Aufgaben

Berechne durch geschicktes Aufteilen das Volumen des gegebenen Körpers.

Bild Quader

Zerteile zuerst den Körper in Quader.

Quader

Berechne nun jeweils das Volumen der einzelnen Quader.

Oberster Quader: %%V_{\text{Quader oben}} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=36\text{ cm}^3%%

Mittlerer Quader: %%V_{\text{Quader Mitte}} = 11\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=132\text{ cm}^3%%

Unterer Quader: %%V_\text{Quader unten} = 3\text{ cm}\cdot4\text{ cm}\cdot 2\text{ cm=24} \text{ cm}^3%%

Jetzt musst du nur noch alle Volumen miteinander addieren.

%%V_\text{gesamt} = 36\text{ cm}^3+132\text{ cm}^3+24\text{ cm}^3=192\text{ cm}^3%%

Berechne durch geschicktes Aufteilen das Volumen des gegebenen Körpers. Gib das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma gerundet OHNE Größeneinheit an!

Zylinder

Berechne als Erstes einen der Zylinder.

%%(2\text{ cm})^2\cdot\pi\cdot3\text{ cm}\approx37,7\text{ cm}^3%%

Berechne nun den Quader.

%%13\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=156\text{ cm}^3%%

Nun musst du nur noch dreimal den Zylinder mit dem Quader addieren.

%%3\cdot37,7\text{ cm}^3+156\text{cm}^3\approx269.1\text{ cm}^3%%

Berechne das Volumen des folgenden Körpers durch geschicktes Aufteilen in Quader.

quader

Teile den Körper zuerst in 4 Quader ein.

quader

Rechne nun das Volumen des untersten Quaders aus.

%%5\text{ cm}\cdot6\text{ cm}\cdot3\text{ cm}=90\text{ cm}^3%%

Rechne jetzt den roten Quader aus.

%%15\text{ cm}\cdot 6\text{ cm}\cdot2\text{ cm}=180\text{ cm}^3%%

Rechne nun eines der zwei grünen Quader aus.

%%6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot4\text{ cm}=96\text{ cm}^3%%

Jetzt musst du nur noch alle Quader zusammenrechnen. Allerdings musst du den grünen Quader zweimal nehmen.

%%90\text{ cm}^3+180\text{ cm}^3+2\cdot96\text{ cm}^3=462\text{ cm}%%

Welches Volumen hat ein %%4{,}5\, \mathrm{m}%% hohes Haus mit der Breite %%4\, \mathrm{m}%% und der Länge %%7\, \mathrm{m}%%, wenn das Dachgeschoss %%2 \, \mathrm{m}%% hoch ist?

Volumenberechnung

Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:

  • Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
  • oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).

In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Gegeben:
Länge des Quaders = %%7\, \mathrm{m}%%
Breite des Quaders = %%4\, \mathrm{m}%%

Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.

Höhe des Quaders = ?

Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses (%%4{,}5 \, \mathrm{m}%%) die Höhe des Dachs (%%2 \, \mathrm{m}%%) abziehst.

Höhe des Quaders = %%4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}%%

Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.

%%V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Prismas (Dach)

Gegeben:
Länge des Dachs = %%7 \, \mathrm{m}%%
Breite des Dachs = %%4 \, \mathrm{m}%%
Höhe des Dachs = %%2 \, \mathrm{m}%%

Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.

%%G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}%%

Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.

%%V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}%%

Gesamtvolumen des Hauses

%%V_\text{Haus} = \ldots ?%%

Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

%%V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}%%

Antwort: Das Haus hat ein Volumen von %%98\, \mathrm{m^3}%%.

In Nîmes in Frankreich steht einer der am besten erhaltenen römischen Tempel, die Maison Carrée. Berechne das Volumen des Tempels mit den zehn %%0,8\, \mathrm{m}%% breiten Säulen mithilfe des Modells.

Maison Carrée

Tempel Modell

Tempel Modell

Der Tempel besteht aus einem dreiseitigen Prisma (Dach), drei Quadern und zehn Zylindern.

Volumen des Daches

Tempel Dach Prisma

Das Dach ist ein liegendes Prisma.

Dach Tempel

Die Grundfläche davon ist ein Dreieck und die Prismahöhe ist %%22 \, \mathrm{m}%%

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Prismen.

