Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen

Wie gut kennst du dich mit Bruchgleichungen aus? Lerne Bruchgleichungen zu lösen, die nach Auslösen des Hauptnenners zu quadratischen Gleichungen werden!

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$\displaystyle \frac{30}{x}-\frac{16}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{x-2}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0;-1;2\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\displaystyle \frac{30}{x}-\frac{16}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{x-2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x(x+1)(x-2)$ erweitern.
$\displaystyle \displaystyle\frac{30(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}-\frac{16x(x-2)}{x(x+1)(x-2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{13x(x+1)}{x(x+1)(x-2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x(x+1)(x-2)$ multiplizieren.
$\displaystyle 30\left(x+1\right)\left(x-2\right)-16x\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 13x\left(x+1\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 30\left(x^2-2x+x-2\right)-16x^2+32x$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 30x^2-60x+30x-60-16x^2+32x$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$
	↓	Terme zusammenfassen
$\displaystyle 14x^2+2x-60$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$	$\displaystyle -13^2-13x$
$\displaystyle x^2-11x-60$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 121+240=631$
	↓	$361>0 =>$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-b+\sqrt D}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11+\sqrt{361}}{2}=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11-\sqrt{361}}{2}=-4$
$\displaystyle ⇒\ L$	$=$	$\displaystyle \left\{-4;15\right\}$

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$\displaystyle\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4$

$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

$\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-1;1\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x-1)(x+1)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}$	$\displaystyle \cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$\displaystyle \left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle x^2$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$\displaystyle x^2+2x+1-x^2+2x-1$	$=$	$\displaystyle x^2$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle -x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	$16>0 =>$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-4+4}{-2}=0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-4-4}{-2}=4$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;L$	$=$	$\displaystyle \left\{0;4\right\}$

Alternativ kann die Gleichung $-x^2+4x=0 \;\Rightarrow\;x(-x+4)=0$ auch mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

$x=0 \;\text{oder}\; x=4\;\Rightarrow\;L=\left\{0;4\right\}$

Videolösung

Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:

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[https://youtu.be/dUsXwi-PIR4]

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$\frac x{x^2-4x}=2$

$\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}$

2
Du hast die Bruchgleichung:
$\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}$
gegeben. Löse diese Bruchgleichung.
$\frac 1 2$
$-\frac{5}{3}$
$\frac 4 5$
- $\frac 3 2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
Die Lösung dieser Aufgabe kannst du im folgenden Text lesen oder einem Video weiter unten ansehen.
Definitionsmenge bestimmen
Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.
Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $0$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $0$ teilen.
Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $0$ :
Nenner des ersten Bruchs
$\displaystyle x-1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +1$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1$
↓
Also wird dieser Nenner 0 für x=1
Der Nenner des zweiten Bruchs:
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 0$
↓
Also wird dieser Nenner 0 für x=0
Der Nenner des dritten Bruchs:
$\displaystyle x+1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -1$
↓
Also wird dieser Nenner $0$ für $x=-1$
Du erkennst also, dass hier $-1$ , $0$ und $1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.
Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:
$D=\mathbb{Q}\backslash\left\{-1{,}0,1\right\}$ .
Gleichung bruchterm-frei machen
Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners.
$\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}$
wird zu:
$\displaystyle\frac{4\cdot x\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot x\cdot(x+1)}+\frac{5\cdot(x-1)\cdot(x+1)}{x\cdot(x-1)\cdot(x+1)}=\frac{3\cdot x\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot x\cdot(x-1)}$
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:
$\displaystyle4\cdot x\cdot(x+1)+5\cdot(x-1)\cdot(x+1)=3\cdot x\cdot(x-1)$
Ausmultiplizieren der Klammern
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr} 4\cdot x^2+4x+5\cdot x^2-5=3\cdot x^2 -3\cdot x &|-3\cdot x^2 +3\cdot x \end{array}$
$\displaystyle6\cdot x^2+7\cdot x-5=0$
Gleichung lösen
Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:
$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot6\cdot(-5)}}{2\cdot6}=\displaystyle \frac{-7\pm\sqrt{49+120}}{2\cdot6}=\frac{-7\pm\sqrt{169}}{12}=\frac{-7\pm13}{12}$
Die möglichen Lösungen sind also:
$\displaystyle x_1=\frac{-7+13}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle x_2=\frac{-7-13}{12}=-\frac{20}{12}=-\frac{5}{3}$
Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.
Der Definitionsbereich ist $D=\mathbb{Q}\backslash\left\{-1{,}0,1\right\}$ und $\frac{1}{2}$ , genauso wie $-\frac{5}{3}$ liegen in $D$ .
Also sind $\frac{1}{2}$ und $-\frac{5}{3}$ die Lösungen der Bruchgleichung $\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}$ .
Lösung der Aufgabe in einem Video
Du kannst in folgendem YouTube-Video die Lösung von Robert Plötz auch nachvollziehen:

