Aufgaben

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

Zu text-exercise-group 5813:
Nish 2017-12-09 12:31:44
Alle Teilaufgaben sollten mal nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
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%%\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}%%

Definitionsbereich bestimmen

Artikel zum Thema

%%\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}%%

 

  %%D_f=ℝ\backslash\left\{0;-1;2\right\}%%

 

Lösungsmenge bestimmen

 

%%\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}%%

Auf den Hauptnenner %%x(x+1)(x-2)%% erweitern.

%%\displaystyle\frac{30(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}-\frac{16x(x-2)}{x(x+1)(x-2)}=\frac{13x(x+1)}{x(x+1)(x-2)}%%

Mit dem  Hauptnenner %%x(x+1)(x-2)%% multiplizieren.

%%30(x+1)(x-2)-16x(x-2)=13x(x+1)%%

%%30(x^2-2x+x-2)-16x^2+32x=13x^2+13x%%

%%30x^2-60x+30x-60-16x^2+32x=13x^2+13x%%

Terme zusammenfassen.

%%14x^2+2x-60=13x^2+13x%%     

%%\left|-13x^2-13x\right.%%

%%x^2-11x-60=0%%

Die Diskriminante bestimmen.

%%D=121+240=361%%

%%361>0 =>%% zwei Lösungen

Die Mitternachtsformel anwenden.

%%\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}=\frac{11+\sqrt{361}}2=15%%

%%\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}=\frac{11-\sqrt{361}}2=-4%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=\;\left\{-4;\;15\right\}%%

%%\displaystyle\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4%%

Definitionsmenge bestimmen

Artikel zum Thema

%%\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4%%

 

  %%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

 

Lösungsmenge bestimmen

 

%%\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4%%

Auf den Hauptnenner %%4x%% erweitern.

%%\frac{4\cdot4}{4x}-\frac{x\cdot x}{4x}=\frac{8\cdot4}{4x}-\frac{3x^2}{4x}%%

%%\left|\cdot4x\right.%%

%%16-x^2=32-3x^2%%

%%\left|-32+3x^2\right.%%

%%2x^2-16=0%%

%%\left|+16\right.%%

%%2x^2=16%%

%%\left|:2\right.%%

%%x^2=8%%

%%\left|\sqrt{\;\;}\right.%%

%%x_1=\sqrt8\approx2,8%%

%%x_2=-\sqrt8\approx-2,8%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=\left\{-2,8;2,8\right\}%%

%%\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}%%

Definitionsmenge bestimmen

Artikel zum Thema

%%\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}%%

 

%%D_f=ℝ\backslash\left\{-1;1\right\}%%

 

 

 

Lösungsmenge bestimmen

 

%%\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}%%

Auf den Hauptnenner %%(x-1)(x+1)%% erweitern.

%%\frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2}{x^2-1}%%

%%\left|\cdot\right.(x-1)(x+1)%%

Mit dem Hauptnenner multiplizieren.

%%(x+1)^2-(x-1)^2=x^2%%

%%x^2+2x+1-x^2+2x-1=x^2%%

%%-x^2+4x=0%%

Diskriminante bestimmen.

%%D=16%%

%%16>0 =>%% zwei Lösungen

Mitternachtsformel anwenden

%%x_1=\frac{-4+4}{-2}=0%%

 

%%x_2=\frac{-4-4}{-2}=4%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=\left\{0;4\right\}%%

 

%%\frac x{x^2-4x}=2%%

Definitionsbereich bestimmen

Für diese Aufgabe musst du den Defintionsbereich bestimmen.

%%\frac x{x^2-4x}=2%%

Den Nenner gleich %%0%% setzen.

%%x^2-4x=0%%

Den Faktor %%x%% ausklammern.

%%x\left(x-4\right)=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\left\{0;4\right\}%%

 

Lösungsmenge bestimmen

Es handelt sich hier um eine sog. Quadratische Gleichung.

%%\frac x{x^2-4x}=2%%

Klammere %%x%% im Nenner wieder aus und kürze.

%%\frac x{x\cdot(x-4)}=\frac1{x-4}=2%%

%%\frac1{x-4}=2%%

%%\vert\ \cdot(x-4)%%

%%1 = 2 \cdot (x-4)%%

Ausklammern.

%%1 = 2x-8%%

%%\vert+8%%

%%9=2x%%

%%\vert:2%%

%%\frac92=x%%

%%\;\;\Rightarrow\;L=\left\{\frac92\right\}%%

 

%%\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}%%

Definitionsbereich bestimmen

Für diese Aufgabe musst du den Defintionsbereich bestimmen.

%%\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}%%

Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.

%%\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x+2}{(x+2)^2}%%

Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken.

