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Aufgaben zum Thema Ergebnisraum oder Ergebnismenge

1 Aufgabengruppe

In einer Klinik wird eine Statistik über das Geschlecht von Neugeborenen geführt. Gib jeweils den Ergebnisraum und die Mächtigkeit an, und zwar bei:

Einzelkindern

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Wir schreiben M für männliche Kinder und W für weibliche Kinder.

Wenn es bei der Geburt nur ein Kind gibt, kann das entweder männlich oder weiblich sein.

Deshalb ist Ω={M,W}\Omega = \{ M,W \}.

Die Mächtigkeit ist die Anzahl der Elemente des Ergebnisraums. Damit ist Ω=2\left|\Omega\right|=2

eineiigen Zwillingen

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

M = männlich

W = weiblich

Eineiige Zwillinge haben immer dasselbe Geschlecht.

Ω={MM,  WW}\Omega=\left\{MM,\;WW\right\}

Im folgenden kannst du die Mächtigkeit bestimmen

Ω=2\left|\Omega\right|=2

zweieiigen Zwillingen, wenn das erstgeborene Baby zuerst vermerkt wird

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

M = männlich

W = weiblich

Ω={MM;  MW;  WM;  WW}\Omega=\left\{MM;\;MW;\;WM;\;WW\right\}

Im folgenden kannst du die Mächtigkeit bestimmen.

Ω=4\left|\Omega\right|=4

Drillingen.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

M = männlich

W = weiblich

Ω={MMM;  MMW;  MWW;    MWM;  WMM;  WWM;  WMW;  WWW}\Omega=\left\{MMM;\;MMW;\;MWW;\;\;MWM;\;WMM;\;WWM;\;WMW;\;WWW\right\}

Im folgenden kannst du die Mächtigkeit bestimmen.

Ω=8\left|\Omega\right|=8

2

Münze und Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie lautet ein Ergebnisraum? Wie viele Elemente enthält er?

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Ω={(K;1)(K;2)(K;3)(K;4)(K;5)(K;6)(Z;1)(Z;2)(Z;3)(Z;4)(Z;5)(Z;6)}\Omega=\left\{\left(K;1\right)\left(K;2\right)\left(K;3\right)\left(K;4\right)\left(K;5\right)\left(K;6\right)\left(Z;1\right)\left(Z;2\right)\left(Z;3\right)\left(Z;4\right)\left(Z;5\right)\left(Z;6\right)\right\}

  26=\Rightarrow\;2\cdot 6= 1212 Elemente, da es für einen Münzwurf 2 und bei einem Würfel 6 mögliche Ergebnisse gibt.

3 Aufgabengruppe

Der Gewinner bei einer Lotterie darf aus 5 DVDs (a,b,c,d,e) 3 auswählen. Gib den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an, wenn

beliebig ausgewählt werden darf.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Gib alle möglichen Kombinationen an, wie man 3 aus den 5 DVD's auswählen kann.

Ω={{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,c,d};{a,c,e};{a,d,e};{b,c,e};{b,c,d};{b,d,e};{c,d,e}}\Omega=\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{a,c,d\right\};\left\{a,c,e\right\};\left\{a,d,e\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}

Zähle die Anzahl der Möglichkeiten um die Mächtigkeit zu bestimmen.

Ω={{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,c,d};{a,c,e};{a,d,e};{b,c,e};{b,c,d};{b,d,e};{c,d,e}}=10\left|\Omega\right|=\left|\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{a,c,d\right\};\left\{a,c,e\right\};\left\{a,d,e\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}\right|=10

grundsätzlich e gewählt werden muss.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Gib alle Möglichkeiten an, wie man 3 aus den 5 DVD's auswählen kann, wobei e immer dabei sein muss.

Ω={{e,a,b};{e,a,c};{e,a,d};{e,b,c};{e,b,d};{e,c,d}}\Omega=\left\{\left\{e,a,b\right\};\left\{e,a,c\right\};\left\{e,a,d\right\};\left\{e,b,c\right\};\left\{e,b,d\right\};\left\{e,c,d\right\}\right\}

Zähle die Möglichkeiten und gib so die Mächtigkeit an.

Ω={{e,a,b};{e,a,c};{e,a,d};{e,b,c};{e,b,d};{e,c,d}}=6\left|\Omega\right|=\left|\left\{\left\{e,a,b\right\};\left\{e,a,c\right\};\left\{e,a,d\right\};\left\{e,b,c\right\};\left\{e,b,d\right\};\left\{e,c,d\right\}\right\}\right|=6

bei Wahl von a stets auch b gewählt werden muss.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Gib alle möglichen Kombinationen an, wie man 3 aus den 5 DVD's auswählen kann, wobei wenn a gewählt wird, auch b gewählt werden muss. Schreibe also sämtliche Möglichkeiten heraus und streiche jene, welche a jedoch nicht b enthalten.

