Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

Es wird ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 geworfen. Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird, für alle Augenzahlen gleich ist, spricht man hier von einem Laplace-Experiment. Einen solchen Würfel bezeichnet man oft auch als Laplace-Würfel.

Bild Quelle: Wikipedia

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Elementarereignisse

Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses %%\omega%% (griechischer Buchstabe für klein-"Omega") immer gleich:

%%P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}%%

Das folgt daraus, dass es %%|\Omega|%% (groß-"Omega") viele Elementarereignisse gibt und die Summe deren Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ergibt, wie man sehr leicht sieht, %%1%%.

Beispiel

Bei einem Würfel gibt es 6 Elementarereignisse nämlich die Zahlen eins bis sechs zu würfeln. Dabei haben die einzelnen Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit %%\frac{1}{6}%%, d.h. %%P(\omega)=\frac16%% für alle %%\omega \in \Omega%%, wobei %%\Omega=\left\{1,2,...,6 \right\}%%.

Wofür steht %%P(\omega)=\frac16%% für alle %%\omega \in \Omega%%, wobei %%\Omega=\left\{1,2,...,6 \right\}%%?

Dies ist eine Kurzschreibweise für:

%%P(\left\{1\right\})=P(\left\{2\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=P(\left\{6\right\})=\frac16%%

Allgemeines Ereignis

In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, das aus mehreren Elementarereignissen besteht,

$$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}$$

Dabei ist %%\left|A\right|%% die Anzahl der Elementarereignisse in %%A%% und %%\left|\Omega\right|%% die Gesamtanzahl der Elementarereignisse: 

$$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{\text{Anzahl der Elementarereignisse in A}}{\text{Gesamtzahl der Elementarereignisse}}$$

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ist daher ein großes Anwendungsgebiet der Kombinatorik, da diese sich genau mit dem Abzählen von bestimmten Ereignissen beschäftigt.

Beispiel

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und %%A=%%"eine gerade Augenanzahl wird gewürfelt".
Dann ist

%%\begin{array}{l}A=\{2,4,6\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|A\right|=3\\\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}%%

und somit

$$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac36=\frac12$$

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Zu article Laplace-Experiment: Fehler in zwei der Aufgaben
SebSoGa 2016-08-10 12:05:32
Liebes Serlo-Team
Mir sind 2 kleine Fehler in den Aufgaben aufgefallen

1. Im Abschnitt "Elementarereignisse": Bei der Aufgabe mit der Urne und den 8 Kugeln sind die Kugeln alle nicht unterscheidbar, weshalb meiner Meinung nach die Lösung gleich 1 sein müsste.

2. Im Abschnitt "Allgemeines Ereignis": die letzte Aufgabe (2x Wurf eines Laplacewürfels) ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein mal die 3 fällt doch gleich 11/36 ( das Ereignis 3/3 wurde doppelt gezählt).

Stimmen meine Bemerkungen? oder habe ich da Denkfehler drin?

Viele Grüße
Sebastian
Renate 2016-08-10 14:31:20
Bei 2. gebe ich dir recht, bei 1. würde ich eher sagen: Das Bild ist falsch, nicht die Lösung.

Denn wenn ich im Text der Aufgabe lese "Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 8 Kugeln", dann würde ich automatisch an 8 unterscheidbare Kugeln denken
- insbesondere wenn es zudem heißt "Gib die Wahrscheinlichkeit DER ElementarereignissE an". Bei acht gleichen Kugeln gäbe es ja, wenn ich deine Argumentation richtig verstehe, nur EIN mögliches Ergebnis, und somit auch nur EIN Elementarereignis.

Übrigens: Wäre ein solches Experiment (d.h. mit nur einem möglichen Ergebnis) damit dann eigentlich überhaupt noch ein Zufallsexperiment?
Meiner Meinung nach nicht - denn schließlich ist das Ergebnis dann ja vorherbestimmt und somit nicht mehr zufallsabhängig.

Gruß
Renate
Nish 2016-08-10 15:03:57
Hallo Sebastian,

zu 1.: Du hast natürlich Recht. Es sollten 8 unterscheidbare Kugeln sein. Daher ist es natürlich nicht ideal, dass sie alle die gleiche Farbe haben. Ich würde dann die Kugeln einfach nummerieren und/oder in die Angabe "8 unterscheidbare Kugeln" schreiben.

zu 2.: Ja, ich habe die 3/3 doppelt gezählt. Ich hatte einen Denkfehler drin... Ich ändere gleich die Lösung.

Danke für dein Feedback.

LG,
Nish
Nish 2016-08-10 15:15:01
@Renate:
Ich habe dein Kommentar erst nach dem Abschicken meines Kommentars gesehen. Ich stimme dir natürlich zu.
Zu deiner Frage: Aus meiner Sicht ist es dann auch kein Zufallsexperiment mehr.
Frage an dich/Einschätzung deinerseits: Würdest du die Kugeln nummerieren oder doch nur in den Text oder vllt. sogar nur in die Lösung schreiben, dass es sich hier um unterscheidbare Kugeln handelt? Der Schüler sollte ja auch drauf kommen, dass es sich hier um unterscheidbare Kugeln handelt. Dann würde ich es in der Lösung einfach ausführlicher erklären und die Angabe und das Bild so lassen.

Weitere Möglichkeit: Einen Tipp hinzufügen.

LG,
Nish
Renate 2016-08-11 10:03:24
@nish: Am besten fände ich es, im Bild die Kugeln unterscheidbar zu machen - am besten mit unterschiedlichen Farben / unterschiedlicher Gestaltung (gestreift, gepunktet, o. ä. wenn die Farben nicht ausreichen).

Aber falls das nicht geht / man das nicht möchte: Wie wäre es damit, einfach das Bild ganz wegzulassen? Schließlich sollte der Schüler doch normalerweise bereits mit dem Text alleine die Aufgabe lösen können.

Gruß
Renate
Nish 2016-09-08 12:42:07
@sebastian, @renate: Habe mich entschieden, das Bild wegzulassen.

LG,
Nish
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Zu article Laplace-Experiment: Beispiel 2. B
therry 2015-10-21 18:04:47
Ich verstehe nicht warum man das da alles gleich mal 3 rechnen muss... Weil es ist doch eigentlich egal ob Wurf 1,Wurf 2 oder Wurf 3 die 6 hat,oder?
Nish 2015-10-21 20:43:26
Hallo therry,
ich gehe mal davon aus, dass es sich bei der Aufgabe um 3 unterscheidbare L-Würfel handelt , dann musst du beachten, ob die 6 beim 1ten, 2ten oder beim 3ten Würfel fällt. Also musst du mal drei rechnen, sonst fehlen dir einfach . Gehst du aber von drei nicht unterscheidbaren Würfeln aus, dann musst du natürlich nicht mal 3 rechnen, da es egal ist, wo die 6 plaziert ist . Da nichts angegeben ist, gehe ich von drei unterscheidbaren L-Würfeln aus. Hilft dir das?
LG, Nish