Der Erwartungswert ist ein Wert in der Stochastik und kommt im Zusammenhang mit Zufallsgrößen vor. Man kann sagen, der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments.

Er sollte jedoch nicht mit dem arithemtischen Mittel verwechselt werden.

Zum Beispiel erwartet man beim 6-maligen Werfen eines fairen Würfels einmal die Zahl "5".

Berechnung

Formel

Für eine diskrete Zufallsgröße %%\text{X}%% mit Werten %%x_1,x_2\dots,x_n%% und deren Wahrscheinlichkeiten %%\text{P}(\text{X}=x_i)%% berechnet man den Erwartungswert, den man normalerweise mit %%\text E (\text X )%% oder %%\mu%% bezeichnet, wie folgt.

%%\displaystyle \begin{array}{c c l} \text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i) \end{array}%%

Der Erwartungswert berechnet sich also als Summe der Produkte von Wert und dessen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße %%\text X%% sind genau die die Summe der Augenzahlen.

%%\displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c} x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline \text P(\text X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{array}%%

Damit ergibt sich für den Erwartungswert für dieses Experiment.

%%\displaystyle \begin{array}{c c l} \text E(\text X)& = & 2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}\\ & & +\,8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}\\ & = & 7 \end{array}%%

Dies bedeutet also, dass man beim Werfen von zwei fairen Würfeln im Mittel eine "7" würfelt.

Formel

Für eine stetige Zufallsvariable %%\text X%% mit Werten in %%[\text a,\text b]%% und Dichtefunktion %%f%% berechnet man den Erwartungswert, den man auch hier mit %%\text E(\text X)%% oder %%\mu%% bezeichnet, wie folgt.

%%\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_{a}^{b}x\cdot f(x)\text dx%%

Der Erwartungswert berechnet sich also als Integral über das Produkt der Ergebnisse und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn sei mit folgender Dichtefunktion (%%x%% ist die Minute in der die U-Bahn eintrifft) gegeben

%%f(x)=\begin{cases} 0,8-0,32x & \text{ für } & 0\leq x\leq2,5\\ 0 & \text { für } & \text{sonst} \end{cases}%%

Please don't use injections for images. Change >[...](...) to ![...](...)

Daraus ergibt sich für den Erwartungswert dieses Experimentes

%%\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_0^{2,5}x\cdot f(x)\text{d}x=\int\limits_0^{2,5}x\cdot(0,8-0,32x)\,\text dx=0,8\overline{3}%%

Das bedeutet die UBahn hat im Schnitt %%0,8\overline3%% Minuten, das sind %%50%% Sekunden, Verspätung.

Rechenregeln

  • Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen. X und Y sind hier zwei verschieden Zufallsvariablen.

%%\text E(\text X+\text Y)=\text E(\text X)+\text E(\text Y)%%

Allgemeine Formel

Für die Summe von n verschiedenen Zufallsvariablen %%\text X_i%% gilt:

%%\displaystyle\text E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\text X_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\text E\left(\text X_i\right)%%

  • Linearität: %%c%% und %%d%% sind hier Konstanten und %%\text X%% eine Zufallsvariable.

%%\text E(c\cdot\text X+d)=c\cdot\text E(\text X)+d%%, also auch

%%\text E(c\cdot\text X)=c\cdot\text E(\text X)%% und

%%\text E(d)=d\\%%

  • Erwartungswert von Produkten von unabhängigen Zufallsvariablen. %%\text X%% und %%\text Y%% sind hier unabhängige Zufallsvariablen.

%%\text E(\text X\cdot\text Y)=\text E(\text X)\cdot\text E(\text Y)%%

Allgemeine Formel

Für n voneinander unabhängige Zufallsgrößen %%\text X_i%% gilt:

%%\displaystyle\text E\left(\prod\limits_{i=1}^{n}\text X_i\right)=\prod\limits_{i=1}^{n}\text E(\text X_i)%%

Wichtige Erwartungswerte

Verteilung

Dichte

Erwartungswert

%%f(k)=\begin{cases}p & \text{für}&k=1\\1-p&\text{für}&k=0\end{cases}\\%%

%%p%%

%%\displaystyle\text B(n;p;k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}%%

%%n\cdot p%%

%%\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)%%

%%\mu%%

Bemerkung

Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird bereits mit dem Erwartungswert angegeben.

Beispielaufgabe

Kommentieren Kommentare