%%(x-2)\cdot(x+2)=0 \Leftrightarrow x=2 \, \text{oder} \, x=-2%%

Der Nenner rechts

%%(x+2)^2=0 \Leftrightarrow x=-2%%

%%\Rightarrow%% Die Defintionslücken sind also bei %%+2%% und %%-2%%.

%%\Rightarrow D_f=ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}%%

Lösungsmenge bestimmen

%%\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x+2}{(x+2)^2}%%

Kürze auf beiden Seiten.

%%\frac1{x+2}=\frac1{x+2}%%

$$\left|\cdot(x+2)\right.$$

%%1=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;L=D=ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}%%

d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

Du hast die Bruchgleichung:

%%\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}%%

gegeben. Löse diese Bruchgleichung.

Leider falsch! Hast du dich vielleicht verrechnet?

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Bruchgleichungen lösen

Um diese Aufgabe zu lösen, kann dir das Wissen aus dem Kurs Bruchgleichungen und dem Artikel zum Lösen von Bruchgleichungen helfen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

%%\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}%%.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner %%0%% werden würde. Man darf nämlich nicht durch %%0%% teilen.

Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich %%0%%:

Nenner des ersten Bruchs

%%x-1=0%%

%%|+1%%

%%x=1%%

Also wird dieser Nenner %%0%% für %%x=1%%

Der Nenner des zweiten Bruchs

%%x=0%%

Also wird dieser Nenner %%0%% für %%x=0%%

Der Nenner des dritten Bruchs

%%x+1=0%%

%%|-1%%

%%x=-1%%

Also wird dieser Nenner %%0%% für %%x=-1%%

Du erkennst also, dass hier %%-1%%, %%0%% und %%1%% die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.

Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:

%%D=\mathbb{Q}\backslash\left\{-1,0,1\right\}%%.

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners. Du erweiterst dann alle Brüche auf den Hauptnenner und multiplizierst dann mit dem Hauptnenner.

Der Hauptnenner ist in unserem Beispiel %%x\cdot(x-1)\cdot(x+1)%%.

Umformungen

%%\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}%%

wird zu:

%%\displaystyle\frac{4\cdot x\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot x\cdot(x+1)}+\frac{5\cdot(x-1)\cdot(x+1)}{x\cdot(x-1)\cdot(x+1)}=\frac{3\cdot x\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot x\cdot(x-1)}%%

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:

%%\displaystyle4\cdot x\cdot(x+1)+5\cdot(x-1)\cdot(x+1)=3\cdot x\cdot(x-1)%%

Ausmultiplizieren der Klammern

%%\displaystyle4\cdot x^2+4x+5\cdot x^2-5=3\cdot x^2 -3\cdot x%%

%%|-3\cdot x^2 +3\cdot x%%

%%\displaystyle6\cdot x^2+7\cdot x-5=0%%

Gleichung lösen

Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:

%%\displaystyle x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot6\cdot(-5)}}{2\cdot6}=\displaystyle \frac{-7\pm\sqrt{49+120}}{2\cdot6}=\frac{-7\pm\sqrt{169}}{12}=\frac{-7\pm13}{12}%%

Die möglichen Lösungen sind also:

%%\displaystyle x_1=\frac{-7+13}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}%%

und

%%\displaystyle x_2=\frac{-7-13}{12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}%%.

Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.

Der Definitionsbereich ist %%D=\mathbb{Q}\backslash\left\{-1,0,1\right\}%% und %%\frac{1}{2}%%, genauso wie %%\frac{5}{3}%% liegen in %%D%%.

Also sind %%\frac{1}{2}%% und %%\frac{5}{3}%% die Lösungen der Bruchgleichung %%\displaystyle\frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}%%.

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

Defintionsmenge bestimmen

Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

%%2-x=0 \Leftrightarrow x=2%%

%%2x-4=0\Leftrightarrow x=2%%

Damit ist die Definitionsmenge: %%D=\mathbb{Q}\backslash\{2\}%%

Bruchgleichung lösen

Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

%%|\cdot (2-x) |\cdot (2x-4)%%

%%5\cdot (2x-4) =x\cdot (2-x)%%

Ausmultiplizieren

%%10x-20=2x-x^2%%

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

%%x^2+8x-20=0%%

Mit der Mitternachtsformel lösen

%%x_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2}%%

Beide Werte für %%x%% ausrechnen

%%x_1=2%%

%%x_2=-10%%

Da %%2%% nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: %%\mathbb L=\{-10\}%%.

Alternative Lösung

Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle -2(2-x)}%%

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle -2(2-x)}%%

Der Hauptenner ist damit %%-2\cdot(2-x)%%. Mit diesem beide Seite multiplizieren und die Brüche kürzen.

%%5\cdot (-2)=x%%

Ausrechnen

%%x=-10%%

Da %%-10%% in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

%%L=\{-10\}%%

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