Aufgaben zur Kugel

Hier findest du gemischte Aufgaben zum Thema Kugel. Lerne in diesen Aufgaben, die Oberfläche und das Volumen einer Kugel zu berechnen.

1
Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.
1. Radius $1 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  Für das Volumen einer Kugel gilt:
  $V = \frac{4}{3} r^{3} π$
  Setze den Radius $r = 1 cm$ ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} (1 cm)^{3} π \\ = \frac{4}{3} {π cm}^{3} \\ \approx 4,2 {cm}^{3} \end{array}$
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2. Radius $5 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  $r = 5 cm$
  Setze $r$ in die Formel des Kugelvolumens ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot (5 cm)^{3} \cdot π \\ \approx 523,6 {cm}^{3} \end{array}$
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3. Durchmesser $3 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  $d = 3 cm$
  Errechne den Radius $r$ .
  $\begin{array}{l} r = \frac{1}{2} \cdot d \\ = \frac{1}{2} \cdot 3 cm \\ = 1,5 cm \end{array}$
  Setze den Radius in die Formel für das Kugelvolumen ein.
  $\begin{array}{l} V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π \\ = \frac{4}{3} \cdot (1,5 cm)^{3} \cdot π \\ \approx 14,14 {cm}^{3} \end{array}$
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4. Umfang $7 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  Umfang $U = 7 cm$
  Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.
  $U$ $=$ $2 \cdot r \cdot π$ $: 2 π$
  $r$ $=$ $\frac{U}{2 π}$
  ↓
  Setze $U = 7 cm$ ein.
  $r$ $=$ $\frac{7 cm}{2 \cdot π}$
  $\approx$ $1,114 cm$
  Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{7 cm}{2 \cdot π})}^{3} \cdot π \\ = \frac{7^{3}}{6 \cdot π^{2}} {cm}^{3} \\ \approx 5,792 {cm}^{3} \end{array}$
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5. Oberfläche $10 {cm}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
  Oberfläche $O = 10 {cm}^{2}$
  Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.
  $O$ $=$ $4 r^{2} π$ $: 4 π$
  $r^{2}$ $=$ $\frac{O}{4 π}$ $\sqrt{}$
  ↓
  Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
  $r$ $=$ $\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
  ↓
  Setze $O = 10 {cm}^{2}$ ein.
  $r$ $=$ $\sqrt{\frac{10 {cm}^{2}}{4 π}}$
  $r$ $=$ $0,8921 cm$
  Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
  $\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} \cdot {(\sqrt{\frac{5 {cm}^{2}}{2 π}})}^{3} \cdot π \\ = \frac{5 \cdot \sqrt{\frac{10}{π}}}{3} {cm}^{3} \\ \approx 2,974 {cm}^{3} \end{array}$
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2
Berechne mit den gegebenen Informationen die Oberfläche der Kugel.
1. Radius 1cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Radius $r = 1 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(1 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 12,566 c m^{2}$
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2. Radius 5cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Radius $r = 5 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(5 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 314,16 c m^{2}$
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3. Durchmesser 3cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Durchmesser $d = 3 c m$
  Bestimme den Radius. Beachte: Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.
  $r = 3 c m : 2 = 1,5 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(1,5 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 28,274 c m^{2}$
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4. Volumen $10 {cm}^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Volumen $V = 10 {cm}^{3}$
  Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf.
  $V$ $=$ $\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$ $: (\frac{4}{3} π)$
  $r^{3}$ $=$ $\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}$
  ↓
  Ziehe die Kubikwurzel.
  $r$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}}$
  ↓
  Setze das Volumen ein.
  $r$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{10 c m^{3} \cdot 3}{4 \cdot π}}$
  $\approx$ $1,3365 c m$
  Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf und setze den gefundenen Radius $r$ ein.
  $O \approx 4 \cdot {(1,3365 c m)}^{2} \cdot π$
  $\approx 22,446 c m^{2}$
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5. Umfang 7cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche der Kugel berechnen
  Umfang $U = 7 c m$
  Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.
  $U$ $=$ $2 \cdot r \cdot π$ $: 2 π$
  $r$ $=$ $\frac{U}{2 \cdot π}$
  ↓
  Setze den Umfang ein.
  $=$ $\frac{7 c m}{2 \cdot π}$
  $\approx$ $1,1141 c m$
  Setze den Radius in die Formel für die Oberfläche der Kugel ein.
  $O = 4 \cdot {(\frac{7 c m}{2 \cdot π})}^{2} \cdot π = \frac{7^{2}}{π} c m^{2}$
  $\approx 15,597 c m^{2}$
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Berechne mit den gegebenen Informationen den Umfang der Kugel.