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

Defintionsmenge bestimmen

Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$

$2-x=0 \Leftrightarrow x=2$

$2x-4=0\Leftrightarrow x=2$

Damit ist die Definitionsmenge: $D=\mathbb{Q}\backslash\{2\}$

Bruchgleichung lösen

Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.

$\displaystyle \frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}$	$=$	$\displaystyle \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$	$\displaystyle \cdot (2-x) \|\cdot (2x-4)$
$\displaystyle 5\cdot (2x-4)$	$=$	$\displaystyle x\cdot (2-x)$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 10x-20$	$=$	$\displaystyle 2x-x^2$
	↓	Alles auf eine Seite bringen und somit 0 setzen.
$\displaystyle x^2+8x-20$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mit der Mitternachtsformel lösen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm 12}{2}$
	↓	Beide Werte für $x$ ausrechnen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -10$

Da $2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: $\mathbb L=\{-10\}$ .

Alternative Lösung

Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}$

$\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle -2(2-x)}$

Der Hauptnenner ist damit $-2\cdot(2-x)$ . Mit diesem werden beide Seiten multipliziert und die Brüche gekürzt.

$\displaystyle 5\cdot (-2)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Ausrechnen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -10$

Da $-10$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

$L=\{-10\}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{4}{x}-\frac{x}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{x}-\frac{3x}{4}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4x$ erweitern
$\displaystyle \frac{4\cdot4}{4x}-\frac{x\cdot x}{4x}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\cdot4}{4x}-\frac{3x^2}{4x}$	$\displaystyle \cdot4x$
$\displaystyle 16-x^2$	$=$	$\displaystyle 32-3x^2$	$\displaystyle -32\ +3x^2$
$\displaystyle 2x^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \left\|\sqrt{\;\;}\right.$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{8}\approx2{,}8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{8}\approx-2{,}8$
$\displaystyle ⇒L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\sqrt{8};\sqrt{8}\right\}$

$\displaystyle \frac{x-2}{x^2-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+4x+4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\displaystyle \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{\left(x+2\right)^2}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$\displaystyle \left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\$	$=$	$\displaystyle 0\ ⇔\ x\ =\ 2\ oder\ x\ =-2$
	↓	Der Nenner rechts
$\displaystyle \left(x+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0\ ⇔\ x\ =-2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+2$ und $-2$ .
$\displaystyle \Rightarrow D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\displaystyle \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{\left(x+2\right)^2}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\displaystyle \frac{1}{x+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x+2}$	$\displaystyle \cdot\left(x+2\right)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;L=D$	$=$	$\displaystyle \;\;ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

$\displaystyle \frac{x}{x^2-4x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$\displaystyle x^2-4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$\displaystyle x\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;D$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0;4\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\displaystyle \frac{x}{x^2-4x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(x-4\right)}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\displaystyle \frac{1}{x-4}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot\left(x-4\right)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x-4\right)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2x-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{9}{2}$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac92\right\}$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Also wird dieser Nenner 0 für x=1

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Also wird dieser Nenner 0 für x=0

$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Also wird dieser Nenner $0$ für $x=-1$

Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen

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Nenner des ersten Bruchs

Der Nenner des zweiten Bruchs:

Der Nenner des dritten Bruchs:

Gleichung bruchterm-frei machen

Gleichung lösen

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