Aufgaben

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

2x=162^\mathrm x=16

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus


2x2^x
=
1616
log2(16)\log_2(16)
=
xx
Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
xx
=
44

Die Lösungsmenge lautet: L={4}\mathbb L = \{4\}
Falls dein Taschenrechner den Logarithmus zu einer beliebigen Basis (in dieser Aufgabe zur Basis 2) berechnen kann, kannst du folgende Umformungen durchführen:

  1. Umwandlung in den natürlichen Logarithmus mit Basis ee: log2(16)=xln(16)ln(2)=xx=4\begin{array} {rcl} \log_2\left(16\right)&=&x\\ \dfrac{\ln(16)}{\ln(2)}&=&x\\x&=&4 \end{array}
  2. Umwandlung in den Zehner Logarithmus mit Basis 1010: log2(16)=xlg(16)lg(2)=xx=4\begin{array} {rcl} \log_2\left(16\right)&=&x\\ \dfrac{\lg(16)}{\lg(2)}&=&x\\x&=&4\end{array}

%%\left({\textstyle\frac14}\right)^\mathrm x=64%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

%%\left(\frac14\right)^x=64%%

%%\left(\frac1q\right)^x=q^{-x}%%

Wende die Potenzrechengesetze an.

%%4^{-x}=64%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%\log_4\left(64\right)=-x%%

Berechne mithilfe des Taschenrechners.

%%3=-x%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%-3=x%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{-3\}%%

%%2^\mathrm x\cdot8^{\mathrm x-1}=32%%

Exponentialgleichungen

Artikel zum Thema

%%2^x\cdot8^{x-1}=32%%

%%2^x\cdot\frac{8^x}{8^1}=32%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

%%\frac{2^x\cdot8^x}8=32%%

%%\left|\cdot8\right.%%

%%2^x\cdot8^x=256%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

%%(2^x\cdot8^x)=256%%

Multipliziere die Zahlen in der Klammer.

%%16^x=256%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%% Logarithmiere.

%%log_{16}\left(256\right)=x%%

%%\frac{\log\left(256\right)}{\log\left(16\right)}=x%%

%%\Rightarrow x=2%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{2\}%%

%%\left({\textstyle\frac13}\right)^x\cdot\left({\textstyle\frac3{27}}\right)^x=3%%

Exponentialgleichungen

Artikel zum Thema

%%\left(\frac13\right)^x\cdot\left(\frac3{27}\right)^x=3%%

%%(\frac13)^x\cdot\left(\frac19\right)^x=3%%

%%(\frac1{27})^x=3%%

%%\log_\frac1{27}\left(3\right)=x%%

Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.

%%\frac{\log\left(3\right)}{\log\left({\displaystyle\frac1{27}}\right)}=x%%

Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.

%%\frac{\log\left(3\right)}{\log\left(1\right)-\log\left(27\right)}=x%%

Fasse den Nenner zusammen, indem du %%\log\left(1\right)%% berechnest.

%%\frac{\log\left(3\right)}{0-\log\left(27\right)}=x%%

%%\frac{\log\left(3\right)}{-\log\left(27\right)}=x%%

Dividiere mithilfe des Taschenrechners.

%%\Rightarrow x=-\frac13%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{-\frac13\}%%

%%\frac{6^{\mathrm x-2}}{36^{\mathrm x+1}}=216%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

%%\frac{6^{x-2}}{36^{x+1}}=216%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

$$\frac{\displaystyle\frac{6^x}{6^2}}{36^x\cdot36}=216$$

%%\Rightarrow\frac{\displaystyle\frac{6^x}{6^2}}{36^x\cdot36}=216%%

Fasse zusammen: %%216=6\cdot6\cdot6%%

$$\left(\frac16\right)^\mathrm x\cdot\frac1{6^4}=6^3$$

%%\left|\cdot6^4\right.%%

%%\left(\frac16\right)^x=6^7%%

Wende das passende Potenzgesetz an.