Radius $1 c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelumfang berechnen
$U$ $=$ $2 π \cdot r$
↓
Setze den Radius $r = 1 c m$ ein.
$=$ $2 π \cdot 1 c m$
$=$ $2 π c m$
$\approx$ $6,28 c m$
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Durchmesser $3 c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang einer Kugel
$d$ $=$ $3 c m$
↓
Setze den Wert des Durchmessers in die Formel für den Kreisumfang ein.
$U_{K u g e l}$ $=$ $3 c m \cdot π$
$\approx$ $9,42 c m$
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Oberfläche $10 {cm}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius ermitteln
$O$ $=$ $4 r^{2} π$ $: 4 π$
$\frac{O}{4 π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe die Wurzel, um den Radius zu erhalten.
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
↓
Setze den Wert der Oberfläche ein.
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{10 c m^{2}}{4 π}}$
$=$ $\sqrt{\frac{5}{2 π}} c m$
$\approx$ $0,892 c m$
Umfang berechnen
$U$ $=$ $2 π \cdot r$
↓
Füge den Radius $\sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$ ein.
$U$ $=$ $2 π \cdot \sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$
$\approx$ $5,60 c m$
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Volumen $10 {cm}^{3}$

Der Durchmesser einer Murmel ist $42 mm$ . Wie groß ist ihr Volumen? Runde auf ganze ${mm}^{3}$ .

mm³

5
Die menschliche Lunge besteht aus annähernd kugelförmigen Lungenbläschen. In einer Lunge finden sich ca. $300.000.000$ ( $300$ $Millionen$ ) Bläschen. Über die Oberfläche dieser Bläschen nimmt der menschliche Organismus Sauerstoff aus der Luft auf. Wenn wir ausatmen, hat ein Lungenbläschen einen Durchmesser von $50 μ m$ . Wenn wir einatmen, blähen sie sich auf und erreichen einen Durchmesser von $250 μ m$ .
1. Berechne die Oberfläche und das Volumen eines einzelnen Lungenbläschens beim Aus- und beim Einatmen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
  Tipp: $1 μ m = 0,000001 m = 1 \cdot 10^{-} 6 m$
  Umrechnung der Einheiten in Meter
  Damit du in den späteren Teilaufgaben einfacher weiterrechnen kannst, rechnest du am Besten zuerst die Einheiten von $μ m$ in $m$ um.
  $d_{l e e r} = 50 μ m = 0,000050 m$
  $d_{v o l l} = 250 μ m = 0,000250 m$
  Berechne nun die Radien eines Lungenbläschens.
  Berechnung der Oberfläche und des Volumens
  $r_{l e e r} = d_{l e e r} : 2 = 0,000025 m$
  $r_{v o l l} = d_{v o l l} : 2 = 0,000125 m$
  Stelle die Formeln für die Oberflächeninhalte und die Volumen auf.
  $O_{l e e r} = 4 π \cdot r_{l e e r}^{2}$
  $O_{v o l l} = 4 π \cdot r_{v o l l}^{2}$
  $V_{l e e r} = \frac{4}{3} π \cdot r_{l e e r}^{3}$
  $V_{v o l l} = \frac{4}{3} π \cdot r_{v o l l}^{3}$
  Setze die Werte ein und multipliziere aus!
  $O_{l e e r} = 4 π \cdot r_{l e e r}^{2} = 4 π \cdot (0,000025 m)^{2} \approx 7,85 \cdot 10^{- 9} m^{2}$
  $O_{v o l l} = 4 π \cdot r_{v o l l}^{2} = 4 π \cdot (0,000125 m)^{2} \approx 1,96 \cdot 10^{- 7} m^{2}$
  $V_{l e e r} = \frac{4}{3} π \cdot r_{l e e r}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot (0,000025 m)^{3} \approx 6,54 \cdot 10^{- 14} m^{3}$
  $V_{v o l l} = \frac{4}{3} π \cdot r_{v o l l}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot (0,000125 m)^{3} \approx 8,18 \cdot 10^{- 12} m^{3}$
  Für das leere Lungenbläschen beim Ausatmen ergibt sich in etwa eine Oberfläche von $7,85 \cdot 10^{- 9} m^{2}$ und ein Volumen von $6,54 \cdot 10^{- 14} m^{3}$ .
  Für das volle Lungenbläschen beim Einatmen ergibt sich eine Oberfläche von circa $1,96 \cdot 10^{- 7} m^{2}$ und ein Volumen von $8,18 \cdot 10^{- 12} m^{3}$ .
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2. Berechne das Volumen und die Oberfläche aller Bläschen zusammen beim Aus- und Einatmen.
  
