Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

$2^\mathrm x=16$

$\left({\textstyle\frac14}\right)^\mathrm x=64$

$2^\mathrm x\cdot8^{\mathrm x-1}=32$

$\left({\textstyle\frac13}\right)^x\cdot\left({\textstyle\frac3{27}}\right)^x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen

$\displaystyle \left(\frac13\right)^x \cdot\left(\frac3{27}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \left(\frac13\right)^x\cdot\left(\frac19\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \left(\frac1{27}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \log_{\frac{1}{27}}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_\frac1{27}\left(3\right)$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\log\left(3\right)}{\log\left({\frac1{27}}\right)}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\log\left(3\right)}{\log\left(1\right)-\log\left(27\right)}$
	↓	Fasse den Nenner zusammen, indem du $\log\left(1\right)$ = 0 einsetzt.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\log\left(3\right)}{-\log\left(27\right)}$

$\Rightarrow x = - \frac13$

Die Lösungsmenge lautet: $\mathbb L = \{-\frac13\}$

Alternative Lösung ohne Logarithmus

Da alle vorkommenden Zahlen Potenzen von $3$ sind, kann die Aufgabe durch Exponentenvergleich gelöst werden.

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{27}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Kürze
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Potenzgesetz $\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
$\displaystyle 3^{-x}\cdot 9^{-x}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ersetze $9=3^2$
$\displaystyle 3^{-x}\cdot (3^2)^{-x}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Potenzgesetz $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$
$\displaystyle 3^{-x}\cdot 3^{-2x}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Potenzgesetz $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$
$\displaystyle 3^{-3x}$	$=$	$\displaystyle 3^1$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Teile durch $-3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$

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$\frac{6^{\mathrm x-2}}{36^{\mathrm x+1}}=216$

2

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.

$\log_5(\mathrm x)=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
Lösen der Gleichung
$\log_5\left(x\right)=2$
Löse nach x auf.
$x=5^2=25$
Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L =\{25\}$
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$\log_3(x^3)=243$

$\log_{10}(\mathrm x-2)+\log_{10}(\mathrm x+2)=1$

$\log_2(\mathrm x^2)-\log_2(2\cdot\mathrm x)=4$

3

Bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung:

$\ln(\mathrm x)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
$\displaystyle \log_e\left(x\right)$ $=$ $\displaystyle 0$
↓
Löse nach x auf.
$\displaystyle e^o$ $=$ $\displaystyle x$
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle x$
$\mathbb{L}=\{1\}$
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$\ln(\mathrm x^2)=1$

$\ln(\mathrm x-\sqrt{\mathrm e})=\textstyle\frac12$

4

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

$\mathrm e^{2\cdot\mathrm x}=1$

$2\cdot\mathrm e^\mathrm x=\frac2e$

$\sqrt{\mathrm e^\mathrm x}=\mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x$

5

Löse die Gleichungen, indem du zunächst auf die Form $b^{f\left(x\right)}=a$ bringst und anschließend logarithmierst.

$25\cdot3^x=1000$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+1=5$

$5^{x+1}=1000$

$8\cdot4^{1{,}5x}=120000$

$4\cdot2^{15-3x}=64$

$\frac{1}{2}\cdot4^{2x+1}-4=12$

6

Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus

$e^x=1000$

$e^{2x}=400000$

$4e^x-64=0$

$5e^{-0{,}5x}=125$

7

Löse durch Exponentenvergleich oder zeige die Unlösbarkeit

$2^{x-4}=2^{4-x}$

$0{,}5^{-x}=0{,}5^{x^2-2}$

={x1;x2}=L

$e^{3x}-e^{-3x}=0$

$e^{2x+5}-e^{2x-5}=0$

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Ersetze $16$ durch $2^4$
$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 2^4$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
$\displaystyle 4^{-x}$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle \log()$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_4\left(64\right)$	$=$	$\displaystyle -x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -x$	$\displaystyle \cdot (-1)$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 2^x\cdot8^{x-1}$	$=$	$\displaystyle 32$
$\displaystyle 2^x\cdot\frac{8^x}{8^1}$	$=$	$\displaystyle 32$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\displaystyle \frac{2^x\cdot8^x}8$	$=$	$\displaystyle 32$	$\displaystyle \cdot 8$
$\displaystyle (2 \cdot 8)^x$	$=$	$\displaystyle 256$
$\displaystyle 16^x$	$=$	$\displaystyle 256$	$\displaystyle \log_{16}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{16}\left(256\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\log(256)}{\log(16)}$

$\displaystyle 2^x\cdot (2^3)^{x-1}$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	$(a^x)^y=a^{x\cdot y}$
$\displaystyle 2^x\cdot 2^{3(x-1)}$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	Multipliziere aus
$\displaystyle 2^x\cdot 2^{3x-3}$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	$a^x \cdot a^y =a^{x+y}$
$\displaystyle 2^{x+3x-3}$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 2^{4x-3}$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	Vergleiche die Exponenten
$\displaystyle 4x-3$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Löse auf
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \frac{6^{x-2}}{36^{x+1}}$	$=$	$\displaystyle 216$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{6^x}{6^2}}{36^x\cdot36}$	$=$	$\displaystyle 216$
	↓	Fasse zusammen: $216=6\cdot6\cdot6$
$\displaystyle \frac{6^x}{36^x} \cdot \frac{1}{6^2 \cdot 36}$	$=$
$\displaystyle \left(\frac16\right)^\mathrm x\cdot\frac1{6^4}$	$=$	$\displaystyle 6^3$	$\displaystyle \cdot 6^4$
$\displaystyle \left(\frac16\right)^x$	$=$	$\displaystyle 6^7$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\displaystyle 6^{-x}$	$=$	$\displaystyle 6^7$	$\displaystyle \log_6$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle 7$

