Aufgaben

Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.

Umfang 7cm

Umfang %%U=7\,\mathrm{cm}%%

Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.

%%U=2\cdot r\cdot\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%r=\frac{\mathrm U}{2\cdot\mathrm\pi}%%

Setze den Umfang ein.

%%r=\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}%%

%%\approx1,114\,\mathrm{cm}%%

Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%V=\frac43\cdot\left(\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}\right)^3\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{7^3}{6\cdot\pi^2}\,\mathrm{cm^3}%%

%%\approx5,792\,\mathrm{cm^3}%%

Oberfläche %%10\mathrm{cm}^2%%

Oberfläche %%O=10\mathrm{cm}^2%%

Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.

%%O=4r^2\mathrm\pi%%

%%\left|:4\mathrm\pi\right.%%

%%r^2=\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}%%

%%r=\sqrt{\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}}%%

Setze die Oberfläche ein.

%%r=\sqrt{\frac{10\mathrm{cm}^2}{4\mathrm\pi}}%%

%%\approx0,8921\,\mathrm{cm}%%

Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%V=\frac43\cdot\left(\sqrt{\frac{5\mathrm{cm}^2}{2\mathrm\pi}}\right)^3\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{5{\sqrt{\frac{10}\pi}}}3\mathrm{cm^3}%%

%%\approx2,974\mathrm{cm^3}%%

Berechne mit den gegebenen Informationen die Oberfläche der Kugel.

Volumen %%10\mathrm{cm}^3%%

Volumen %%V=10\mathrm{cm}^3%%

Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf.

%%V=\frac43\cdot r^3\cdot\mathrm\pi%%

%%\left|:\left(\frac43\mathrm\pi\right)\right.%%

%%r^3=\frac{V\cdot3}{4\cdot\mathrm\pi}%%

Ziehe die Kubikwurzel %%\sqrt[3]\;%%.

%%r=\sqrt[3]{\frac{V\cdot3}{4\cdot\mathrm\pi}}%%

Setze das Volumen ein.

%%r=\sqrt[3]{\frac{10\,cm^3\cdot3}{4\cdot\mathrm\pi}}%%

%%\approx1,3365\,cm%%

Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%O\approx4\cdot\left(1,3365\,cm\right)^2\cdot\mathrm\pi%%

%%\approx22,446\,cm^2%%

Umfang 7cm

Umfang %%U=7\,cm%%

Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.

%%U=2\cdot r\cdot\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%r=\frac U{2\cdot\mathrm\pi}%%

Setze den Umfang ein.

%%r=\frac{7\,cm}{2\cdot\mathrm\pi}%%

%%\approx1,1141cm%%

Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.

%%O=4\cdot\left(\frac{7\,cm}{2\cdot\mathrm\pi}\right)^2\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{7^2}\pi\mathrm{cm^2}%%

%%\approx15,597\,\mathrm{cm^2}%%

Berechne mit den gegebenen Informationen den Umfang der Kugel.

Oberfläche %%10\mathrm{cm}^2%%

%%O=4\,r^2\,\pi%%

%%\left|{:\pi\;\left|{:4}\right.}\right.%%

%%\frac O{4\pi}=r^2%%

%%\left|\sqrt\;\right.%% Ziehe die Wurzel, um den Radius zu erhalten.

%%r=\sqrt{\frac O{4\pi}}%%

Setze den Wert der Oberfläche ein.

%%r=\sqrt{\frac{10\mathrm{cm}^2}{4\pi}}%%

 

%%=\sqrt{\frac{5}{2\pi}}\mathrm{cm}\approx0,892\mathrm{cm}%%

 

%%U=2\mathrm{π}\cdot r%%

Füge den Radius %%\sqrt{\frac{10}{4\pi}}\mathrm{cm}%% ein.

%%U=2\pi\cdot\sqrt{\frac{10}{4\pi}}\mathrm{cm}%%

 

%%\approx5,60\,\mathrm{cm}%%

Volumen %%10\mathrm{cm}^3%%

Volumen %%V=10\,\mathrm{cm}^3%%

Stelle die Formel zur Volumenberechnung der Kugel auf.

%%V=\frac43\cdot r^3\cdot\mathrm\pi%%

%%\left|:\frac43\mathrm\pi\right.%%

%%r^3=\frac{V\cdot3}{4\cdot\mathrm\pi}%%

Ziehe die Kubikwurzel %%\sqrt[3]\;%%.

%%r=\sqrt[3]{\frac{V\cdot3}{4\cdot\mathrm\pi}}%%

Setze das gegebene Volumen ein.