  Du hast das Volumen und den Oberflächeninhalt eines einzelnen Bläschens beim Ein- und Ausatmen bereits in der Teilaufgabe a) berechnet. Die Anzahl der Lungenbläschen in der Lunge ist gegeben. Damit kannst du die Formel für das gesamte Volumen und den gesamten Oberflächeninhalt aufstellen.
  Du kannst die gesamte Oberfläche mit $O_{g e s, l e e r}$ und $O_{g e s, v o l l}$ bezeichnen. Das gesamte Volumen kannst du mit $V_{g e s, l e e r}$ und $V_{g e s, v o l l}$ bezeichnen.
  $O_{g e s, l e e r} = 300.000.000 \cdot O_{l e e r}$
  $O_{g e s, v o l l} = 300.000.000 \cdot O_{v o l l}$
  $V_{g e s, l e e r} = 300.000.000 \cdot V_{l e e r}$
  $V_{g e s, v o l l} = 300.000.000 \cdot V_{v o l l}$
  Durch das Einsetzen der Werte erhältst du:
  $O_{g e s, l e e r} \approx 300.000.000 \cdot 7,85 \cdot 10^{- 9} m^{2} \approx 2,36 m^{2}$
  $O_{g e s, v o l l} \approx 300.000.000 \cdot 1,96 \cdot 10^{- 7} m^{2} \approx 58,8 m^{2}$
  $V_{g e s, l e e r} \approx 300.000.000 \cdot 6,54 \cdot 10^{- 14} m^{3} \approx 1,96 \cdot 10^{- 5} m^{3} = 0,0196 l = 19,6 m l$
  $V_{g e s, v o l l} \approx 300.000.000 \cdot 8,18 \cdot 10^{- 12} m^{3} \approx 2,45 \cdot 10^{- 3} m^{3} = 2,45 l$
  Der gesamte Oberflächeninhalte aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen circa $2,36 m^{2}$ und beim Einatmen $58,8 m^{2}$ .
  Das gesamte Volumen aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen in etwa $19,6 m l$ und beim Einatmen $2,45 l$ .
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3. Wie groß müsste der Radius einer einzelnen Kugel sein, die dasselbe Volumen hat wie alle Bläschen zusammen? Unterscheide dabei wieder das Ein- und Ausatmen! Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
  Radius einer Kugel mit demselben Volumen
  Du kennst das gesamte Volumen aller Bläschen aus der Teilaufgabe b). Versuche nun die Formel für das Kugelvolumen nach der gesuchten Größe $r$ umzustellen!
  $V$ $=$ $\frac{4}{3} π r^{3}$ $\cdot \frac{3}{4}$
  $\frac{3}{4} \cdot V$ $=$ $π r^{3}$ $: π$
  $\frac{3 V}{4 π}$ $=$ $r^{3}$ $\sqrt[3]{}$
  $r$ $=$ $\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$
  Setze anschließend die Werte von den Volumen beim Ein- und Ausatmen ein. Du kannst den Radius der Kugel mit dem Volumen vom Ausatmen $r_{v, g e s, l e e r}$ und mit dem Volumen vom Einatmen $r_{v, g e s, v o l l}$ nennen.
  $r_{v, g e s, l e e r} = \sqrt[3]{\frac{3 V_{g e s, l e e r}}{4 π}} \approx \sqrt[3]{\frac{3 \cdot (1,96 \cdot 10^{- 5} m^{3})}{4 π}} \approx 0,0167 m = 1,67 c m$
  $r_{v, g e s, v o l l} = \sqrt[3]{\frac{3 V_{g e s, v o l l}}{4 π}} \approx \sqrt[3]{\frac{3 \cdot (2,45 \cdot 10^{- 3} m^{3})}{4 π}} \approx 0,0836 m = 8,36 c m$
  Die Kugeln beim Ein- und Ausatmen mit demselben Volumen wie alle Lungenbläschen zusammen hätten einen Radius von $r_{v, g e s, l e e r} = 1,67 c m$ und $r_{v, g e s, v o l l} = 8,36 c m$ .
  Oberfläche dieser Kugel
  Für den Oberflächeninhalt dieser Kugel musst du nun noch diese Radien in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzen und berechnen:
  $O_{v, g e s, l e e r} = 4 π (r_{v, g e s, l e e r})^{2} \approx 4 π \cdot (0,0167 m)^{2} \approx 3,50 \cdot 10^{- 3} m^{2}$
  $O_{v, g e s, v o l l} = 4 π (r_{v, g e s, v o l l})^{2} \approx 4 π \cdot (0,0836 m)^{2} \approx 0,0878 m^{2} = 8,78 \cdot 10^{- 2} m^{2}$
  Eine Kugel mit dem Radius $r_{v, g e s, l e e r}$ hätte eine Oberfläche mit $3,5 \cdot 10^{- 3} m^{2}$ und eine Kugel mit dem Radius $r_{v, g e s, v o l l}$ hätte die Oberfläche $8,78 \cdot 10^{- 2} m^{2}$ .
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4. Wie groß müsste der Radius einer einzelnen Kugel sein, die dieselbe Oberfläche hat wie alle Bläschen zusammen? Unterscheide dabei wieder das Ein- und Ausatmen!
  