%%V_\text{Dach} = G_\text{Prisma} \cdot h_\text{Prisma}%%

Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundlinie der Länge %%13,5\, \mathrm{m}%% und der Dreieckshöhe %%2\, \mathrm{m}%%

%%= \left(\dfrac12 \cdot 13,5\, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m}\right) \cdot h_\text{Prisma}%%

Die Höhe des Prismas ist %%22\, \mathrm{m}%%

%%= \left(\dfrac12 \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 2\, \mathrm{m}\right) \cdot 22\, \mathrm{m} = 13,5 \, \mathrm{m^2} \cdot 22 \, \mathrm{m} = 297 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Quaders unter dem Dach

Tempel Dach Quader

Das Dach liegt auf einem Quader.

Dach Teil 2 Tempel

Er ist %%13,5 \, \mathrm{m}%% breit, %%22 \, \mathrm{m}%% lang und %%2 \, \mathrm{m}%% hoch.

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.

%%V_\text{Quader unter Dach} = l \cdot b \cdot h = 22 \, \mathrm{m} \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 594 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Tempelraumes

Tempelraum Quader

Der Tempelraum ist ein Quader.

Quader

Er ist %%13,5 \, \mathrm{m}%% breit, %%15 \, \mathrm{m}%% lang und %%10 \, \mathrm{m}%% hoch.

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.

%%V_\text{Tempelraum} = l\cdot b \cdot h = 15 \, \mathrm{m} \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 10 \, \mathrm{m} = 2025 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Sockels

Tempel Sockel Quader

Der Sockel des Tempels ist ein Quader.

Sockel Tempel

Er ist %%13,5\, \mathrm{m}%% breit, %%26,5 \, \mathrm{m}%% lang und %%3\, \mathrm{m}%% hoch.

Berechne das Volumen mit der Volumenformel für Quader.

%%V_\text{Sockel} = l \cdot b \cdot h = 26,5 \, \mathrm{m} \cdot 13,5 \, \mathrm{m} \cdot 3 \, \mathrm{m} = 1073,25 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen der Säulen

Tempel Säulen Zylinder

Die Säulen sind Zylinder.

Tempel Säule

Der Durchmesser ist %%0,8 \, \mathrm{m}%% und sie sind %%10 \, \mathrm{m}%% hoch.

Berechne das Volumen einer Säule mit der Volumenformel für Zylinder.

%%V_\text{eine Säule} = G \cdot h = r^2 \cdot \pi \cdot h%%

Der Durchmesser ist %%0,8 \, \mathrm{m}%%, also ist der Radius %%\dfrac12 \cdot 0,8\, \mathrm{m} = 0,4 \, \mathrm{m}%%

%%= (0,4 \, \mathrm{m})^2 \cdot \pi \cdot 10 \, \mathrm{m} = 1,6 \, \mathrm{m^3} \cdot \pi \approx 5,03 \, \mathrm{m^3}%%

Berechne nun das Volumen für alle zehn Säulen.

%%V_\text{Säulen} = 10 \cdot V_\text{eine Säule} = 10 \cdot 5,03 \, \mathrm{m^3} = 50,3 \mathrm{m^3}%%

Gesamtvolumen des Tempels

Um das gesamte Volumen des Tempels auszurechnen, addiert man nun noch die einzelnen Teile

%%V_\text{Tempel} = V_\text{Dach} + V_\text{Quader unter Dach} + V_\text{Tempelraum} + V_\text{Sockel} + V_\text{Säulen}\\ = 297 \, \mathrm{m^3} + 594 \, \mathrm{m^3}+ 2025\, \mathrm{m^3}+ 1073,25 \, \mathrm{m^3}+ 50,3\, \mathrm{m^3} = 4039,55 \, \mathrm{m^3} %%

Lösung: Der Tempel hat ein Volumen von %%4039,55 \, \mathrm{m^3}%%

Berechne das Volumen des E-förmigen Körpers

Bild: Volumen des Körpers E

Volumenberechnung bei zusammengesetzten Körpern

Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, kann man zum Beispiel zuerst das Volumen des kompletten Quader mit Länge %%5 \mathrm{cm}%%, Breite %%2 \mathrm{cm}%% und Höhe %%7 \mathrm{cm}%% berechnen. Davon zieht man dann die Lücken noch ab.