%%r=\sqrt[3]{\frac{10cm^3\cdot3}{4\cdot\mathrm\pi}}%%

%%\approx1,3365\,cm%%

Berechne den Umfang %%\left(U=2\pi\cdot r\right)%% .

%%U\approx2\pi\cdot1,3365\,cm%%

%%\approx8,397\,cm%%

Der Durchmesser einer Murmel ist %%42 \text{ mm}%%. Wie groß ist ihr Volumen?

Murmel

%%V=\dfrac{4}{3}r^3\pi%%

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser berechnen.

%%r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{42}{2}\text{ mm}= 21 \text{ mm}%%

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

%%V=\dfrac{4}{3}\cdot(21\text{ mm})^3\cdot\pi%%

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

%%=\dfrac{4}{3}\cdot9261\cdot\pi \text{ mm}^3%%

%%=12348\cdot\pi\cdot\text{ mm}^3%%

%%=38792,386…\text{ mm}^3%%

Zum Schluss rundest du noch.

%%\approx 38792 \text{ mm}^3%%

Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter (%%\text{cm}^3%%) schreiben.

%%=38,792 \text{ cm}^3%%

Die menschliche Lunge besteht aus annähernd kugelförmigen Lungenbläschen. In einer Lunge finden sich ca. %%300.000.000%% (%%300%% %%Millionen%%) Bläschen. Über die Oberfläche dieser Bläschen nimmt der menschliche Organismus Sauerstoff aus der Luft auf. Wenn wir ausatmen, hat ein Lungenbläschen einen Durchmesser von %%50 \hspace{0,1cm} \mu m%%. Wenn wir einatmen, blähen sie sich auf und erreichen einen Durchmesser von %%250\hspace{0,1cm} \mu m%%.

Berechne die Oberfläche und das Volumen eines einzelnen Lungenbläschens beim Aus- und beim Einatmen.

Wandle dazu die Einheiten in %%m%% um, so dass du für die Oberfläche und das Volumen auf Werte in %%m^2%% und %%m^3%% kommst.

Umrechnung der Einheiten in Meter

Damit du in den späteren Teilaufgaben einfacher weiterrechnen kannst, rechnest du am Besten zuerst die Einheiten von %%\mu m%% in %%m%% um.

%%\displaystyle{d_{leer} = 50 \hspace{0,1cm} \mu m = 0,000050\hspace{0,1cm}m}%%

%%d_{voll}=250\;\mu m=0,000250\;m%%

Berechne nun die Radien eines Lungenbläschens.

Berechnung der Oberfläche und des Volumens

  • %%\displaystyle{r_{leer} = d_{leer}:2 = 0,000025\hspace{0,1cm}m}%%

  • %%\displaystyle{r_{voll} = d_{voll}:2= 0,000125\hspace{0,1cm}m}%%

Stelle die Formeln für die Oberflächeninhalte und die Volumen auf.

  • %%\displaystyle{O_{leer} = 4 \pi \cdot r_{leer}^2}%%
  • %%\displaystyle{O_{voll} = 4 \pi \cdot r_{voll}^2}%%
  • %%\displaystyle{V_{leer} = \frac{4}{3} \pi \cdot r_{leer}^3}%%
  • %%\displaystyle{V_{voll} = \frac{4}{3} \pi \cdot r_{voll}^3}%%

Setze die Werte ein und multipliziere aus!

%%\Rightarrow O_{leer}=4\pi\cdot r_{leer}^2=4\pi\cdot(0,000025\;m)^2\;\approx\;7,85\cdot10^{-9}\;\hspace{0,1cm}m^2%% %%\Rightarrow O_{leer}=4\pi\cdot r_{leer}^2=4\pi\cdot(0,000125\hspace{0,1cm}m)^2\approx\;1,96\cdot10^{-7}\;\hspace{0,1cm}m^2%% %%\Rightarrow {V_{leer}=\frac43\pi\cdot r_{leer}^3=\frac43\pi\cdot(0,000025\hspace{0,1cm}m)^3}\;\approx\;6,54\cdot10^{-14}\;\hspace{0,1cm}m^3%% %%\Rightarrow{V_{voll}=\frac43\pi\cdot r_{voll}^3=\frac43\pi\cdot(0,000125\hspace{0,1cm}m)^3}\approx\;8,18\cdot10^{-12}\hspace{0,1cm}m^3%%

Für das leere Lungenbläschen beim Ausatmen ergibt sich in etwa eine Oberfläche von %%7,85 \cdot 10^{-9}\hspace{0,1cm}m^2%% und ein Volumen von %%6,54 \cdot 10^{-14}\hspace{0,1cm}m^3%%.