ΩGesamt={{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,c,d};{a,c,e};{a,d,e}; {b,c,e};{b,c,d};{b,d,e};{c,d,e}}\Omega_{Gesamt}=\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\underline{\left\{a,c,d\right\}};\underline{\left\{a,c,e\right\}};\underline{\left\{a,d,e\right\}};\ \left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}

    Ω={{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{b,c,e};{b,c,d};{b,d,e};{c,d,e}}\Rightarrow\;\;\Omega=\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}

Gibt die Mächtigkeit an, indem du die Möglichkeiten zählst.

Ω={{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{b,c,d};{b,c,e};{b,d,e};{c,d,e}}=7\left|\Omega\right|=\left|\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}\right|=7

4

In einer Urne liegen vier mit 1 bis 4 nummerierte Kugeln. Man zieht zwei Kugeln auf einmal. Gib einen Ergebnisraum an!

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Gib alle möglichen Kombinationen an, 2 aus den 4 nummerierten Kugeln zu ziehen.

Ω={(1,2);(1,3);(1,4);(2,3);(2,4);(3,4)}\Omega=\left\{\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(1,4\right);\left(2,3\right);\left(2,4\right);\left(3,4\right)\right\}

5 Aufgabengruppe

Beim Werfen zweier Würfel bietet jemand die folgende Menge als Ergebnisraum an. Entscheide, ob wirklich ein Ergebnisraum vorliegt und gib die Mächtigkeit an.

%%\operatorname{\Omega} = \{ (1,1); (1,2); (1,3);\;…\;;(6,5); (6,6)\} = \{{(a,b)\mid 1 \leq a, b  \leq6} \}%%

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Ja, es handelt sich um einen Ergebnisraum, wenn die beiden Würfel unterscheidbar sind, da die Reihenfolge bei der Auflistung eine Rolle spielt.

Die Mächtigkeit ist 3636, da jede Zahl eines Würfels mit allen anderen Zahlen des zweiten Würfels kombiniert werden kann. Die 66 Zahlen des ersten Würfels multipliziert mit den Möglichkeiten des zweiten Würfels ergibt 3636.

Ω={(1,1);(1,2);(1,3);    ;(5,6);(6,6)}={(a,b)1ab 6}\operatorname{\Omega} = \{(1,1); (1,2); (1,3); \;…\;;(5,6); (6,6)\} = \{(a,b) \mid 1 \leq a \leq b \leq 6 \}

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Ja, dieser Ergebnisraum ist möglich, da die Würfel der Angabe nach nicht unterschieden werden. Die zweite Zahl in der Klammer muss in jedem Fall größer oder gleich der ersten Zahl sein, deshalb können 2 Ziffern nicht in unterschiedlicher Reihenfolge angegeben werden.

Die Mächtigkeit ist 2121, da die erste Ziffer mit 66 anderen des zweiten Würfels kombiniert werden kann. Die Zweite nur noch mit 55, die Dritte nur noch mit 44 usw.

\Rightarrow 6+5+4+3+2+1=21 6+5+4+3+2+1=21

6

3 Münzen werden gleichzeitig geworfen. Gib einen geeigneten Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an. Die drei Münzen sollen dabei nicht unterschieden werden.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum angeben

Da die drei Münzen nicht unterschieden werden sollen, kommt es auf die Reihenfolge der KK und ZZ nicht an. Das heißt beispielsweise, dass man außer KKZ KKZ nicht auch noch KZKKZK und ZKKZKK braucht. Es geht nur darum, bei wie vielen Münzen nach dem Wurf "Kopf" oben liegt, und bei wievielen "Zahl".

Es gibt die folgenden Möglichkeiten:

3  mal Kopf,0  mal Zahl2  mal Kopf,1  mal Zahl1  mal Kopf,2  mal Zahl0  mal Kopf,3  mal Zahl\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rcll} 3 \;\text{mal Kopf} \quad &,& \quad 0 \;\text{mal Zahl} \\ 2 \;\text{mal Kopf} \quad &,& \quad 1 \;\text{mal Zahl} \\ 1 \;\text{mal Kopf} \quad &,& \quad 2 \;\text{mal Zahl} \\ 0 \;\text{mal Kopf} \quad &,& \quad 3 \;\text{mal Zahl} \\ \end{array}

Damit kannst du nun den Ergebnisraum angeben:

Ω={KKK,  KKZ,  KZZ,  ZZZ}\mathrm\Omega=\left\{\mathrm{KKK},\;\mathrm{KKZ},\;\mathrm{KZZ},\;\mathrm{ZZZ}\right\}

Seine Mächtigkeit gibst du an, indem du die Möglichkeiten zählst.

