Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, die Lösung von Exponential- und Logarithmusgleichungen zu berechnen. Schaffst du sie alle?

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

$2^{x} = 16$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$2^{x}$ $=$ $16$
↓
Logarithmiere.
$\log_{2} (16)$ $=$ $x$
↓
Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
$x$ $=$ $4$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {4}$
Falls dein Taschenrechner den Logarithmus zu einer beliebigen Basis (in dieser Aufgabe zur Basis 2) berechnen kann, kannst du folgende Umformungen durchführen:
Umwandlung in den natürlichen Logarithmus mit Basis $e$ : $\begin{array}{rcl} \log_{2} (16) & = & x \\ \frac{\ln (16)}{\ln (2)} & = & x \\ x & = & 4 \end{array}$
Umwandlung in den Zehner Logarithmus mit Basis $10$ : $\begin{array}{rcl} \log_{2} (16) & = & x \\ \frac{\lg (16)}{\lg (2)} & = & x \\ x & = & 4 \end{array}$
Alternative ohne Logarithmus:
Du kannst auch ausnutzen, dass $16 = 2^{4}$ ist:
$2^{x}$ $=$ $16$
↓
Ersetze $16$ durch $2^{4}$
$2^{x}$ $=$ $2^{4}$
↓
Vergleiche die Exponenten
$x$ $=$ $4$
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${(\frac{1}{4})}^{x} = 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
${(\frac{1}{4})}^{x}$ $=$ $64$
↓
Wende die Potenzrechengesetze an.
$4^{- x}$ $=$ $64$ $\log ()$
↓
Logarithmiere.
$\log_{4} (64)$ $=$ $- x$
↓
Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$3$ $=$ $- x$ $\cdot (- 1)$
$- 3$ $=$ $x$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {- 3}$
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$2^{x} \cdot 8^{x - 1} = 32$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
$2^{x} \cdot 8^{x - 1}$ $=$ $32$
$2^{x} \cdot \frac{8^{x}}{8^{1}}$ $=$ $32$
↓
Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{2^{x} \cdot 8^{x}}{8}$ $=$ $32$ $\cdot 8$
$(2 \cdot 8)^{x}$ $=$ $256$
$16^{x}$ $=$ $256$ $\log_{16}$
↓
Logarithmiere.
$x$ $=$ $\log_{16} (256)$
$x$ $=$ $\frac{\log (256)}{\log (16)}$
$\Rightarrow x = 2$
Die Lösungsmenge lautet: $𝕃 = {2}$
Alternative Lösung ohne Logarithmus
Da $8$ und $32$ Zweierpotenzen sind, kannst du alles auf Potenzen mit der Basis $2$ umschreiben:
Mit $8 = 2^{3}$ und $32 = 2^{5}$ bekommst du
$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1} = 2^{5}$
Wende jetzt die Potenzgesetze $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$ und $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ an:
$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1}$ $=$ $2^{5}$
↓
$(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$2^{x} \cdot 2^{3 (x - 1)}$ $=$ $2^{5}$
↓
Multipliziere aus
$2^{x} \cdot 2^{3 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$2^{x + 3 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
Fasse zusammen
$2^{4 x - 3}$ $=$ $2^{5}$
↓
Vergleiche die Exponenten
$4 x - 3$ $=$ $5$
↓
Löse auf
$4 x$ $=$ $8$
$x$ $=$ $2$
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${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x} = 3$

$\frac{6^{x - 2}}{36^{x + 1}} = 216$

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.