Für das volle Lungenbläschen beim Einatmen ergibt sich eine Oberfläche von circa %%1,96\cdot 10^{-7}\hspace{0,1cm}m^2%% und ein Volumen von %%8,18 \cdot 10^{-12}\hspace{0,1cm}m^3%%.

Berechne das Volumen und die Oberfläche aller Bläschen zusammen beim Aus- und Einatmen.

Berechnung des gesamten Oberflächeninhalts und des Gesamtvolumens

Du hast das Volumen und den Oberflächeninhalt eines einzelnen Bläschens beim Ein- und Ausatmen bereits in der Teilaufgabe a) berechnet. Die Anzahl der Lungenbläschen in der Lunge ist gegeben. Damit kannst du die Formel für das gesamte Volumen und den gesamten Oberflächeninhalt aufstellen.

Du kannst die gesamte Oberfläche mit %%O_{ges,leer}%% und %%O_{ges,voll}%% bezeichnen. Das gesamte Volumen kannst du mit %%V_{ges, leer}%% und %%V_{ges, voll}%% bezeichnen.

  • %%\displaystyle{O_{ges,leer}=300.000.000 \cdot O_{leer}}%%
  • %%\displaystyle{O_{ges,voll}=300.000.000 \cdot O_{voll}}%%
  • %%\displaystyle{V_{ges,leer}=300.000.000 \cdot V_{leer}}%%
  • %%\displaystyle{V_{ges,voll}=300.000.000 \cdot V_{voll}}%%

Durch das Einsetzen der Werte erhältst du:

  • %%O_{ges,leer}\approx300.000.000\cdot7,85\cdot10^{-9}\hspace{0,1cm}m^2\approx 2,36\hspace{0,1cm}m^2%%
  • %%O_{ges,voll}\approx300.000.000\cdot1,96\cdot10^{-7}\hspace{0,1cm}m^2\approx 58,8\hspace{0,1cm}m^2%%
  • %%V_{ges,leer}\approx300.000.000\cdot6,54\cdot10^{-14}\hspace{0,1cm}m^3 \approx1,96\cdot10^{-5}\hspace{0,1cm}m^3=0,0196l=19,6ml%%
  • %%V_{ges,voll}\approx300.000.000\cdot8,18\cdot10^{-12}\hspace{0,1cm}m^3\approx2,45\cdot10^{-3}\hspace{0,1cm}m^3=2,45\hspace{0,1cm}l%%

Der gesamte Oberflächeninhalte aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen circa %%2,36\hspace{0,1cm}m^2%% und beim Einatmen %%58,8 \hspace{0,1cm}m^2%%.

Das gesamte Volumen aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen in etwa %%19,6\hspace{0,1cm}ml%% und beim Einatmen %%2,45\hspace{0,1cm}l%%.

Wie groß müsste der Radius einer einzelnen Kugel sein, die dasselbe Volumen hat wie alle Bläschen zusammen? Unterscheide dabei wieder das Ein- und Ausatmen! Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?

Radius einer Kugel mit demselben Volumen

Du kennst das gesamte Volumen aller Bläschen aus der Teilaufgabe b). Versuche nun die Formel für das Kugelvolumen nach der gesuchten Größe %%r%% umzustellen!

%%\displaystyle{V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3 \hspace{2cm} |\cdot \frac{3}{4}}%%

%%\displaystyle{\frac{3}{4} \cdot V = \pi \cdot r^3 \hspace{1,65cm} |:\pi}%%

%%\displaystyle{\frac{3V}{4 \pi}=r^3 \hspace{2,5cm} |\sqrt[3]{\hspace{0,3cm}}}%%

%%\displaystyle{r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}}%%

Setze anschließend die Werte von den Volumen beim Ein- und Ausatmen ein. Du kannst den Radius der Kugel mit dem Volumen vom Ausatmen %%r_{v,ges,leer}%% und mit dem Volumen vom Einatmen %%r_{v,ges,voll}%% nennen.