%%6^{-x}=6^7%%

$$\vert\cdot\log_6\left(\;\;\right)$$

%%-x=7%%

%%x=-7%%

Die Lösungsmenge lautet: %%\mathbb L = \{-7\}%%

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.

%%\log_3(x^3)=243%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

Definitionsmenge

Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge $$D=\mathbb R^+$$

%%\log_3\left(x^3\right)=243%%

Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.

%%3\cdot\log_3\left(x\right)=243%%

%%\left|:3\right.%%

%%\log_3\left(x\right)=81%%

%%x=3^{81}%%

Die Lösungsmenge ist also %%\mathbb L =\{3^{81}\}%%

log10(x2)+log10(x+2)=1\log_{10}(\mathrm x-2)+\log_{10}(\mathrm x+2)=1

Logarithmus



Definitionsmenge

Da in den Logarithmus keine null oder negative Zahl eingesetzt werden kann,ist die Definitionsmenge von log10(x2)\log_{10}(x-2) Bei log10(x+2)\log_{10}(x+2) wiederrum ist die Definitionsmenge
Da eine Lösung nur gültig ist, wenn sie in beiden Definitionsmengen liegt, nimmst du die kleinere Definitionsmenge D1D_1. Somit ist die Definitionsmenge der Gleichung

Lösungsmenge

log10(x2)+log10(x+2)=1\log_{10}\left(x-2\right)+\log_{10}\left(x+2\right)=1
Kehre die passende Rechenregel für den Logarithmus eines Produkts um.
log10[(x2)(x+2)]=1\log_{10}\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]=1
log10(x24)=1\log_{10}\left(x^2-4\right)=1
Es gilt: loga(a)=1\log_a\left(a\right)=1, also genau dann wenn der Termi im Logarithmus und die Basis des Logarithmus gleich sind. Deshalb muss x24=10x^2-4= 10 gelten.
x24=10x^2-4=10
+4\left|+4\right.

x2=14x^2=14
\left|\cdot\sqrt{}\right.

x=14x=\sqrt{14}

Die Lösungsmenge ist also L={14}\mathbb L =\{\sqrt{14}\}

%%\log_2(\mathrm x^2)-\log_2(2\cdot\mathrm x)=4%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

Definitionsmenge

Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge $$D=\mathbb R^+$$

%%\log_2\left(x^2\right)-\log_2\left(2x\right)=4%%

Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.

%%2\cdot\log_2\left(x\right)-\left[\log_2\left(2\right)+\log_2\left(x\right)\right]=4%%

%%2\cdot\log_2\left(x\right)-\log_2\left(2\right)-\log_2\left(x\right)=4%%

Fasse zusammen.

%%\log_2\left(x\right)-1=4%%

%%\left|+1\right.%%

%%\log_2\left(x\right)=5%%

%%x=2^5%%

%%x=32%%

Die Lösungsmenge ist also %%\mathbb L =\{32\}%%

Bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung:

%%\ln(\mathrm x^2)=1%%

Logarithmus

Thema dieser Aufgabe ist der Logarithmus.

%%\log_e\left(x^2\right)=1%%

%%e^1=x^2%%

%%\left|\cdot\sqrt{}\right.%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt e%%

%%\mathbb{L}=\{\pm\sqrt e\}%%

%%\ln(\mathrm x-\sqrt{\mathrm e})=\textstyle\frac12%%

Logarithmus

Thema dieser Aufgabe ist der Logarithmus.

%%\ln\left(x-\sqrt e\right)=\frac12%%

%%\log_e\left(x-\sqrt e\right)=\frac12%%

%%e^\frac12=x-\sqrt e%%

Schreibe die Potenz um und löse nach %%x%% auf.

%%\sqrt e+\sqrt e=x%%

Fasse zusammen.

