Beim Lösen einer Bruchgleichung führt man diese in der Regel auf eine bruchterm-freie Gleichung zurück. Aus dieser berechnet man dann die gesuchte Variable.

Vorgehensweise beim Lösen von Bruchgleichungen

  1. Definitionsmenge bestimmen
  2. Gleichung bruchterm-frei machen
  3. Gleichung lösen
  4. Lösung angeben

Die einzelnen Schritte werden im folgenden näher erläutert.

1. Definitionsmenge bestimmen

Da im Nenner eines Bruches niemals 0 stehen darf, kann es sein, dass bestimmte Zahlen nicht in die Gleichung eingesetzt werden können und deshalb nicht als Lösung zulässig sind.

Daher wird in der Regel vor dem Lösen der Bruchgleichung der Definitionsbereich (oder die Definitionsmenge) der Bruchgleichung bestimmt. 

Wenn man später die Gleichung gelöst und ein Ergebnis erhalten hat, muss man nachprüfen, ob dieses überhaupt im Definitionsbereich liegt. Wenn das Ergebnis nicht im Definitonsbereich enthalten ist, ist es keine Lösung der Gleichung. Auch wenn man ansonsten richtig gerechnet hat.

Anmerkung

Man kann natürlich auch erst die Gleichung lösen und dann den Definitionsbereich bestimmen. In jedem Fall muss man aber am Ende nachprüfen, ob das gefundene Ergebnis im Definitionsbereich liegt.

Löst man erst die Gleichung und überprüft dann nur für das gefundene Ergebnis, ob für diese Zahl (oder Zahlen, wenn es mehrere Ergebnisse sind) die Gleichung überhaupt definiert ist, wäre vom mathematischen Standpunkt her ausreichend. Zumeist verlangen die Lehrer aber die Bestimmung des Definitionsbereichs.

Beispiel

Hat man zum Beispiel die Bruchgleichung $$\frac{x+1}{x+8}=\frac{x-2}{x-1}$$ zu lösen, dann darf in den linken Teil der Gleichung die Zahl %%-8%% nicht eingesetzt werden, in den rechten Teil die Zahl %%1%% nicht. Würde eine dieser beiden Zahlen Ergebnis der Bruchgleichung sein, so wären diese trotzdem kein Ergebnis.

Die Definitionsmenge ist also %%D=\;\mathbb{Q}\backslash\{-8,1\}%%.

Wie man die Definitionsmenge bestimmt, findet man im Artikel zur Definitionsmenge einer Bruchgleichung.

 

2. Gleichung bruchterm-frei machen

Das Ziel ist es, mit Hilfe von Umformungen eine bruchtermfreie Gleichung zu erhalten.

Dazu kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

Lösungsmöglichkeit:

  • Man bringt zuerst alle vorkommenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, und zwar den Hauptnenner.

  • Wenn man anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert, fallen bei sämtlichen Termen die Nenner weg und nur die Zähler bleiben übrig.

(Gegebenenfalls muss man allerdings nun Klammern um die Zähler setzen, die zuvor nicht nötig waren, da ja gilt: "Bruchstrich wirkt wie eine Klammer".)

Lösungsmöglichkeit am Beispiel:

Suche zuerst den Hauptnenner.

%%\dfrac{7}{\color{#009999}{x+2}}- \dfrac{x+4}{\color{#e16600}x\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}=\dfrac{6x-8 }{\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}}%%

Der Hauptnenner in diesem Beispiel ist: %%\;\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}\cdot \color{#cc0000}{(x-5)}%%
Erweitere im nächsten Schritt jeden Bruch auf den Hauptnenner, sodass jede Farbe einmal in jedem Nenner vorkommt. Achte auf Klammern!

%%\dfrac{7\cdot \color{#e16600}x\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}{\color{#009999}{(x+2)}\cdot \color{#e16600}x\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}- \dfrac{(x+4)\cdot\color{#009999}{(x+2)}}{\color{#e16600}x\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}\cdot \color{#009999}{(x+2)}}=\dfrac{(6x-8)\cdot \color{#cc0000}{(x-5)}}{\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}%%

Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner %%x\cdot(x+2)\cdot(x-5)%%. So kürzen sich die Brüche weg.

Dann hast du die Bruchterm-freie Gleichung:

%%7\cdot x\cdot(x-5)-(x+4)\cdot(x+2)=(6x-8)\cdot(x-5)%%

Alternative

Alternativ kannst du die Gleichung sofort mit dem Hauptnenner multiplizieren. Anschließend kürzt man aus jedem Bruch die entsprechenden Faktoren. Somit erhält man eine Gleichung ohne Bruchterme.

Anschaulich geht das so:

%%\displaystyle\frac7{\color{#009999}{x+2}}-\frac{x+4}{\color{#e16600}x\cdot \color{#cc0000}{(x-5)}}=\frac{6x-8}{\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}}%%

Der Hauptnenner ist %%\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}%%

%%\displaystyle\frac7{\color{#009999}{x+2}}-\frac{x+4}{\color{#e16600}x\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}=\frac{6x-8}{\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}}\quad\vert\cdot \color{#e16600}x\cdot \color{#009999}{(x+2)}\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}%%

%%\displaystyle\frac{7\cdot \color{#e16600}x\cdot \color{#009999}{(x+2)}\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}{\color{#009999}{x+2}}-\frac{(x+4)\cdot \color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}{\color{#e16600}x\cdot \color{#cc0000}{(x-5)}}=\frac{(6x-8)\cdot \color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}\cdot\color{#cc0000}{(x-5)}}{\color{#e16600}x\cdot\color{#009999}{(x+2)}}%%

Kürze nun soweit, wie möglich. Damit erhält man auch hier als bruchterm-freie Gleichung:

%%7\cdot x\cdot(x-5)-(x+4)\cdot(x+2)=(6x-8)\cdot(x-5)%%

Weitere Lösungsstrategie um die Gleichung bruchtermfrei zu machen

Bei manchen Gleichungen bietet sich auch das "Über Kreuz multiplizieren" an.

3. Gleichung lösen

Wie die entstandene bruchterm-freie Gleichung zu lösen ist, kommt auf die Art der Gleichung an, zum Beispiel:

4. Lösung angeben

Als letztes überprüft man noch für das Ergebnis / die Ergebnisse, die man erhalten hat, ob sie jeweils in der Definitionsmenge liegen.

Wenn das der Fall ist, kann man sie in die Lösungsmenge hineinschreiben.

Übungsaufgaben

Für die Lösung mancher Bruchgleichungsaufgaben muss man wissen, wie man quadratische Gleichungen löst, für andere nicht.

Beispiel-Übungsaufgaben

Ohne Wissen über quadratische Gleichungen kann man die folgende Bruchgleichungsaufgabe lösen:

Bei diese Aufgabe gelangt man aber an eine quadratische Gleichung:

Unter den folgenden Links findest du

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