  • %%r_{v,ges,leer}=\sqrt[3]{\frac{3V_{ges,leer}}{4\pi}}\approx\sqrt[3]{\frac{3\cdot(1,96\cdot10^{-5}\hspace{0,1cm}m^3)}{4\pi}}\approx0,0167\hspace{0,1cm}m=1,67\hspace{0,1cm}cm%%
  • %%r_{v,ges,voll}=\sqrt[3]{\frac{3V_{ges,voll}}{4\pi}}\approx\sqrt[3]{\frac{3\cdot(2,45\cdot10^{-3}\hspace{0,1cm}m^3)}{4\pi}}\approx0,0836\hspace{0,1cm}m=8,36\hspace{0,1cm}cm%%

Die Kugeln beim Ein- und Ausatmen mit demselben Volumen wie alle Lungenbläschen zusammen hätten einen Radius von %%r_{v,ges,leer} = 1,67\hspace{0,1cm}cm%% und %%r_{v,ges,voll} =8,36\hspace{0,1cm}cm%%.

Oberfläche dieser Kugel

Für den Oberflächeninhalt dieser Kugel musst du nun noch diese Radien in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzen und berechnen:

  • %%O_{v,ges,leer}=4\pi(r_{v,ges,leer})^2\approx4\pi\cdot(0,0167\hspace{0,1cm}m)^2\approx3,50\cdot10^{-3}\hspace{0,1cm}m^2%%
  • %%O_{v,ges,voll}=4\pi(r_{v,ges,voll})^2\approx4\pi\cdot(0,0836\hspace{0,1cm}m)^2\approx0,0878\hspace{0,1cm}m^2=8,78\cdot10^{-2}\hspace{0,1cm}m^2%%

Eine Kugel mit dem Radius %%r_{v,ges,leer}%% hätte eine Oberfläche mit %%3,5 \cdot 10^{-3} \hspace{0,1cm} m^2%% und eine Kugel mit dem Radius %%r_{v,ges,voll}%% hätte die Oberfläche %%8,78 \cdot 10^{-2} \hspace{0,1cm} m^2%%.

Wie groß müsste der Radius einer einzelnen Kugel sein, die dieselbe Oberfläche hat wie alle Bläschen zusammen? Unterscheide dabei wieder das Ein- und Ausatmen!

Radius einer Kugel mit demselben Oberflächeninhalt

Analog zur Teilaufgabe c) stellst du die Formel für den Kugeloberflächeninhalt nach %%r%% um.

%%O= 4 \pi \cdot r^2 \hspace{2cm} |:4 \pi%%

%%\displaystyle{\frac{O}{4\pi} = r^2 \hspace{2,2cm} |\sqrt{\hspace{0,3cm}}}%%

%%\displaystyle{r_1 = \sqrt{\frac{O}{4 \pi}}}%%

%%\displaystyle{r_2 =- \sqrt{\frac{O}{4 \pi}}}%%

Anschließend setzt du wieder die Werte aus der Teilaufgabe b) ein. Wir nennen den Radius der Kugel mit der Oberfläche beim Ausatmen %%r_{o,ges,leer}%% und beim Einatmen %%r_{o,ges,voll}%%.

%%r_2%% ist für uns irrelevant, da der Radius nur positive Werte annehmen kann. Im Folgenden wird daher nur die Formel für %%r_1%% benutzt.

  • %%\displaystyle{r_{o,ges,leer}=\sqrt{\frac{O_{ges,leer}}{4\pi}}\approx\sqrt{\frac{2,36\hspace{0,1cm}m^2}{4\pi}}\approx0,433\hspace{0,1cm}m=43,3\hspace{0,1cm}cm}%%

  • %%\displaystyle{r_{o,ges,voll}=\sqrt{\frac{O_{ges,voll}}{4\pi}}\approx\sqrt{\frac{58,8\hspace{0,1cm}m^2}{4\pi}}\approx2,16\hspace{0,1cm}m}%%

Der Radius einer Kugel mit demselben Oberflächeninhalt wie alle Lungenbläschen zusammen hätte einen Radius von %%43,3\hspace{0,1cm}cm%% beim Einatmen und von %%2,16\hspace{0,1cm}m%% beim Ausatmen.

Es fällt auf, dass diese Radien viel größer sind als die Radien beim Ein- und Ausatmen in der Teilaufgabe c).

Zusatzaufgabe: Was ist der Vorteil von vielen kleinen Bläschen anstelle einer großen Kugel als Lunge?