Ω=4\left|\mathrm\Omega\right|=4

7 Aufgabengruppe

Jemand hat drei Lose gekauft. Sie werden in Treffer (T) und Niete (N) unterschieden. Wie lautet der Ergebnisraum  Ω\Omega , wenn

die drei Lose unterscheidbar sind,

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Gib alle möglichen Kombinationen bei drei Losen an. Jedes Los kann entweder Niete (N) oder Treffer (T) sein. Beachte dabei nach Aufgabestellung die Reihenfolge.

Ω={(T,T,T);(T,T,N);(T,N,T);(N,T,T);(T,N,N);(N,T,N);(N,N,T);(N,N,N)}\mathrm\Omega=\left\{\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm T\right);\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm N\right);\left(\mathrm T,\mathrm N,\mathrm T\right);\left(\mathrm N,\mathrm T,\mathrm T\right);\left(\mathrm T,\mathrm N,\mathrm N\right);\left(\mathrm N,\mathrm T,\mathrm N\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm T\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm N\right)\right\}

die drei Lose nicht unterschieden werden?

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum

Gib alle möglichen Kombinationen bei drei Losen an. Jedes Los kann entweder Niete (N) oder Treffer (T) sein. Beachte, dass hier die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Ω={(T,T,T);(T,T,N);(N,N,T);(N,N,N)}\Omega=\left\{\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm T\right);\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm N\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm T\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm N\right)\right\}

8 Aufgabengruppe

In den Spielregeln für ein Würfelspiel steht: „Man werfe beide Würfel und bilde aus den beiden oben liegenden Augenzahlen die größtmögliche Zahl.“ (Beispiel: Bei den Augenzahlen „2“ und „4“ ist das die Zahl „42“.)

Gib einen Ergebnisraum für dieses Spiel an.

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Ereignis und Ergebnisraum

Ω=  {11;21;22;31;32;33;41;42;43;44;51;52;53;54;55;61;62;63;64;65;66}\displaystyle \Omega=\;\{11;21;22;31;32;33;41;42;43;44;51;52;53;54;55;61;62;63;64;65;66\}

Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an: A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern. B: Die Zahl enthält mindestens eine 4. C: Die Einerziffer ist halb so groß wie die Zehnerziffer. D: Die Zahl ist größer als 10. E: Die Quersumme der Zahl ist 6. F: Die Zahl ist eine Primzahl.

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Ereignis und Ergebnisraum

A={11;22;33;44;55;66}\displaystyle \text{A}=\{11;22;33;44;55;66\}
B={41;42;43;44;54;64}\displaystyle \text{B}=\{41;42;43;44;54;64\}
C={21;42;63}\displaystyle \text{C}=\{21;42;63\}
D={11;21;22;31;32;33;41;42;43;44;51;52;53;54;55;61;62;63;64;65;66}\displaystyle \text{D}=\{11;21;22;31;32;33;41;42;43;44;51;52;53;54;55;61;62;63;64;65;66\}
E={33;42;51}\displaystyle \text{E}=\{33;42;51\}
F={11;31;41;43;53;61}\displaystyle \text{F}=\{11;31;41;43;53;61\}

Untersuche die Ereignisse A bis F auf paarweise Unvereinbarkeit.

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Tipp: Du musst jeweils zwei Ereignisse miteinander vergleichen und daraufhin die gemeinsame Schnittmenge herausfinden.

paarweise Unvereinbarkeiten

Unter Unvereinbarkeit versteht man, dass das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse (z.B  AB\ A \cap B ) unmöglich ist.

 AB={44}\ A \cap B= \{ 44\}

 AC={}\ A \cap C= \{\}

 AD={11;22;33;44;55;66}\ A \cap D= \{11; 22; 33; 44; 55; 66\}

 AE={33}\ A \cap E= \{33\}

 AF={11}\ A \cap F= \{11\}

 BC={42}\ B \cap C= \{42\}

 BD={41;42;43;44;54;64}\ B \cap D= \{41; 42; 43; 44; 54; 64\}

 BE={42}\ B \cap E= \{42\}

 BF={41;43}\ B \cap F= \{41; 43\}

 CD={21;42;63}\ C \cap D= \{21; 42; 63\}

 CE={42}\ C \cap E= \{42\}

 CF={}\ C \cap F= \{\}

 DE={33;42;51}\ D \cap E= \{33; 42; 51\}

 DF={11;31;41;43;53;61}\ D \cap F= \{11; 31; 41; 43; 53; 61\}

 EF={}\ E \cap F= \{\}

Paarweise Unvereinbarkeiten sind also bei:  AC\ A \cap C,  CF\ C \cap F,  EF\ E \cap F

Beschreibe folgende Ereignisse in Worten: G = {11; 21; 22} H = {22; 42; 44; 62; 64; 66}

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Ereignis und Ergebnisraum

G: Beide Würfel zeigen höchstens 2.

H: Beide Würfel zeigen eine gerade Zahl.