$\log_{5} (x) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
$D = ℝ^{+}$
Lösen der Gleichung
$\log_{5} (x) = 2$
Löse nach x auf.
$x = 5^{2} = 25$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {25}$
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$\log_{3} (x^{3}) = 243$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
$D = ℝ^{+}$
$\log_{3} (x^{3})$ $=$ $243$
↓
Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$3 \cdot \log_{3} (x)$ $=$ $243$ $: 3$
$\log_{3} (x)$ $=$ $81$
↓
Löse nach x auf .
$x$ $=$ $3^{81}$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {3^{81}}$
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$\log_{10} (x - 2) + \log_{10} (x + 2) = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine null oder negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge von $\log_{10} (x - 2)$ : $𝔻_{𝟙} =] + 2; \infty [$ . Bei $\log_{10} (x + 2)$ wiederum ist die Definitionsmenge: $𝔻_{𝟚} =] - 2; \infty [$ .
Da eine Lösung nur gültig ist, wenn sie in beiden Definitionsmengen liegt, nimmst du die kleinere Definitionsmenge $𝔻_{𝟙}$ . Somit ist die Definitionsmenge der Gleichung : $𝔻 =] + 2; \infty [$
Lösungsmenge
$\log_{10} (x - 2) + \log_{10} (x + 2) = 1$
Kehre die passende Rechenregel für den Logarithmus eines Produkts um.
$\log_{10} [(x - 2) (x + 2)] = 1$
Klammern ausmultiplizieren .
$\log_{10} (x^{2} - 4) = 1$
Es gilt: $\log_{a} (a) = 1$ , also genau dann wenn der Termi im Logarithmus und die Basis des Logarithmus gleich sind. Deshalb muss $x^{2} - 4 = 10$ gelten.
$x^{2} - 4$ $=$ $10$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $14$ $\cdot \sqrt{}$
$x$ $=$ $\sqrt{14}$
( $x = - \sqrt{14}$ liegt nicht im Definitionsbereich)
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {\sqrt{14}}$
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$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 \cdot x) = 4$

3
Bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung:
1. $\ln (x) = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  $\log_{e} (x)$ $=$ $0$
  ↓
  Löse nach x auf.
  $e^{o}$ $=$ $x$
  $1$ $=$ $x$
  $𝕃 = {1}$
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2. $\ln (x^{2}) = 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  $\log_{e} (x^{2})$ $=$ $1$
  ↓
  Löse nach x auf.
  $e^{1}$ $=$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
  $x_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{e}$
  $𝕃 = {\pm \sqrt{e}}$
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3. $\ln (x - \sqrt{e}) = \frac{1}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  $\ln (x - \sqrt{e})$ $=$ $\frac{1}{2}$
  ↓
  Kehre die Logarithmusschreibweis in die Exponentialschreibweise um.
  $e^{\frac{1}{2}}$ $=$ $x - \sqrt{e}$
  ↓
  Schreibe die Potenz um und löse nach $x$ auf.
  $\sqrt{e} + \sqrt{e}$ $=$ $x$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $2 \sqrt{e}$ $=$ $x$
  $𝕃 = {2 \sqrt{e}}$
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Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

$e^{2 \cdot x} = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$e^{2 x}$ $=$ $1$ $\cdot \log ()$
↓
Logarithmiere
$\log_{e} (1)$ $=$ $2 x$
↓
Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $e$ ist immer $0$ .
$0$ $=$ $2 x$
$x$ $=$ $0$
Die Lösungsmenge ist also $𝕃 = {0}$
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$2 \cdot e^{x} = \frac{2}{e}$

$\sqrt{e^{x}} = e^{6} \cdot e^{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$\sqrt{e^{x}}$ $=$ $e^{6} \cdot e^{x}$
↓
Schreibe die Wurzel als Potenz.
$(e^{x})^{\frac{1}{2}}$ $=$ $e^{6} \cdot e^{x}$
↓
Wende Potenzgesetze an.
$e^{\frac{x}{2}}$ $=$ $e^{(6 + x)}$ $\ln ()$
↓
Logarithmiere.
$\ln (e^{\frac{x}{2}})$ $=$ $\ln (e^{x + 6})$
$\frac{x}{2}$ $=$ $x + 6$ $- x$
$- \frac{x}{2}$ $=$ $6$ $\cdot (- 2)$
$x$ $=$ $- 12$
Die Lösungsmenge ist somit $𝕃 = {- 12}$
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Löse die Gleichungen, indem du zunächst auf die Form $b^{f (x)} = a$ bringst und anschließend logarithmierst.

$25 \cdot 3^{x} = 1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$25 \cdot 3^{x}$ $=$ $1000$ $: 25$
$3^{x}$ $=$ $40$
↓
Logarithmieren
$x$ $=$ $\log_{3} 40$
$x$ $\approx$ $3,36$
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Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.
${(\frac{1}{2})}^{2 x} + 1 = 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
${(\frac{1}{2})}^{2 x} + 1$ $=$ $5$ $- 1$
${(\frac{1}{2})}^{2 x}$ $=$ $4$
↓
Logarithmieren
$2 x$ $=$ $\log_{0,5} 4$
$2 x$ $=$ $- 2$ $: 2$
$x$ $=$ $- 1$
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Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.
$5^{x + 1} = 1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$5^{x + 1}$ $=$ $1000$
↓
Logarithmieren
$x + 1$ $=$ $\log_{5} 1000$
$x + 1$ $\approx$ $4,29$ $- 1$
$x$ $\approx$ $3,29$
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Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.