  Analog zur Teilaufgabe c) stellst du die Formel für den Kugeloberflächeninhalt nach $r$ um.
  $O$ $=$ $4 π r^{2}$ $: 4 π$
  $\frac{O}{4 π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
  $r_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{\frac{O}{4 π}}$
  Anschließend setzt du wieder die Werte aus der Teilaufgabe b) ein. Wir nennen den Radius der Kugel mit der Oberfläche beim Ausatmen $r_{o, g e s, l e e r}$ und beim Einatmen $r_{o, g e s, v o l l}$ .
  $r_{2}$ ist für uns irrelevant, da der Radius nur positive Werte annehmen kann. Im Folgenden wird daher nur die Formel für $r_{1}$ benutzt.
  $r_{o, g e s, l e e r} = \sqrt{\frac{O_{g e s, l e e r}}{4 π}} \approx \sqrt{\frac{2,36 m^{2}}{4 π} \approx 0,433 m = 43,3 c m}$
  $r_{o, g e s, v o l l} = \sqrt{\frac{O_{g e s, v o l l}}{4 π}} \approx \sqrt{\frac{58,8 m^{2}}{4 π}} \approx 2,16 m$
  Der Radius einer Kugel mit demselben Oberflächeninhalt wie alle Lungenbläschen zusammen hätte einen Radius von $43,3 c m$ beim Einatmen und von $2,16 m$ beim Ausatmen.
  Es fällt auf, dass diese Radien viel größer sind als die Radien beim Ein- und Ausatmen in der Teilaufgabe c).
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5. Zusatzaufgabe: Was ist der Vorteil von vielen kleinen Bläschen anstelle einer großen Kugel als Lunge?
  
