Hier findest du eine Auswahl an Aufgaben zur Volumenberechnung verschiedenster Körper - Pyramiden, Kegel, Quader, Rotationskörper und anderes.

Aufgaben

Berechne Volumen und Oberfläche, wenn der Körper jeweils die Höhe %%\mathrm h=5\;\mathrm{cm}%% hat:

  1. Prisma mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche, Schenkellänge %%3\;\mathrm{cm}%% und Basis %%2\;\mathrm{cm}%% .

  2. Zylinder mit Radius %%\mathrm r=3\;\mathrm{cm}%%

  3. Gerade Pyramide (alle Seitenkanten gleich lang) mit Quadrat der Kantenlänge %%24\;\mathrm{cm}%% als Grundfläche.

  4. Kegel mit Radius %%\mathrm r=3\;\mathrm{cm}%%

Volumen- und Oberflächenberechnung

1. Teilaufgabe: Berechnungen am Prisma

Volumen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\mathrm G\cdot\mathrm h\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;={\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}\cdot\mathrm h\end{array}%%

Allgemeine Volumenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem man den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks für die Grundfläche einsetzt.

%%\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot\mathrm{Basis}\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}\end{array}%%

Allgemeine Flächenformel des Dreiecks.

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Die Höhe des Dreiecks %%{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}%% kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

%%(\mathrm{h}_\mathrm{Dreieck})^2=\left(3\mathrm{cm}\right)^2-\left(1\mathrm{cm}\right)^2\\\Leftrightarrow{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}=\sqrt{8\mathrm{cm}^2}=\sqrt8\mathrm{cm}%%

Vereinfachen und ausrechnen

Einsetzen der bekannten Seitenlängen in die Gleichung für %%{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}%%

%%\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot2\mathrm c\mathrm m\cdot\sqrt8\mathrm{cm}\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\sqrt8\mathrm{cm}^2\end{array}%%

Zusammenfassen

Einsetzen in die Volumformel des Prismas

%%\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\sqrt8\mathrm{cm}^2\cdot5\mathrm{cm}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=5\sqrt8\mathrm{cm}^3\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx14,14\mathrm{cm}^3\end{array}%%

Ausrechnen

Runden auf zwei Nachkommerstellen

Oberflächeninhalt

%%{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot\mathrm G+\mathrm M%%

Allgemeine Oberflächenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem die man die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen addiert und für die Mantelfläche M einsetzt.

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%%\begin{array}{l}{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}+{\mathrm S}_1+{\mathrm S}_2+{\mathrm S}_3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot\sqrt8\mathrm{cm}^2+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(2\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sqrt8\mathrm{cm}^2+40\mathrm{cm}^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx45,66\;\mathrm{cm}^2\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Werte

Ausrechnen und runden auf zwei Nachkommastellen

Wie viel Brause passt in diese Riesenflasche?

An einem Hochhaus in der Chemnitzer Innenstadt wurde dieses Werbeplakat befestigt:

Brauseflasche

Stell dir vor, die Flasche auf dem Poster würde als geometrischer Körper tatsächlich existieren. Diese "Riesenflasche" wäre dann natürlich viel höher, breiter und tiefer als eine im Laden erhältliche Brauseflasche. Die Flasche aus dem Laden hat eine Höhe von ungefähr 23cm und ein Volumen von 0,33l.

Wie hoch unsere Riesenflasche ist, kannst du aus dem Bild ungefähr abschätzen. Vielleicht schaffst du das auch ohne Hilfe.

Hilfe

Die Riesenflasche hat eine Höhe, die ungefähr 9 Etagen des Hochhauses entspricht. Eine Etage ist ungefähr 2,7m hoch. Also dürfte die Riesenflasche ungefähr eine Höhe von 24m haben.

Berechne nun das ungefähre Volumen an Fassbrause in unserer Riesenflasche. Beachte dabei, dass es sich sowohl bei der Riesenflasche, als auch bei der kleinen Fasche um Körper handelt.

Wir wandeln zunächst die Höhe der kleinen Flasche in die Einheit Meter um, damit beide Höhen die gleiche Einheit haben.

$$23cm=0,23m$$

Nun dividieren wir die Höhe der Riesenflasche durch die Höhe der kleinen Flasche.

$$24m:0,23m=104$$

Da wir die Größe nur durch Abschätzen ermittelt haben, können wir unser Zwischenergebnis auch noch stärker runden. Unsere Riesenflasche ist also ungefähr 100 mal so hoch, wie eine kleine Brauseflasche.

Da es sich um Körper handelt, ist das Volumen der Riesnflasche demzufolge

$$100\cdot100\cdot100=1000000$$

mal so groß, wie das Volumen der kleinen Flasche.