$\displaystyle \log_3\left(x^3\right)$	$=$	$\displaystyle 243$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$\displaystyle 3\cdot\log_3\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 243$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \log_3\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 81$
	↓	Löse nach x auf .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3^{81}$

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle \cdot\sqrt{ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{14}$

$\displaystyle \log_2\left(x^2\right)-\log_2\left(2x_{ }\right)$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
$\displaystyle 2\cdot\log_2\left(x\right)-\left[\log_2\left(2\right)+\log_2\left(x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Achte auf das negative Vorzeichen bei Klammern .
$\displaystyle 2\cdot\log_2\left(x\right)-\log_2\left(2\right)-\log_2\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \log_2\left(x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \log_2\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 32$

$\displaystyle \log_e\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle e^o$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \log_e\left(x^2\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle e^1$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt e$

$\displaystyle \ln\left(x-\sqrt e\right)$	$=$	$\displaystyle \frac12$
	↓	Kehre die Logarithmusschreibweis in die Exponentialschreibweise um.
$\displaystyle e^\frac12$	$=$	$\displaystyle x-\sqrt e$
	↓	Schreibe die Potenz um und löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \sqrt e+\sqrt e$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2 \sqrt e$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle ⋅\log()$
	↓	Logarithmiere
$\displaystyle \log_e\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 2x$
	↓	Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $e$ ist immer $0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2\cdot e^x$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{e}$	$\displaystyle \cdot e$
$\displaystyle 2\cdot e^x\cdot e^1$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle e^x\cdot e^1$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Verwende das passende Potenzgesetz .
$\displaystyle e^{x+1}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot\log\left(\right)$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_e\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle x+1$
	↓	$e^x=1e$ Es gilt: Der Logarithmus von $1$ zu einer Basis $n$ ist immer Null. Da: $e^0=1e$ $\;\;e\in\mathbb{R}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle \sqrt{\mathrm e^\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz.
$\displaystyle \mathrm (e^x)^\frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle \mathrm e^6\cdot\mathrm e^\mathrm x$
	↓	Wende Potenzgesetze an.
$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$	$=$	$\displaystyle e^{\left(6+x\right)}$	$\displaystyle \ln()$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \ln\left(e^{\frac{x}{2}}\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(e^{x+6}\right)$
$\displaystyle \dfrac{x}{2}$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle -\dfrac{x}{2}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle \cdot(-2)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -12$

$\displaystyle 25\cdot3^x$	$=$	$\displaystyle 1000$	$\displaystyle :25$
$\displaystyle 3^x$	$=$	$\displaystyle 40$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_340$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 3{,}36$

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+1$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}5}4$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle 5^{x+1}$	$=$	$\displaystyle 1000$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \log_51000$
$\displaystyle x+1$	$≈$	$\displaystyle 4{,}29$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 3{,}29$

$\displaystyle 8\cdot4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 120000$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle 4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 15000$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle 1{,}5x$	$=$	$\displaystyle \log_415000$
$\displaystyle 1{,}5x$	$≈$	$\displaystyle 6{,}94$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 4{,}62$

$\displaystyle 8\cdot4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 120 000$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle 4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 15000$
	↓	verwende den natürlichen Logarithmus
$\displaystyle \ln 4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle \ln 15000$
	↓	Rechenregel für Logarithmen: $\log a^b=b\log a$
$\displaystyle 1{,}5 x\cdot \ln 4$	$=$	$\displaystyle \ln 15000$
	↓	Zeit für den Tascherechner:
$\displaystyle 1{,}5x\cdot 1{,}386$	$≈$	$\displaystyle 9{,}62$
	↓	Teile durch $1{,}5$ und durch $1{,}386$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 4{,}62$

$\displaystyle 4\cdot2^{15-3x}$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 2^{15-3x}$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle 15-3x$	$=$	$\displaystyle \log_216$
$\displaystyle 15-3x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle -11$	$\displaystyle :\left(-3\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{11}{3}$

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4^{2x+1}-4$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4^{2x+1}$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 4^{2x+1}$	$=$	$\displaystyle 32$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle \log_432$
$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}75$

$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 1000_{ }$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln\left(1000\right)$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 6{,}91$

$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 400000$
	↓	Logarithmieren.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln400000$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\ln400000$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 6{,}45$

$\displaystyle 4e^x-64$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +64$
$\displaystyle 4e^x$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln16$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 2{,}77$

$\displaystyle 5e^{-0{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 125$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle e^{-0{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle -0{,}5x$	$=$	$\displaystyle \ln25$	$\displaystyle :\left(-0{,}5\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2\cdot\ln25$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle -6{,}44$

Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

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Definitionsmenge

Lösen der Gleichung

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Definitionsmenge

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Definitionsmenge

Lösungsmenge

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Definitionsmenge

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$\displaystyle 2^{x-4}$	$=$	$\displaystyle 2^{4-x}$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle x-4$	$=$	$\displaystyle 4-x$	$\displaystyle +x$
$\displaystyle 2x-4$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle 0{,}5^{-x}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^{x^2-2}$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle x^2-2$	$\displaystyle +x$
	↓	Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+x-2$

$\displaystyle e^{3x}-e^{-3x}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +e^{-3x}$
$\displaystyle e^{3x}$	$=$	$\displaystyle e^{-3x}$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -3x$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle e^{2x+5}-e^{2x-5}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +e^{2x-5}$
$\displaystyle e^{2x+5}$	$=$	$\displaystyle e^{2x-5}$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle 2x+5$	$=$	$\displaystyle 2x-5$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -5$