Biologische Vorteile

Der Sauerstoff wird über die Oberfläche der Lungenbläschen aufgenommen. Im Brustkorb ist nur ungefähr so viel Platz wie für ein Volumen von %%V_{ges,voll}=2,45\hspace{0,1cm}l%%. Der Oberflächeninhalt wäre bei einer einzelnen Blase dann bei ca. %%8,36\hspace{0,1cm}cm%% (siehe Teilaufgabe c)). Durch die vielen kleinen Blasen kann der Oberflächeninhalt, über den Sauerstoff aufgenommen wird, aber stark vergrößert werden.
Dadurch entsteht ein Oberflächeninhalt, der, wenn er von nur einer Blase geschaffen werden müsste, viel zu groß für den menschlichen Körper wäre (zum Vergleich: Der Durchmesser der Kugel %%(4,32\hspace{0,1cm}m)%% ist mehr als doppelt so groß wie ein erwachsener Mensch). Nur dadurch kann die Lunge so viel Sauerstoff aufnehmen, wie der Körper zum Leben benötigt!

Nach einem Hagelschauer hat Herr Sammler jede Menge Hagelkörner aufgesammelt. Alle sind nahezu kugelförmig und haben einen durchschnittlichen Durchmesser von %%2\;\mathrm{cm}%%. Herr Sammler hat insgesamt 47 Hagelkörner aufgesammelt. Wenn alle Hagelkörner schmelzen würden, könnte er das Wasser in nur einem 2 Liter Eimer aufbewahren? (%%1\;\mathrm{Liter}%% = %%1\;\mathrm{dm}^3%%)

Berechnen von Kugelvolumen

In der Aufgabe musst du nur berechnen, was das Gesamtvolumen aller Kugeln ist und dann abgleichen, ob es mehr oder weniger als %%{2\;\mathrm{dm}^3}%% ist.

Formel zu Berechnung:

%%\frac43\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r^3%%

Dafür solltest du zuerst das Volumen einer Kugel berechnen und danach mit der Anzahl aller Körner multiplizieren.

%%\mathrm d=2\;\mathrm{cm}%%

%%r\ =\ 1\;\mathrm{cm}%%

Jetzt musst du ein Wert für den Radius r einsetzen. Weil du aber den Durchmesser angegeben hast, musst du den Wert halbieren, um den Radius herauszufinden.

%%\frac43\cdot\mathrm\pi\cdot1\;\mathrm{cm^3}\;\approx\;4,2\;\mathrm{cm^3}%%

Wenn du weißt, wieviel Volumen eine Kugel besitzt musst du es nur noch mit der Anzahl der Körnern multiplizieren.

%%4,2\;\mathrm{cm}^3\cdot47=197,4\;\mathrm{cm}^3%%

Mit dem Ergebnis ist dir bekannt, wieviel Wasser in allen Hagelkörnern enthalten ist.

Der letzte Schritt besteht nun darin, zu schauen ob dieses Volumen mehr oder weniger ist als das, was in den Eimer reinpasst.

Eimer:

%%2\;\mathrm{dm}^3\;=\;2000\;\mathrm{cm}^3%%

Vergleich mit den Körnern:

%%2000\;\mathrm{cm}^3\;>\;197,4\;\mathrm{cm}^3%%

Jetzt vergleichst du einfach die beiden Werte und schaust welche von den Zahlen größer ist. In dem Fall reicht also der Eimer aus, um das Wasser aufzufangen.

Sandra ist mit ihren Freundinnen am Strand, und sie möchten mit dem Wasserball spielen.

Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball blasen, damit er einen Durchmesser von %%50\,\text{cm}%% hat?

Wasserball

Kugel

Thema dieser Aufgabe ist die Volumenberechnung bei einer Kugel.

Der Ball ist eine Kugel mit Durchmesser %%d=50\,\text{cm}%%. Gesucht ist die Menge an Luft, die Sandra hineinbläst, also das Volumen der Kugel.

%%V=\dfrac{4}{3}r^3\pi%%

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser %%d%% berechnen.

%%r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{50}{2}\,\text{cm}=25\,\text{cm}%%

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

%%V=\dfrac{4}{3}\cdot(25\,\text{cm})^3\cdot\pi%%

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

%%=\dfrac{4}{3}\cdot15625\,\text{cm}^3\cdot\pi%%

%%=\dfrac{62500}{3}\cdot\pi\text{ cm}^3%%

%%= 65449,846…\text{ cm}^3%%

Anschließend rundest du noch.

%%\approx 65450\text{ cm}^3%%

Zum Schluss rechnest du das Ergebnis in Kubikdezimenter (und damit in Liter) um.

%%=65,45 \text{ dm}^3%%

%%=65,45 \text{ l}%%

Antwort: Sandra muss %%65,45\,\text{l}%% Luft in den Ball blasen.

Kommentieren Kommentare