Die Riesenflasche enthält also

$$1000000\cdot0,33l=330000l$$

Da wir die Maße teilweise abgeschätzt haben und wir außerdem in der Zwischenrechnung bereits stark gerundet haben, runden wir das Endergebnis ebenfalls nochmals.

Antwortsatz:

Die Riesenflasche würde ungefähr 300 000 Liter Brause enthalten.

Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst Dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt Dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!

  1. Nach Deiner Messung ist die Eistüte %%16\,\text{cm}%% hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von %%6\,\text{cm}%%. Wie viel Liter Eis befinden sich darin?

  2. Wie groß müsste Deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit %%1%% Liter Eis?

Eistüte mit Hand

Teilaufgabe 1

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius %%r%% und die Höhe %%h%% des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser: $$h=16\,\text{cm} \\ r = 6\,\text{cm} :2 = 3\,\text{cm}$$

Berechne damit nun das Volumen. $$V_{Eistüte}=\dfrac{1}{3} \pi r^2 h= \dfrac{1}{3} \pi \cdot (3 \, \mathrm{cm^3})^2 \cdot 16 \,\mathrm{cm} \approx 150,8 \,\mathrm{cm^3}$$

Umrechnen von %%\text{cm}^3%% in Liter

Für das Umrechnen von Litern gilt %%1\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3%% und %%1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3%%

Beides zusammen ergibt

$$1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3 \\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} = 1 \,\text{cm}^3$$

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.

$$V_{Eistüte}\approx 150,8 \,\text{cm}^3 = \dfrac{150,8}{1000} \,\text{l} = 0,1508 \,\text{l} \approx 0,15 \,\text{l}$$

In die Eistüte passen also etwa %%0,15%% Liter Eis.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst

  • das Verhältnis von %%r%% und %%h%% so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du %%r%% und %%h%% mit dem gleichen Faktor %%a%% multiplizieren, also %%r%% durch %%a\cdot r%% und %%h%% durch %%a \cdot h%% ersetzen.

  • das Verhältnis von %%r%% und %%h%% verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius %%3r%% und die halbe Höhe %%\dfrac{h}{2}%% nehmen.

Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du %%r%% und %%h%% kennst.

Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl %%a%%, die du noch nicht kennst.

Du musst %%a%% so wählen, dass das Volumen genau %%1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3%% ist, was zu folgender Gleichung führt: $$V_{\text{große Eistüte}} = \dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) = 1000 \,\text{cm}^3 = 1 \,\text{l}$$

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

$$\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\ \dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\ a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\text{Ersetze }r\text{ und } h \text{ durch die Werte aus Teil 1} \right. \\ a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\ a^3 & \approx & 6,63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\ a & \approx & 1,88& \end{array}$$

Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von %%0,15%% Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf %%1%% Liter zu erhöhen!

Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A.

Berechne das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.

7673_uroG79JEPo.xml

%%{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}-\;{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}+\;{\mathrm V}_\mathrm{Kegel}%%

Durch die Rotation entsteh ein Kegel auf einem großen Zylinder, aus dem ein Kleinerer ausgeschnitten wurde.

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{Kegel}\;}=\frac13\cdot\;({\mathrm r}_\mathrm{Kegel})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Kegel}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\;\cdot\;(2\mathrm a)^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\cdot4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac43\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Kegels

Auflösen der Klammer

Zusammenfassen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}})^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(2\mathrm a)^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders

Auflösen der Klammer

Zusammenfassen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^3\;\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders

Zusammenfassen

Zusammenführen aller Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;-\;\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;+\;\frac43\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\frac13\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Zusammenfassen

Wähle die richtigen Antworten aus.

Was passiert wenn sich die Seitenlänge eines Würfels verdoppelt?

Leider falsch, schau dir nochmal die Volumenformel an.

Leider falsch, denke nochmal nach. Kann das stimmen?

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Würfel

Volumen

$$V_{Würfel} = G \cdot h = a \cdot a \cdot a = a^3$$

Setze statt %%a%% nun %%2a%% ein.

$$V_{WürfelNeu} = (\mathrm{2a})^3 = 2^3\cdot a^3 = 8a^3$$

Das Volumen hat sich also verachtfacht.

Grundfläche: Quadrat

Die Grundfläche eines Würfels ist ein Quadrat mit Seitenlänge %%a%%.

$$A_{Quadrat} = a \cdot a = a^2$$

Setze statt %%a%% nun %%2a%% ein.

$$A_{QuadratNeu} = (2a) \cdot (2a) = 4a^2$$

Der Flächeninhalt hat sich also vervierfacht.

Wie rechnest du geschickt das Volumen eines Kegels aus, wenn du den Radius und die Höhe in verschiedenen Einheiten gegeben hast?

Leider falsch. Sieh dir nochmal die Volumenformeln an, da fehlt noch etwas.

Erst denken, dann machen ;-)

Benötigst du wirklich den Umfang?

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

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