$8 \cdot 4^{1,5 x} = 120000$

$4 \cdot 2^{15 - 3 x} = 64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$4 \cdot 2^{15 - 3 x}$ $=$ $64$ $: 4$
$2^{15 - 3 x}$ $=$ $16$
↓
Logarithmieren
$15 - 3 x$ $=$ $\log_{2} 16$
$15 - 3 x$ $=$ $4$ $- 15$
$- 3 x$ $=$ $- 11$ $: (- 3)$
$x$ $=$ $\frac{11}{3}$
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Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1} - 4 = 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1} - 4$ $=$ $12$ $+ 4$
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1}$ $=$ $16$ $\cdot 2$
$4^{2 x + 1}$ $=$ $32$
↓
Logarithmieren
$2 x + 1$ $=$ $\log_{4} 32$
$2 x + 1$ $=$ $2,5$ $- 1$
$2 x$ $=$ $1,5$ $: 2$
$x$ $=$ $0,75$
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Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f (x)} = a$ erhältst.

6
Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus
1. $e^{x} = 1000$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
  $e^{x}$ $=$ $1000_{}$
  ↓
  Logarithmieren
  $x$ $=$ $\ln (1000)$
  $x$ $\approx$ $6,91$
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2. $e^{2 x} = 400000$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
  $e^{2 x}$ $=$ $400000$
  ↓
  Logarithmieren.
  $2 x$ $=$ $\ln 400000$ $: 2$
  $x$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \ln 400000$
  $x$ $\approx$ $6,45$
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3. $4 e^{x} - 64 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
  $4 e^{x} - 64$ $=$ $0$ $+ 64$
  $4 e^{x}$ $=$ $64$ $: 4$
  $e^{x}$ $=$ $16$
  ↓
  logarithmieren
  $x$ $=$ $\ln 16$
  $x$ $\approx$ $2,77$
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4. $5 e^{- 0,5 x} = 125$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürlicher Logarithmus
  $5 e^{- 0,5 x}$ $=$ $125$ $: 5$
  $e^{- 0,5 x}$ $=$ $25$
  ↓
  Logarithmieren
  $- 0,5 x$ $=$ $\ln 25$ $: (- 0,5)$
  $x$ $=$ $- 2 \cdot \ln 25$
  $x$ $\approx$ $- 6,44$
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7
Löse durch Exponentenvergleich oder zeige die Unlösbarkeit
1. $2^{x - 4} = 2^{4 - x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
  $2^{x - 4}$ $=$ $2^{4 - x}$
  ↓
  Exponentenvergleich
  $x - 4$ $=$ $4 - x$ $+ x$
  $2 x - 4$ $=$ $4$ $+ 4$
  $2 x$ $=$ $8$ $: 2$
  $x$ $=$ $4$
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  Da die Basis übereinstimmt, kannst du die Gleichung über Exponentenvergleich lösen
2. ${0,5}^{- x} = {0,5}^{x^{2} - 2}$
  ={x1;x2}=L
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
  ${0,5}^{- x}$ $=$ ${0,5}^{x^{2} - 2}$
  ↓
  Exponentenvergleich
  $- x$ $=$ $x^{2} - 2$ $+ x$
  ↓
  Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
  $0$ $=$ $x^{2} + x - 2$
  Verwende die Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
  $x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ und somit $x_{1} = 1$ und $x_{2} = - 2$
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  Da die Basis auf beiden Seiten übereinstimmt, kannst du einen Exponentenvergleich durchführen.
3. $e^{3 x} - e^{- 3 x} = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
  $e^{3 x} - e^{- 3 x}$ $=$ $0$ $+ e^{- 3 x}$
  $e^{3 x}$ $=$ $e^{- 3 x}$
  ↓
  Exponentenvergleich
  $3 x$ $=$ $- 3 x$ $+ 3 x$
  $6 x$ $=$ $0$ $: 6$
  $x$ $=$ $0$
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  Nachdem du den Subtrahend auf die rechte Seite gebracht hast, kannst du einen Exponentenvergleich durchführen
4. $e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5} = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
  $e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5}$ $=$ $0$ $+ e^{2 x - 5}$
  $e^{2 x + 5}$ $=$ $e^{2 x - 5}$
  ↓
  Exponentenvergleich
  $2 x + 5$ $=$ $2 x - 5$ $- 2 x$
  $5$ $=$ $- 5$
  Die Gleichung ist nie erfüllt, somit ist die zugehörige Exponentialgleichung unlösbar.
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  Bringe den Subtrahenden auf die andere Seite und vergleiche anschließend die Exponenten

