Aufgaben

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

Zu text-exercise-group 5813:
Nish 2017-12-09 12:31:44+0100
Alle Teilaufgaben sollten mal nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
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%%\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}%%

Definitionsbereich bestimmen

Artikel zum Thema

%%\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}%%

 

  %%D_f=ℝ\backslash\left\{0;-1;2\right\}%%

 

Lösungsmenge bestimmen

 

%%\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}%%

Auf den Hauptnenner %%x(x+1)(x-2)%% erweitern.

%%\displaystyle\frac{30(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}-\frac{16x(x-2)}{x(x+1)(x-2)}=\frac{13x(x+1)}{x(x+1)(x-2)}%%

Mit dem  Hauptnenner %%x(x+1)(x-2)%% multiplizieren.

%%30(x+1)(x-2)-16x(x-2)=13x(x+1)%%

%%30(x^2-2x+x-2)-16x^2+32x=13x^2+13x%%

%%30x^2-60x+30x-60-16x^2+32x=13x^2+13x%%

Terme zusammenfassen.

%%14x^2+2x-60=13x^2+13x%%     

%%\left|-13x^2-13x\right.%%

%%x^2-11x-60=0%%

Die Diskriminante bestimmen.

%%D=121+240=361%%

%%361>0 =>%% zwei Lösungen

Die Mitternachtsformel anwenden.

%%\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}=\frac{11+\sqrt{361}}2=15%%

%%\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}=\frac{11-\sqrt{361}}2=-4%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=\;\left\{-4;\;15\right\}%%

%%\displaystyle\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4%%

Definitionsmenge bestimmen

Artikel zum Thema

%%\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4%%

 

  %%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

 

Lösungsmenge bestimmen

 

%%\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4%%

Auf den Hauptnenner %%4x%% erweitern.

%%\frac{4\cdot4}{4x}-\frac{x\cdot x}{4x}=\frac{8\cdot4}{4x}-\frac{3x^2}{4x}%%

%%\left|\cdot4x\right.%%

%%16-x^2=32-3x^2%%

%%\left|-32+3x^2\right.%%

%%2x^2-16=0%%

%%\left|+16\right.%%

%%2x^2=16%%

%%\left|:2\right.%%

%%x^2=8%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%x_1=\sqrt8\approx2,8%%

%%x_2=-\sqrt8\approx-2,8%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=\left\{-2,8;2,8\right\}%%

x+1x1x1x+1=x2x21\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}
Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.
x+1x1x1x+1=x2x21\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}
Df=R\{1;1}D_f=ℝ\backslash\left\{-1;1\right\}

Lösungsmenge bestimmen

x+1x1x1x+1=x2x21\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}
Auf den Hauptnenner (x1)(x+1)(x-1)(x+1) erweitern.
(x+1)(x+1)(x1)(x+1)(x1)(x1)(x+1)(x1)=x2x21\frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2}{x^2-1}
(x1)(x+1)\left|\cdot\right.(x-1)(x+1)
Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
(x+1)2(x1)2=x2(x+1)^2-(x-1)^2=x^2
Binomische Formeln anwenden.
x2+2x+1x2+2x1=x2x^2+2x+1-x^2+2x-1=x^2
x2+4x=0-x^2+4x=0
Diskriminante bestimmen.
D=16D=16
16>0=>16>0 => zwei Lösungen
Mitternachtsformel anwenden
x1=4+42=0x_1=\frac{-4+4}{-2}=0
x2=442=4x_2=\frac{-4-4}{-2}=4
        L={0;4}\;\;\Rightarrow\;\;L=\left\{0;4\right\}


Videolösung

Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:

%%\frac x{x^2-4x}=2%%

Definitionsbereich bestimmen

Für diese Aufgabe musst du den Defintionsbereich bestimmen.

%%\frac x{x^2-4x}=2%%

Den Nenner gleich %%0%% setzen.

%%x^2-4x=0%%

Den Faktor %%x%% ausklammern.

%%x\left(x-4\right)=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\left\{0;4\right\}%%

 

Lösungsmenge bestimmen

Es handelt sich hier um eine sog. Quadratische Gleichung.

%%\frac x{x^2-4x}=2%%

Klammere %%x%% im Nenner wieder aus und kürze.

%%\frac x{x\cdot(x-4)}=\frac1{x-4}=2%%

%%\frac1{x-4}=2%%

%%\vert\ \cdot(x-4)%%

%%1 = 2 \cdot (x-4)%%

Ausklammern.