Volumen des Großen Quaders:

%%\begin{array}{lcl} V_\text{Quader groß} & = & 5\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 7\ \mathrm{cm} \\ & = & 70\ \mathrm{cm}^3 \\ \end{array}%%

Volumen einer Lücke:

%%\begin{array}{lcl} V_\text{Lücke} & = & 3\ \mathrm{cm} \cdot 2\ \mathrm{cm} \cdot 1,4\ \mathrm{cm} \\ & = & 8,4\ \mathrm{cm}^3 \\ \end{array}%%

Volumen des Körpers:

%%\begin{array}{lclclcl} V_\text{Körper} & = & V_\text{Quader groß} & - & V_\text{Lücke} & - & V_\text{Lücke} \\ & = & 70\ \mathrm{cm}^3 & - & 8,4\ \mathrm{cm}^3 & - & 8,4\ \mathrm{cm}^3 \\ & = & 53,2\ \mathrm{cm}^3 \\ \end{array}%%

Der Körper hat also ein Volumen von %%53,2\ \mathrm{cm}^3%%.

Sina mag ihre Apfelschorle schön kalt und möchte daher so viele Eiswürfel wie möglich in ihrem Glas.
Im Glas passen %%0,5\:\text{l}%%. Die Eiswürfel sind alle Würfel der Kantenlänge %%a = 3\text{cm}%%. In das Glas befinden sich genau %%0,3\:\text{l}%% Apfelschorle.

Wie viele Eiswürfel passen höchstens in das Glas, ohne dass die Apfelschorle überläuft?

Nimm dafür an, dass das gesamte Volumen der eingeschenkten Eiswürfel "Unterwasser" liegt.

Apfelschorle

Volumen zusammengesetzter Quader

Das Volumen der Mischung "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" erhöht sich bei jedem Eiswürfel der dazugeschenkt wird. Du sollst bei dieser Aufgabe herausfinden wie viele Eiswürfel ins Glas passen, ohne dass die Apfelschorle überläuft.
Die Apfelschorle überläuft wenn das Volumen der Mischung "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" größer ist als das Gesamtvolumen des Glas %%(0,5\:\text{l})%%.

Einschenken eines Eiswürfel

Die Eiswürfel sind jeweils Würfel der Kantenlänge %%a = 3\text{cm}%%. Das Volumen eines Eiswürfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfels berechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_{Eiswürfel} & = & a\cdot a\cdot a \\ & = & 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\ & = & 27\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Um das Volumen "Apfelschorle %%+%% %%1%% Eiswürfel" auszurechnen, ist es Hilfreich das Volumen der Apfelschorle von %%\text{l}%% in %%\text{cm}^3%% umzurechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_{Apfelschorle} & = & 0,3\:\text{l} \\ & = & 300\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Nun kannst du das Volumen "Apfelschorle %%+\:1%% Eiswürfel" berechnen:

%%\begin{array}{lclcl} V_1 & = & V_{Apfelschorle} & + & V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 27\text{cm}^3 \\ & = & 327\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Maximale Anzahl der Eiswürfel

Wenn Sina zum Beispiel %%5%% Eiswürfel einschenkt, kannst du das Volumen "Apfelschorle %%+\:5%% Eiswürfel" wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lclcl} V_5 & = & V_{Apfelschorle} & + & 5\cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 5\cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 140\text{cm}^3 \\ & = & 440\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Wie kannst du nun wissen wie viele Eiswürfel Sina höchstens einschenken kann?
Dafür musst du das berechnete Volumen mit dem Gesamtvolumen des Glas vergleichen. Es ist also wieder Hilfreich das Volumen des Glas in %%\text{cm}^3%% umzurechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_{Glas} & = & 0,5\:\text{l} \\ & = & 500\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

  • Ist das berechnete Volumen "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" größer als %%V_{Glas}%%, läuft die Apfelschorle über.
  • Ist das das berechnete Volumen "Apfelschorle %%+%% Eiswürfel" kleiner als %%V_{Glas}%%, läuft die Apfelschorle nicht über.

Da %%440\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3%% ist %%V_5 < V_{Glas}%%. Die Apfelschorle laüft also bei %%5%% Eiswürfel noch nicht über.