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{6^{x - 2}}{36^{x + 1}}$	$=$	$216$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{\frac{6^{x}}{6^{2}}}{36^{x} \cdot 36}$	$=$	$216$
	↓	Fasse zusammen: $216 = 6 \cdot 6 \cdot 6$
$\frac{6^{x}}{36^{x}} \cdot \frac{1}{6^{2} \cdot 36}$	$=$
${(\frac{1}{6})}^{x} \cdot \frac{1}{6^{4}}$	$=$	$6^{3}$	$\cdot 6^{4}$
${(\frac{1}{6})}^{x}$	$=$	$6^{7}$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$6^{- x}$	$=$	$6^{7}$	$\log_{6}$
$- x$	$=$	$7$

$8 \cdot 4^{1,5 x}$	$=$	$120000$	$: 8$
$4^{1,5 x}$	$=$	$15000$
	↓	Logarithmieren
$1,5 x$	$=$	$\log_{4} 15000$
$1,5 x$	$\approx$	$6,94$	$: 1,5$
$x$	$\approx$	$4,62$

$8 \cdot 4^{1,5 x}$	$=$	$120000$	$: 8$
$4^{1,5 x}$	$=$	$15000$
	↓	verwende den natürlichen Logarithmus
$\ln 4^{1,5 x}$	$=$	$\ln 15000$
	↓	Rechenregel für Logarithmen: $\log a^{b} = b \log a$
$1,5 x \cdot \ln 4$	$=$	$\ln 15000$
	↓	Zeit für den Tascherechner:
$1,5 x \cdot 1,386$	$\approx$	$9,62$
	↓	Teile durch $1,5$ und durch $1,386$
$x$	$\approx$	$4,62$

$2^{x}$	$=$	$16$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{2} (16)$	$=$	$x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
$x$	$=$	$4$

$2^{x}$	$=$	$16$
	↓	Ersetze $16$ durch $2^{4}$
$2^{x}$	$=$	$2^{4}$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$x$	$=$	$4$

${(\frac{1}{4})}^{x}$	$=$	$64$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
$4^{- x}$	$=$	$64$	$\log ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{4} (64)$	$=$	$- x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$3$	$=$	$- x$	$\cdot (- 1)$
$- 3$	$=$	$x$

$2^{x} \cdot 8^{x - 1}$	$=$	$32$
$2^{x} \cdot \frac{8^{x}}{8^{1}}$	$=$	$32$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\frac{2^{x} \cdot 8^{x}}{8}$	$=$	$32$	$\cdot 8$
$(2 \cdot 8)^{x}$	$=$	$256$
$16^{x}$	$=$	$256$	$\log_{16}$
	↓	Logarithmiere.
$x$	$=$	$\log_{16} (256)$
$x$	$=$	$\frac{\log (256)}{\log (16)}$

$2^{x} \cdot (2^{3})^{x - 1}$	$=$	$2^{5}$
	↓	$(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$2^{x} \cdot 2^{3 (x - 1)}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Multipliziere aus
$2^{x} \cdot 2^{3 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$2^{x + 3 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Fasse zusammen
$2^{4 x - 3}$	$=$	$2^{5}$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$4 x - 3$	$=$	$5$
	↓	Löse auf
$4 x$	$=$	$8$
$x$	$=$	$2$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x}$	$=$	$3$
${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{9})}^{x}$	$=$	$3$
${(\frac{1}{27})}^{x}$	$=$	$3$	$\log_{\frac{1}{27}}$
	↓	Logarithmiere.
$x$	$=$	$\log_{\frac{1}{27}} (3)$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{\log (\frac{1}{27})}$
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{\log (1) - \log (27)}$
	↓	Fasse den Nenner zusammen, indem du $\log (1)$ = 0 einsetzt.
$x$	$=$	$\frac{\log (3)}{- \log (27)}$