%%1 = 2x-8%%

%%\vert+8%%

%%9=2x%%

%%\vert:2%%

%%\frac92=x%%

%%\;\;\Rightarrow\;L=\left\{\frac92\right\}%%

 

%%\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}%%

Definitionsbereich bestimmen

Für diese Aufgabe musst du den Defintionsbereich bestimmen.

%%\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}%%

Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.

%%\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x+2}{(x+2)^2}%%

Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken.

%%(x-2)\cdot(x+2)=0 \Leftrightarrow x=2 \, \text{oder} \, x=-2%%

Der Nenner rechts

%%(x+2)^2=0 \Leftrightarrow x=-2%%

%%\Rightarrow%% Die Defintionslücken sind also bei %%+2%% und %%-2%%.

%%\Rightarrow D_f=ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}%%

Lösungsmenge bestimmen

%%\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x+2}{(x+2)^2}%%

Kürze auf beiden Seiten.

%%\frac1{x+2}=\frac1{x+2}%%

$$\left|\cdot(x+2)\right.$$

%%1=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=D=ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}%%

d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

Du hast die Bruchgleichung:
4x1+5x=3x+1\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}
gegeben. Löse diese Bruchgleichung.
12\frac 1 2
53-\frac{5}{3}
45\frac 4 5
-32\frac 3 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen

Die Lösung dieser Aufgabe kannst du im folgenden Text lesen oder einem Video weiter unten ansehen.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner 00 werden würde. Man darf nämlich nicht durch 00 teilen.
Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich 00:
Nenner des ersten Bruchs
x1=0x-1=0
+1|+1

x=1x=1
Also wird dieser Nenner 00 für x=1x=1

Der Nenner des zweiten Bruchs
x=0x=0
Also wird dieser Nenner 00 für x=0x=0

Der Nenner des dritten Bruchs
x+1=0x+1=0
1|-1

x=1x=-1
Also wird dieser Nenner 00 für x=1x=-1

Du erkennst also, dass hier 1-1, 00 und 11 die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.
Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:
D=Q\{1,0,1}D=\mathbb{Q}\backslash\left\{-1,0,1\right\}.

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners.

4x1+5x=3x+1\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}
wird zu:
4x(x+1)(x1)x(x+1)+5(x1)(x+1)x(x1)(x+1)=3x(x1)(x+1)x(x1)\displaystyle\frac{4\cdot x\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot x\cdot(x+1)}+\frac{5\cdot(x-1)\cdot(x+1)}{x\cdot(x-1)\cdot(x+1)}=\frac{3\cdot x\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot x\cdot(x-1)}
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:
4x(x+1)+5(x1)(x+1)=3x(x1)\displaystyle4\cdot x\cdot(x+1)+5\cdot(x-1)\cdot(x+1)=3\cdot x\cdot(x-1)
Ausmultiplizieren der Klammern
4x2+4x+5x25=3x23x3x2+3x\begin{array}{rr} 4\cdot x^2+4x+5\cdot x^2-5=3\cdot x^2 -3\cdot x &|-3\cdot x^2 +3\cdot x \end{array}
6x2+7x5=0\displaystyle6\cdot x^2+7\cdot x-5=0

Gleichung lösen

Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:
x1,2=7±7246(5)26=7±49+12026=7±16912=7±1312\displaystyle x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot6\cdot(-5)}}{2\cdot6}=\displaystyle \frac{-7\pm\sqrt{49+120}}{2\cdot6}=\frac{-7\pm\sqrt{169}}{12}=\frac{-7\pm13}{12}
Die möglichen Lösungen sind also:
x1=7+1312=612=12\displaystyle x_1=\frac{-7+13}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}
x2=71312=2012=53\displaystyle x_2=\frac{-7-13}{12}=-\frac{20}{12}=-\frac{5}{3}
Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.
Der Definitionsbereich ist D=Q\{1,0,1}D=\mathbb{Q}\backslash\left\{-1,0,1\right\} und 12\frac{1}{2}, genauso wie 53-\frac{5}{3} liegen in DD.
Also sind 12\frac{1}{2} und 53-\frac{5}{3} die Lösungen der Bruchgleichung 4x1+5x=3x+1\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}.

Lösung der Aufgabe in einem Video

Du kannst in folgendem YouTube-Video die Lösung von Robert Plötz auch nachvollziehen:
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
52x=x2x4\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}
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