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Varianz

Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen XX von ihrem Erwartungswert μ\mu in der Stochastik.

Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen zum Erwartungswert.

Die Varianz einer Zufallsgröße ist eng mit ihrer Standardabweichung verknüpft.

Berechnung für diskrete Zufallsvariablen

Für eine diskrete Zufallsgröße XX mit Erwartungswert μ\mu, Werten x1,x2,,xnx_1,x_2,…,x_n und deren Wahrscheinlichkeiten P(X=xi)P(X=x_i) berechnet man die Varianz, die man normalerweise mit V(X)V(X) oder σ2\sigma^2 bezeichnet, wie folgt.

V(X)=P(X=x1)(x1μ)2+P(X=x2)(x2μ)2++P(xn)(xnμ)2=i=1nP(X=xi)(xiμ)2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c c l}V(X) & = & P(X=x_1)\cdot(x_1-\mu)^2+P(X=x_2)\cdot(x_2-\mu)^2+\dots+P(x_n)\cdot(x_n-\mu)^2\\&=& \sum\limits_{i=1}^{n}P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2\end{array}

Die Varianz berechnet sich also als Summe der Produkte von Wahrscheinlichkeit der Werte mit dem quadratischen Abstand zum Erwartungswert.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße XX sind genau die Summe der Augenzahlen.

Der Erwartungswert ist μ=7\mu=7.

xx

P(X=x)P(X=x)

22

136\frac{1}{36}

33

236\frac{2}{36}

44

336\frac{3}{36}

55

436\frac{4}{36}

66

536\frac{5}{36}

77

636\frac{6}{36}

88

536\frac{5}{36}

99

436\frac{4}{36}

1010

336\frac{3}{36}

1111

236\frac{2}{36}

1212

136\frac{1}{36}

Damit ergibt sich für die Varianz für dieses Experiment:

V(X)=136(27)2+236(37)2+336(47)2+436(57)2+536(67)2+636(77)2+536(87)2+436(97)2+336(107)2+236(117)2+136(127)2=5,83\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c c l} \text V( X)& = & \frac{1}{36}\cdot(2-7)^2\\&&+\frac{2}{36}\cdot(3-7)^2\\&&+\frac{3}{36}\cdot(4-7)^2\\&&+\frac{4}{36}\cdot(5-7)^2\\&&+\frac{5}{36}\cdot(6-7)^2\\&&+\frac{6}{36}\cdot(7-7)^2\\&&+\frac{5}{36}\cdot(8-7)^2\\&&+\frac{4}{36}\cdot(9-7)^2\\&&+\frac{3}{36}\cdot(10-7)^2\\&&+\frac{2}{36}\cdot(11-7)^2\\&&+\frac{1}{36}\cdot(12-7)^2\\ & = & 5{,}8\overline 3\end{array}

Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahlsumme beim Werfen von zwei Würfeln ist also etwa 5,835{,}83.

Berechnung für stetige Zufallsvariablen

Für eine stetige Zufallsvariable XX mit Erwartungswert μ\mu, Werten in [a,b][a,b] und Dichtefunktion ff berechnet man die Varianz, die man auch hier mit V(X)V(X) oder σ2\sigma^2 bezeichnet, wie folgt.

V(X)=ab(xμ)2f(x)dx\displaystyle V(X)=\int\limits_a^b (x-\mu)^2\cdot f(x)\,\mathrm dx

Die Varianz berechnet sich also als Integral über das Produkt des mittleren quadratischen Abstands zum Erwartungswert und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn wird mit folgender Dichtefunktion (xx ist die Minute, in der die U-Bahn eintrifft) angegeben. Der Erwartungswert ist μ=0,83 min\mu=0{,}8\overline{3}\ \min (=50= 50 Sekunden).

Die Verspätung einer U-Bahn wird mit folgender Dichtefunktion (xx ist die Minute, in der die U-Bahn eintrifft) angegeben. Der Erwartungswert ist μ=0,83 min\mu=0{,}8\overline{3}\ \min (=50= 50 Sekunden).

f(x)={0,80,32x fu¨0x2,50 sonstf(x)=\begin{cases}0{,}8-0{,}32x & \text{ für } & 0\leq x\leq2{,}5\\0 & \text { sonst} \end{cases}

bild

Daraus ergibt sich für die Varianz dieses Experiments:

V(X)=02,5(xμ)2f(x)dx=02,5(x0,83)2(0,80,32x)dx=0,3472.\displaystyle V(X)=\int\limits_0^{2{,}5} (x-\mu)^2\cdot f(x)\,\mathrm dx=\int\limits_0^{2{,}5}(x-0{,}8\overline3)^2\cdot(0{,}8-0{,}32x)\,\mathrm dx=0{,}347\overline 2.

Im quadratischen Mittel weicht die Verspätung der U-Bahn also um 0,34720{,}347\overline2 Minuten, das sind etwa 21 Sekunden, von der erwarteten Verspätung ab.

Rechenregeln

  • Varianz von Summen von Zufallsvariablen. XX und YY sind hier zwei verschiedene Zufallsvariablen. V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)

  • Linearität: aa und bb sind hier Konstanten und XX eine Zufallsvariable. V(aX+b)=a2V(X)V(a\cdot X+b)=a^2\cdot V(X), also auch V(aX)=a2V(X)V(a\cdot X)=a^2\cdot V(X) und V(b)=0V(b)=0

Wichtige Varianzen

Verteilung

Dichte und Erwartungswert

Varianz

f(k)={pfu¨rk=11pfu¨rk=0f(k)=\begin{cases}p & \text{für}&k=1\\1-p&\text{für}&k=0\end{cases};

μ=p\mu=p

p(1p)p\cdot(1-p)

B(n;p;k)=(nk)pk(1p)nk\displaystyle\text B(n;p;k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k};

μ=np\mu=n\cdot p

np(1p)n\cdot p\cdot(1-p)

N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2) ;

μ\mu ist Erwartungswert.

(Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird bereits mit der Varianz angegeben.)

σ2\sigma^2

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Varianz und Standardabweichung

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