Wenn Sina %%7%% Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle %%+\:7%% Eiswürfel":

%%\begin{array}{lclcl} V_7 & = & V_{Apfelschorle} & + & 7\cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 7\cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 189\text{cm}^3 \\ & = & 489\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Da %%489\text{cm}^3 < 500\text{cm}^3%% ist %%V_7 < V_{Glas}%%. Die Apfelschorle läuft bei %%7%% Eiswürfel nicht über.

Wenn Sina %%8%% Eiswürfel einschenkt ist das Volumen "Apfelschorle %%+\:8%% Eiswürfel":

%%\begin{array}{lclcl} V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 216\text{cm}^3 \\ & = & 516\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Da %%516\text{cm}^3 > 500\text{cm}^3%% ist %%V_8 > V_{Glas}%%. Bei %%8%% Eiswürfel läuft die Apfelschorle über.

Sina kann somit höchstens %%7%% Eiswürfel in ihr Glas einschenken, ohne dass die Apfelschorle überläuft.

Wie sieht es aus wenn du nicht annimmst, dass das Gesamtvolumen der Eiswürfel "unterwasser" liegt?

Es ist dir bestimmt schon aufgefallen, dass ähnlich wie bei einem Eisberg, ein Teil der Eiswürfel über der Oberfläche "schwimmt".

Dieser Anteil ist immer etwa gleich %%8%% % des Gesamtvolumen des Eiswürfels.
Es sind dann nur %%92%% % %%= 0,92%% des Volumen tatsächlich "unterwasser", also:

%%\begin{array}{lcl} V_{Eiswürfel,unterwasser} & = & 0,92 \cdot V_{Eiswürfel} \\ & = & 0,92 \cdot 27\text{cm}^3 \\ & = & 24,82 \text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Da nur das Volumen "unterwasser" dafür Verantwortlich ist, dass der Pegel steigt, muss mit %%24,82\text{cm}^3%% an Stelle der %%27\text{cm}^3%% weiter gerechnet werden.

In diesem Fall ist:

%%\begin{array}{lclcl} V_8 & = & V_{Apfelschorle} & + & 8\cdot V_{Eiswürfel,unterwasser} \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 8\cdot 24,82\text{cm}^3 \\ & = & 300\text{cm}^3 & + & 198,56\text{cm}^3 \\ & = & 498,56\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Wenn also kein Eiswürfel von den anderen Eiswürfel "unterwasser" gedrückt wird und Sina sehr präzise die Eiswürfel in die Apfelschorle legt, passen sogar %%8%% Eiswürfel in ihr Glas.

In der nebenstehenden Skizze wurde aus %%3%% würfelförmigen Bauklötzen ein Turm gebaut.
Berechne das Volumen des Turms.

Würfelturm

Volumen eines aus Quadern zusammengesetztem Körpers

In dieser Aufgabe wird das Volumen eines aus Quadern zusammengesetztem Körpers berechnet.

Der hier abgebildete Turm besteht aus %%3%% Würfel:

  • ein brauner Würfel mit Kantenlänge %%a_1 = 4\text{cm}%%
  • ein blauer Würfel mit Kantenlänge %%a_2 = 2\text{cm}%%
  • ein roter Würfel mit Kantenlänge %%a_3 = 1\text{cm}%%

Die Volumina der %%3%% Würfel kannst du mit Hilfe der Formel für das Volumen eines Würfel berechnen.

%%\begin{array}{lcl} V_{Würfel,braun} & = & a_1 \cdot a_1 \cdot a_1 \\ & = & 4\text{cm} \cdot 4\text{cm} \cdot 4\text{cm} \\ & = & 64\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

%%\begin{array}{lcl} V_{Würfel,blau} & = & a_2 \cdot a_2 \cdot a_2 \\ & = & 2\text{cm} \cdot 2\text{cm} \cdot 2\text{cm} \\ & = & 8\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

%%\begin{array}{lcl} V_{Würfel,rot} & = & a_3 \cdot a_3 \cdot a_3 \\ & = & 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \\ & = & 1\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Das Volumen des Turms kannst du ausrechnen, indem du die Volumina der Würfel zusammen addierst.

%%\begin{array}{lclclcl} V_{Turm} & = & V_{Würfel,braun} & + & V_{Würfel,blau} & + & V_{Würfel,rot} \\ & = & 64\text{cm}^3 & + & 8\text{cm}^3 & + & 1\text{cm}^3 \\ & = & 73\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Der Turm hat somit ein Volumen von %%73\text{cm}^3%%.

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