  Der Sauerstoff wird über die Oberfläche der Lungenbläschen aufgenommen. Im Brustkorb ist nur ungefähr so viel Platz wie für ein Volumen von $V_{g e s, v o l l} = 2,45 l$ . Der Oberflächeninhalt wäre bei einer einzelnen Blase dann bei ca. $8,36 c m$ (siehe Teilaufgabe c). Durch die vielen kleinen Blasen kann der Oberflächeninhalt, über den Sauerstoff aufgenommen wird, aber stark vergrößert werden.
  Dadurch entsteht ein Oberflächeninhalt, der, wenn er von nur einer Blase geschaffen werden müsste, viel zu groß für den menschlichen Körper wäre (zum Vergleich: Der Durchmesser der Kugel $(4,32 m)$ ist mehr als doppelt so groß wie ein erwachsener Mensch). Nur dadurch kann die Lunge so viel Sauerstoff aufnehmen, wie der Körper zum Leben benötigt!
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6
Eine Bestellung für $500$ Eisenkugeln liegt vor. Jede Kugel soll einen Durchmesser von $1 cm$ haben. Wieviel Eisen braucht der Hersteller? Und könntest du das Eisenstück heben, woraus die Kugeln gegossen werden, wenn du $10 kg$ heben kannst? (Dichte von Eisen: $7,86 \frac{g}{{cm}^{3}}$ ). Runde auf zwei Nachkommastellen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Berechnung des Volumens.
Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet:
$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$
wobei $r$ der Radius der Kugel ist. In dieser Aufgabe ist der Radius $r = 0,5 cm$ , da der Durchmesser $1 cm$ beträgt und der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist. Das heißt das Volumen einer einzelnen Kugel ist:
$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {0,5}^{3} {cm}^{3} \cdot π = \frac{π}{6} {cm}^{3} .$
Damit kannst du nun das Volumen aller $500$ Kugeln berechnen:
$V_{a l l e K u g e l n} = 500 \cdot V_{K u g e l} = 500 \cdot \frac{π}{6} {cm}^{3} = \frac{500 π}{6} {cm}^{3}$
Berechnung der Masse und Beantwortung der Fragen
Du kennst jetzt sowohl das Volumen der Kugeln ( $V = \frac{500 π}{6} {cm}^{3}$ ) als auch die Dichte von Eisen ( $ρ = 7,86 \frac{g}{{cm}^{3}}$ ) . Mit der Formel für die Dichte kannst du nun die Masse $m$ des benötigten Eisens berechnen:
$ρ = \frac{m}{V}$
Du kannst jetzt nach der Masse auflösen, indem du mit $V$ multiplizierst:
$m = ρ \cdot V$
Und nun setzt du die gegebenen Werte ein:
$m = 7,86 \frac{g}{{cm}^{3}} \cdot \frac{500 π}{6} {cm}^{3} = 2057,743 \dots g \approx 2,06 kg .$

Damit kannst Du die beiden Fragen aus dem Text beantworten:
Der Hersteller braucht $2,06 kg$ Eisen
Ja, du könntest das eingeschmolzene Stück Eisen hochheben, da es genauso viel wie die $500$ Kugen wiegt. Es wiegt also weniger als $10 kg$ .
Berechne zuerst das Volumen einer der Kugeln. Multipliziere dieses mit $500$ , dann hast Du das Volumen aller $500$ Kugeln. Berechne zum Schluss das Gewicht dieser $500$ Kugeln mithilfe der Formel für die Dichte und beantworte damit die Fragen aus dem Text.
7
Nach einem Hagelschauer hat Herr Sammler jede Menge Hagelkörner aufgesammelt. Alle sind nahezu kugelförmig und haben einen durchschnittlichen Durchmesser von $2 cm$ . Herr Sammler hat insgesamt 47 Hagelkörner aufgesammelt. Wenn alle Hagelkörner schmelzen würden, könnte er das Wasser in nur einem 2 Liter Eimer aufbewahren? ( $1 Liter$ = $1 {dm}^{3}$ )
Ja, das Wasser passt in den Eimer.
Nein, es passt nicht in den Eimer.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Kugel
Berechnen von Kugelvolumen
In der Aufgabe musst du nur berechnen, was das Gesamtvolumen aller Kugeln ist und dann abgleichen, ob es mehr oder weniger als $2 {dm}^{3}$ ist.
Formel zu Berechnung:
$\frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$
Dafür solltest du zuerst das Volumen einer Kugel berechnen und danach mit der Anzahl aller Körner multiplizieren.
$d = 2 cm$
$r = 1 cm$
Jetzt musst du ein Wert für den Radius r einsetzen. Weil du aber den Durchmesser angegeben hast, musst du den Wert halbieren, um den Radius herauszufinden.
$\frac{4}{3} \cdot π \cdot 1 c m^{3} \approx 4,2 c m^{3}$
Wenn du weißt, wieviel Volumen eine Kugel besitzt musst du es nur noch mit der Anzahl der Körnern multiplizieren.
$4,2 {cm}^{3} \cdot 47 = 197,4 {cm}^{3}$
Mit dem Ergebnis ist dir bekannt, wieviel Wasser in allen Hagelkörnern enthalten ist.
Der letzte Schritt besteht nun darin, zu schauen ob dieses Volumen mehr oder weniger ist als das, was in den Eimer reinpasst.
Eimer:
$2 {dm}^{3} = 2000 {cm}^{3}$
Vergleich mit den Körnern:
$2000 {cm}^{3} > 197,4 {cm}^{3}$
Jetzt vergleichst du einfach die beiden Werte und schaust welche von den Zahlen größer ist. In dem Fall reicht also der Eimer aus, um das Wasser aufzufangen.
Das Volumen einer Kugel wird berechnet mit $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$ . Rechne das Volumen hoch für 47 Kugeln.