${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{3}{27})}^{x}$	$=$	$3$
	↓	Kürze
${(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{9})}^{x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $\frac{1}{a^{x}} = a^{- x}$
$3^{- x} \cdot 9^{- x}$	$=$	$3$
	↓	Ersetze $9 = 3^{2}$
$3^{- x} \cdot (3^{2})^{- x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
$3^{- x} \cdot 3^{- 2 x}$	$=$	$3$
	↓	Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
$3^{- 3 x}$	$=$	$3^{1}$
	↓	Exponentenvergleich
$- 3 x$	$=$	$1$
	↓	Teile durch $- 3$
$x$	$=$	$- \frac{1}{3}$

$\log_{3} (x^{3})$	$=$	$243$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$3 \cdot \log_{3} (x)$	$=$	$243$	$: 3$
$\log_{3} (x)$	$=$	$81$
	↓	Löse nach x auf .
$x$	$=$	$3^{81}$

$x^{2} - 4$	$=$	$10$	$+ 4$
$x^{2}$	$=$	$14$	$\cdot \sqrt{}$
$x$	$=$	$\sqrt{14}$

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 x_{})$	$=$	$4$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$2 \cdot \log_{2} (x) - [\log_{2} (2) + \log_{2} (x)]$	$=$	$4$
	↓	Achte auf das negative Vorzeichen bei Klammern .
$2 \cdot \log_{2} (x) - \log_{2} (2) - \log_{2} (x)$	$=$	$4$
	↓	Fasse zusammen.
$\log_{2} (x) - 1$	$=$	$4$	$+ 1$
$\log_{2} (x)$	$=$	$5$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$2^{5}$
	↓	Potenziere.
$x$	$=$	$32$

$\sqrt{e^{x}}$	$=$	$e^{6} \cdot e^{x}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz.
$(e^{x})^{\frac{1}{2}}$	$=$	$e^{6} \cdot e^{x}$
	↓	Wende Potenzgesetze an.
$e^{\frac{x}{2}}$	$=$	$e^{(6 + x)}$	$\ln ()$
	↓	Logarithmiere.
$\ln (e^{\frac{x}{2}})$	$=$	$\ln (e^{x + 6})$
$\frac{x}{2}$	$=$	$x + 6$	$- x$
$- \frac{x}{2}$	$=$	$6$	$\cdot (- 2)$
$x$	$=$	$- 12$

${0,5}^{- x}$	$=$	${0,5}^{x^{2} - 2}$
	↓	Exponentenvergleich
$- x$	$=$	$x^{2} - 2$	$+ x$
	↓	Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
$0$	$=$	$x^{2} + x - 2$

$e^{2 x + 5} - e^{2 x - 5}$	$=$	$0$	$+ e^{2 x - 5}$
$e^{2 x + 5}$	$=$	$e^{2 x - 5}$
	↓	Exponentenvergleich
$2 x + 5$	$=$	$2 x - 5$	$- 2 x$
$5$	$=$	$- 5$

$\log_{e} (x)$	$=$	$0$
	↓	Löse nach x auf.
$e^{o}$	$=$	$x$
$1$	$=$	$x$

$\log_{e} (x^{2})$	$=$	$1$
	↓	Löse nach x auf.
$e^{1}$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{e}$

$\ln (x - \sqrt{e})$	$=$	$\frac{1}{2}$
	↓	Kehre die Logarithmusschreibweis in die Exponentialschreibweise um.
$e^{\frac{1}{2}}$	$=$	$x - \sqrt{e}$
	↓	Schreibe die Potenz um und löse nach $x$ auf.
$\sqrt{e} + \sqrt{e}$	$=$	$x$
	↓	Fasse zusammen.
$2 \sqrt{e}$	$=$	$x$

$e^{2 x}$	$=$	$1$	$\cdot \log ()$
	↓	Logarithmiere
$\log_{e} (1)$	$=$	$2 x$
	↓	Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $e$ ist immer $0$ .
$0$	$=$	$2 x$
$x$	$=$	$0$

