frac{20\;\mathrm{cm}+15\;\mathrm{cm}}2\cdot18\;\mathrm{cm}
G=35  cm  218  cm\mathrm G=\frac{35\;\mathrm{cm}\;}2\cdot18\;\mathrm{cm}
G=35182cm2\mathrm G=\frac{35\cdot18}2\mathrm{cm}^2
G=17,5  cm18  cm=315  cm2\mathrm G=17,5\;\mathrm{cm}\cdot18\;\mathrm{cm}=315\;\mathrm{cm}^2
V=GhPrisma\displaystyle \mathrm V=\mathrm G\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Prisma}
In diese Formel setzt du G=315  cm2\mathrm G=315\;\mathrm{cm}^2 und hprisma=100  cm  ein  .{\mathrm h}_\mathrm{prisma}=100\;\mathrm{cm}\;\mathrm{ein}\;.
V=315  cm2100  cmV=31500  cm3\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm V=315\;\mathrm{cm}^2\cdot100\;\mathrm{cm}\\\mathrm V=31500\;\mathrm{cm}^3\end{array}

Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) %%8\;\text{cm}%% hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist %%3\;\text{cm}%%.

Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?

Marmeladenglas

Volumenberechnung eines Prismas

Prisma, Sechseck

Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.

%%V=G\cdot h_P%%

Das ist die Volumenformel eines Prismas.

Hier ist %%h_P=8\,\text{cm}%% und die Grundfläche %%G%% ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge %%a=3\,\text{cm}%%.

Sechseck

Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.

Sechseck, Dreiecke

Warum sind die Dreiecke gleichseitig?

In einem Sechseck beträgt die Winkelsumme $$(6-2)\cdot 180° = 720°.$$ Da das Sechseck regulär ist, ist jeder Winkel gleich groß. Da %%\dfrac{720°}{6}=120°,%% handelt es sich um %%120°-%%Winkel.

Sechseck, Winkel

Im regelmäßigen Sechseck fallen die Diagonale und die Winkelhalbierende zusammen. Deshalb teilt eine Diagonale zwei gegenüberliegende %%120°-%%Winkel in jeweils zwei %%60°-%%Winkel.

Sechseck, Winkel, Diagonale

Zeichnet man alle Diagonalen ein, erhält man sechs Dreiecke.

Sechseck, Winkel, Diagonalen

Da in einem Dreieck die Winkelsumme %%180°%% beträgt, muss der letzte Winkel in jedem Dreieck auch %%60°=180°-2\cdot60°%% sein.

Sechseck, Diagonalen, Winkel

Damit sind in in einem Dreieck alle Winkel %%60°%% und deshalb sind die Dreiecke gleichseitig.

Dreieck

%%F=\dfrac{a\cdot h_D}{2}%%

Das ist die Flächenformel für das Dreieck.

%%h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}a%%

Mit dieser Formel kannst du die Höhe %%h_D%% im gleichseitigen Dreieck berechnen.

Herleitung der Formel

$$h_D^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=a^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras. Mit Umformen erhältst du:

$$h_D^2 = a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2.$$

Nun kannst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.

$$h_D = \sqrt{a^2- \left( \dfrac{a}{2} \right)^2}$$

Durch Vereinfachen erhältst du die oben genannte Formel.

$$h_D= \sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}= \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt3}{2}a$$

Wenn du %%a=3\,\text{cm}%% in die Formel einsetzt, ergibt sich:

$$h_D = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}$$

Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.

$$F=\dfrac{a\cdot h_D}{2}$$

$$=\dfrac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot3\,\text{cm}$$

$$\approx 3,897\,\text{cm}^2$$

Sechseck, Dreiecke, Höhe

Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche %%G%% berechnen.

$$G=6\cdot F$$

$$= 6\cdot 3,897\,\text{cm}^2$$

$$= 23,382 \,\text{cm}^2$$

Mit %%h_P=8\,\text{cm}%% ergibt sich für das Volumen des Prismas:

$$V=G\cdot h_P$$

$$= 23,382 \,\text{cm}² \cdot 8\,\text{cm}$$

%%= 187,056 \, \text{cm}^3%%

Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.

$$V=187,056\,\text{cm}^3= 187,056\,\text{ml} \approx 187\,\text{ml}$$

Antwort: In das Glas passen also etwa %%187\,\text{ml}%% Marmelade.

Kommentieren Kommentare