Die Binomialverteilung beschreibt Wahrscheinlichkeiten von Bernoulli-Ketten, also einer Folge von Bernoulli-Experimenten.

Will man die Wahrscheinlichkeit von %%k%% Treffern eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit %%p%% in einer Bernoulli-Kette der Länge %%n%% berechnen, benutzt man:

%%B\; (n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}%%

Herleitung der Formel

Beispiel: Ein Würfel wird zehn mal geworfen und festgestellt, ob eine Sechs gewürfelt wurde.

%%\rightarrow%% "eine Sechs würfeln" bezeichnet man als Treffer %%k%%. Die Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu landen, ist %%p=\frac16%%. Dass zehn mal gewürfelt wird, notieren wir mit %%n=10%%.

Man kann sich überlegen, wie eine Reihe von zehn Würfen mit vier Sechsen aussehen kann:

z.B.:

%%6,6,6,6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6}%%

wobei %%\overline{6}%% "nicht Sechs" bedeutet.

oder:

%%\overline{6},6,6,6,6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6}%%

also die vier Sechsen zusammen "eins nach rechts" verschoben.

oder:

%%6,\overline{6},6,\overline{6},6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},6,\overline{6}%%

Alle Möglichkeiten aufzuzählen dauert lange. Sehr lange. Schneller geht es, wenn man sich direkt die Wahrscheinlichkeiten betrachtet.

Die Wahrscheinlichkeit für den oben als erstes aufgelisteten Fall ist:


Die Wahrscheinlichkeit für den zweiten ist:


und für den dritten:

%%\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56=\left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6%%


%%\frac56\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56=\left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6%%


%%\frac16\cdot\frac56\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac16\cdot\frac56=\left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6%%

Kurz: alle möglichen Fälle haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich %%\left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6%%.
Es bleibt nur die Frage, wieviele Fälle es gibt!

%%\rightarrow%% Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 aus 10 auszuwählen? %%\Rightarrow \binom{10}{4}=\displaystyle\frac{10!}{4!\cdot(10-4)!}=210%%


Insgesamt sieht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit also so aus:

%%P(\text{"4 mal 6 in 10 Würfen"})=\binom{10}{4}\cdot\left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6=:B(10,\frac16,4)%%

Allgemein: %%B(n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}%%

Erwartungswert und Varianz

  • Erwartungswert bei Bernoulli: $$\mathrm E(X)\;=\;n\;\cdot\;p$$

  • Varianz  bei Bernoulli: $$\mathrm V(X)\;=\;n\;\cdot\;p\;\cdot\;(1-p)$$

Beispiele für Aufgabentypen 

Im Folgenden sei %%n=4%% und %%p=\frac13%%. Berechne die Wahrscheinlichkeit für…

1.  …genau zwei Treffer:

%%B\;(4;\frac13;2)=\binom 42\cdot\left(\frac13\right)^2\cdot\left(\frac23\right)^2\approx0,296%%

2. …höchstens zwei Treffer: %%\;%%

%%B(4;\frac13;k\leq2)=\binom 40\cdot\left(\frac13\right)^0\cdot\left(\frac23\right)^4+\binom 41\cdot\left(\frac13\right)^1\cdot\left(\frac23\right)^3+\binom 42\cdot\left(\frac13\right)^2\cdot\left(\frac23\right)^2\approx0,889%%

3. …mindestens zwei Treffer:

%%B(4;\frac13;k\geq2)=1- B(4;\frac13;k<2)= 1- B(4;\frac13;k\leq 1)=1-\binom 40\cdot\left(\frac13\right)^0\cdot\left(\frac23\right)^4-\binom 41\cdot\left(\frac13\right)^1\cdot\left(\frac23\right)^3\approx0,407%%

4. …mehr als zwei Treffer:

%%B(4;\frac13;k>2)=1- B(4;\frac13;k\leq 2)\approx 0,111%%

5. …weniger als zwei Treffer:

%%B(4;\frac13;k<2)=\mathrm B(4;\frac13;k\leq 1)\approx 0,593%%

6. …mehr als einer und weniger als vier Treffer:

%%B(4;\frac13;1<k<4)= B(4;\frac13;1< k\leq 3)%% %%= B(4;\frac13;k\leq 3)- B(4;\frac13;k\leq 1)\approx0,395%%

Beispielaufgaben
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Zu article Binomialverteilung:
Hauke 2017-11-30 20:57:16
zu "Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 aus 10 auszuwählen?" wäre ein Link zu Kombinatorik (https://de.serlo.org/mathe/stochastik/kombinatorik/kombinatorik) sicher gut, falls nicht klar ist, was der Binomialkoeffizient bedeutet.
Hauke 2017-11-30 20:59:10
tschuldigung, noch besser ein Link zum Binomialkoeffizienten: https://de.serlo.org/mathe/stochastik/grundbegriffe-und-methoden/binomialkoeffizienten/binomialkoeffizient
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