%%x=2\sqrt e%%

%%\mathbb{L}=\{2\sqrt{e}\}%%

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

%%2\cdot\mathrm e^\mathrm x=\frac2e%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

%%2\cdot e^x=\frac2e%%

%%\left|\cdot e\right.%%

%%2\cdot e^x\cdot e^1=2%%

%%\left|:2\right.%%

%%e^x\cdot e^1=1%%

Verwende das passende Potenzgesetz .

%%e^{x+1}=1%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%%

%%\log_e\left(1\right)=x+1%%

%%e^x=1%%

Es gilt immer: Der Logarithmus von %%1%% zu einer Basis %%n%% ist immer Null.

Da: %%e^0=1\;\;e\in\mathbb{R}%%

%%0=x+1%%

%%\left|-1\right.%%

%%x=-1%%

Die Lösungsmenge ist also %%\mathbb L =\{-1\}%%

%%\sqrt{\mathrm e^\mathrm x}=\mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x%%

Logarithmus

Artikel zum Thema

%%\sqrt{e^x}=e^6\cdot e^x%%

%%\left|\cdot\left(\right)\right.^2%%

%%e^x=\left(e^6\cdot e^x\right)^2%%

Verwende innerhalb der Klammer das passende Potenzgesetz .

%%e^x=\left(e^{\left(6+x\right)}\right)^2%%

Verwende das passende Potenzgesetz .

%%e^x=e^{2\cdot\left(6+x\right)}%%

%%e^x=e^{\left(12+2x\right)}%%

Verwende das passende Potenzgesetz.

%%e^x=e^{12}\cdot e^{2x}%%

%%\left|:e^{2x}\right.%%

%%\frac{e^x}{e^{2x}}=e^{12}%%

Verwende das passende Potenzgesetz.

%%e^{x-2x}=e^{12}%%

Fasse die Potenz der linken Seite durch Subtraktion zusammen

%%e^{-x}=e^{12}%%

%%\left|\cdot\log\left(\right)\right.%%

%%\log_e\left(e^{12}\right)=-x%%

%%-x=12%%

$$\left|\cdot(-1)\right.$$

%%\Rightarrow x=-12%%

Die Lösungsmenge ist also %%\mathbb L =\{-12\}%%

Kommentieren Kommentare

Daniel-Flueck 2018-11-26 08:43:42+0100
Hallo miteinander. Bei diesen Aufgaben fehlt die Auseinandersetzung mit der Definitionsmenge (fehlt auch in den Erläuterungen zu den Logarithmen) sowie auch die Lösungsmengen. Habt ihr vor, dies noch zu integrieren analog Bruchgleichungen? - Danke für die tolle Arbeit.
metzgaria 2018-11-26 16:13:47+0100
Hallo Daniel!
Vielen Dank für das Lob!
Du hast natürlich recht, vor allem die Lösungsmengen sollten wir in jedem Fall angehen. Ich werde jetzt mal anfangen und in unserem Discord-Channel (https://discord.gg/yYRyrnM) fragen, ob mich jemand unterstützen möchte. Du kannst natürlich auch gerne die Inhalte bearbeiten und ggf das Nötige ergänzen, wenn du Lust hast. Editieren ist auf serlo.org ganz leicht ;)
Liebe Grüße,
Melanie
Daniel-Flueck 2018-11-27 07:45:35+0100
Ich helfe gerne mal mit - wenn ich denn Zeit finde :-) Aus meiner Sicht unbedingt auch die Definitionsmengen anschauen, da es ansonsten z.T. Lösungen gäbe, welche gar nicht in der Definitionsmenge drin sind (zB. eine Aufgabe ist mit einer Wurzel -> ergibt eigentlich +/- Lösung, obwohl nur die + Lösung in D drin ist). LG, Daniel
Celo 2019-10-19 17:01:36+0200
Ein guter Beitrag. Sehr empfehlenswert, besonders um fehlendes Mathematikwissen zu erlernen. Vielleicht wären ein paar Beispiele um Verteilungen und Wachstumsraten mit Exponentialfunktionen zu berechnen noch gut!
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