$ 2 \cdot e^{x}$	$=$	$\frac{2}{e}$	$\cdot e$
$2 \cdot e^{x} \cdot e^{1}$	$=$	$2$	$: 2$
$e^{x} \cdot e^{1}$	$=$	$1$
	↓	Verwende das passende Potenzgesetz .
$e^{x + 1}$	$=$	$1$	$\cdot \log ()$
	↓	Logarithmiere.
$\log_{e} (1)$	$=$	$x + 1$
	↓	$ e^{x} = 1 e$ Es gilt: Der Logarithmus von $ 1$ zu einer Basis $ n$ ist immer Null. Da: $e^{0} = 1 e$ $ e \in ℝ$
$0$	$=$	$x + 1$	$- 1$
$x$	$=$	$- 1$

$25 \cdot 3^{x}$	$=$	$1000$	$: 25$
$3^{x}$	$=$	$40$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\log_{3} 40$
$x$	$\approx$	$3,36$

${(\frac{1}{2})}^{2 x} + 1$	$=$	$5$	$- 1$
${(\frac{1}{2})}^{2 x}$	$=$	$4$
	↓	Logarithmieren
$2 x$	$=$	$\log_{0,5} 4$
$2 x$	$=$	$- 2$	$: 2$
$x$	$=$	$- 1$

$5^{x + 1}$	$=$	$1000$
	↓	Logarithmieren
$x + 1$	$=$	$\log_{5} 1000$
$x + 1$	$\approx$	$4,29$	$- 1$
$x$	$\approx$	$3,29$

$4 \cdot 2^{15 - 3 x}$	$=$	$64$	$: 4$
$2^{15 - 3 x}$	$=$	$16$
	↓	Logarithmieren
$15 - 3 x$	$=$	$\log_{2} 16$
$15 - 3 x$	$=$	$4$	$- 15$
$- 3 x$	$=$	$- 11$	$: (- 3)$
$x$	$=$	$\frac{11}{3}$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1} - 4$	$=$	$12$	$+ 4$
$\frac{1}{2} \cdot 4^{2 x + 1}$	$=$	$16$	$\cdot 2$
$4^{2 x + 1}$	$=$	$32$
	↓	Logarithmieren
$2 x + 1$	$=$	$\log_{4} 32$
$2 x + 1$	$=$	$2,5$	$- 1$
$2 x$	$=$	$1,5$	$: 2$
$x$	$=$	$0,75$

Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

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Definitionsmenge

Lösen der Gleichung

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Definitionsmenge

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Definitionsmenge

Lösungsmenge

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Definitionsmenge

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$e^{x}$	$=$	$1000_{}$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\ln (1000)$
$x$	$\approx$	$6,91$

$e^{2 x}$	$=$	$400000$
	↓	Logarithmieren.
$2 x$	$=$	$\ln 400000$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \ln 400000$
$x$	$\approx$	$6,45$

$4 e^{x} - 64$	$=$	$0$	$+ 64$
$4 e^{x}$	$=$	$64$	$: 4$
$e^{x}$	$=$	$16$
	↓	logarithmieren
$x$	$=$	$\ln 16$
$x$	$\approx$	$2,77$

$5 e^{- 0,5 x}$	$=$	$125$	$: 5$
$e^{- 0,5 x}$	$=$	$25$
	↓	Logarithmieren
$- 0,5 x$	$=$	$\ln 25$	$: (- 0,5)$
$x$	$=$	$- 2 \cdot \ln 25$
$x$	$\approx$	$- 6,44$

$2^{x - 4}$	$=$	$2^{4 - x}$
	↓	Exponentenvergleich
$x - 4$	$=$	$4 - x$	$+ x$
$2 x - 4$	$=$	$4$	$+ 4$
$2 x$	$=$	$8$	$: 2$
$x$	$=$	$4$

$e^{3 x} - e^{- 3 x}$	$=$	$0$	$+ e^{- 3 x}$
$e^{3 x}$	$=$	$e^{- 3 x}$
	↓	Exponentenvergleich
$3 x$	$=$	$- 3 x$	$+ 3 x$
$6 x$	$=$	$0$	$: 6$
$x$	$=$	$0$