Sandra ist mit ihren Freundinnen am Strand, und sie möchten mit dem Wasserball spielen.

Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball blasen, damit er einen Durchmesser von $50 cm$ hat?

Runde auf ganze ${cm}^{3}$ .

cm³

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$U$	$=$	$2 \cdot r \cdot π$	$: 2 π$
$r$	$=$	$\frac{U}{2 π}$
	↓	Setze $U = 7 cm$ ein.
$r$	$=$	$\frac{7 cm}{2 \cdot π}$
	$\approx$	$1,114 cm$

$O$	$=$	$4 r^{2} π$	$: 4 π$
$r^{2}$	$=$	$\frac{O}{4 π}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{O}{4 π}}$
	↓	Setze $O = 10 {cm}^{2}$ ein.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{10 {cm}^{2}}{4 π}}$
$r$	$=$	$0,8921 cm$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$	$: (\frac{4}{3} π)$
$r^{3}$	$=$	$\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}$
	↓	Ziehe die Kubikwurzel.
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	↓	Setze das Volumen ein.
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{10 c m^{3} \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	$\approx$	$1,3365 c m$

$U$	$=$	$2 \cdot r \cdot π$	$: 2 π$
$r$	$=$	$\frac{U}{2 \cdot π}$
	↓	Setze den Umfang ein.
	$=$	$\frac{7 c m}{2 \cdot π}$
	$\approx$	$1,1141 c m$

$U$	$=$	$2 π \cdot r$
	↓	Setze den Radius $r = 1 c m$ ein.
	$=$	$2 π \cdot 1 c m$
	$=$	$2 π c m$
	$\approx$	$6,28 c m$

$d$	$=$	$3 c m$
	↓	Setze den Wert des Durchmessers in die Formel für den Kreisumfang ein.
$U_{K u g e l}$	$=$	$3 c m \cdot π$
	$\approx$	$9,42 c m$

$U$	$=$	$2 π \cdot r$
	↓	Füge den Radius $\sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$ ein.
$U$	$=$	$2 π \cdot \sqrt{\frac{10}{4 π}} cm$
	$\approx$	$5,60 c m$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$	$: \frac{4}{3} π$
$r^{3}$	$=$	$\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Kubikwurzel
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	↓	Setze das gegebene Volumen ein.
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{10 c m^{3} \cdot 3}{4 \cdot π}}$
	$\approx$	$1,3365 c m$
	↓	Berechne den Umfang $(U = 2 π \cdot r)$ .
$U$	$\approx$	$2 π \cdot 1,3365 c m$
	$\approx$	$8,397 c m$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} r^{3} π$
	↓	Das ist die Volumenformel der Kugel. Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser berechnen.
$r$	$=$	$\frac{d}{2}$
	↓	Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.
$r$	$=$	$\frac{42}{2} m m$
$r$	$=$	$21 m m$
	↓	r = 21 mm in die Formel für V einsetzen.
$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot {(21 m m)}^{3} \cdot π$
	↓	Wenn du das ausrechnest, erhältst du:
$V$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot 9261 \cdot π \cdot m m^{3}$
$V$	$=$	$12348 \cdot π \cdot m m^{3}$
$V$	$=$	$38792,386... m m^{3}$
	↓	Zum Schluss rundest du noch.
$V$	$=$	$38792 m m^{3}$
	↓	Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter ( ${cm}^{3}$ ) schreiben.
$V$	$\approx$	$38,792 c m^{3}$

$V$	$=$	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$\cdot \frac{3}{4}$
$\frac{3}{4} \cdot V$	$=$	$π r^{3}$	$: π$
$\frac{3 V}{4 π}$	$=$	$r^{3}$	$\sqrt[3]{}$
$r$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$

$O$	$=$	$4 π r^{2}$	$: 4 π$
$\frac{O}{4 π}$	$=$	$r^{2}$	$\sqrt{}$
$r_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{O}{4 π}}$

Aufgaben zur Kugel

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Umrechnung der Einheiten in Meter

Berechnung der Oberfläche und des Volumens

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Radius einer Kugel mit demselben Volumen

Oberfläche dieser Kugel

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Berechnung des Volumens.

Berechnung der Masse und Beantwortung der Fragen

Berechnen von Kugelvolumen