Die Mächtigkeit einer Menge MM mit endlich vielen Elementen ist die Anzahl ihrer Elemente. Man schreibt für die Mächtigkeit einer Menge MM entweder M|M| oder #M\#M. Beispiel: Die Menge {2,3,5,7}\{2,3,5,7\} aller einstelligen Primzahlen besitzt 44 Elemente. Es ist damit:
{2,3,5,7}=4\displaystyle |\{2,3,5,7\}|=4
Falls zwei Mengen MM und NN gleich viele Elemente besitzen, wenn also M=N\left|M\right|=\left|N\right| gilt, dann nennt man die Mengen gleichmächtig.
Falls MM unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich \infty. So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen N\mathbb N unendlich und wir schreiben N=|\mathbb N| = \infty.
Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment in die Menge „Ergebnisraum“ Ω\Omega zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums Ω|\Omega| ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Beispiele

Die Menge aller Mitgliedsstaaten der europäischen Union besteht aus 28 Staaten.
Abbildung: Die Menge EE aller Mitgliedsstaaten der europäischen Union besteht aus 28 Staaten. Damit ist E=28|E|=28.
  • A={Baum,  Busch,  Blatt}=3|A|=\left|\left\{\mathrm{Baum},\;\mathrm{Busch},\;\mathrm{Blatt}\right\}\right|=3
  • B={1,2,100,30}=4|B|=\left|\left\{1,2,100,30\right\}\right|=4
  • C={1,1,1,1,2}=2|C|=\left|\left\{1,1,1,1,2\right\}\right|=2 , da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!
  • D=AB={Baum,Busch,Blatt,1,2,100,30}=3+40=7|D|=|A\cup B|=|\{\mathrm{Baum}, \mathrm{Busch}, \mathrm{Blatt}, 1,2,100,30\}|= 3+4-0=7

Rechenregeln

  • MN=M+NMN\left|M\cup N\right|=\left|M\right|+\left|N\right|-|M\cap N|. Vergleiche dazu: Mengenlehre.
  • M×N=MN\left|M \times N\right|=\left|M\right|\cdot\left|N\right|. Vergleiche dazu: Kartesisches Produkt.

Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge AA, ist: P(A)=2A\mathcal P(A)=2^{\left|A\right|}. Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.

Für die Beispielaufgaben benötigst du Wissen aus dem Artikel Mengenlehre.
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Zu article Mächtigkeit:
jbs 2017-05-29 08:36:50+0200
Ich habe eine Frage zur Lösung der zweiten Aufgabe aus a): Muss die Lösung nicht 1 lauten? 3 ist eine Primzahl und durch 3 teilbar, oder habe ich etwas übersehen?
LeaFa 2017-05-31 13:22:54+0200
Vielen Dank für deinen Kommentar! Da haben wir wohl einen kleinen Fehler gemacht, ich habe ihn jetzt aber direkt ausgebessert.