In diesem Artikel lernst du anhand zweier Applets und weiterer Übungsaufgaben, wie man Polynomdivisionen ohne und mit Rest sicher durchführt.

Anwendungen finden Polynomdivisionen bei der Faktorisierung und Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen mindestens dritten Grades sowie bei der Berechnung von Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen.

Lehrer mit Polynomdivision

Die Division von Polynomen ist eine Verallgemeinerung der schriftlichen Division ganzer Zahlen.

Schritte einer Division

Die wesentlichen, sich in der Regel wiederholenden Rechenschritte des schriftlichen Dividierens sind:

  1. Dividieren (hier %%8:2%%) als Startvorgang
  2. Multiplizieren (hier %%4\cdot21%%) als "Probe"
  3. Subtrahieren (hier: %%86-84%%) als Restbildung

$$D\rightarrow M\rightarrow S$$

Vorbereitung zur Durchführung einer Polynomdivision

Sowohl im Polynom des Dividenden als auch des Divisors sind gleichartige Glieder zusammenzufassen und alle Glieder nach fallenden Exponenten zu ordnen.

Beispiel:

Bringe die Polynome folgender Divisionsaufgabe in eine zur Polynomdivision geeignete Form:

%%(1+2x^2-x^2+3x^3):(1+x^2)%%

Lösung:

%%(3x^3+x^2+1):(x^2+1)%%

Polynomdivision ohne Rest

Anhand des nachfolgenden Applets kannst du die Technik einer Polynomdivision schrittweise verstehen und nachvollziehen.

Dabei wirst du die Arbeitsschritte %%D\rightarrow M\rightarrow S%% wiederfinden.

Polynomdivision mit Rest

Durch jeden der Arbeitsschritte %%D\rightarrow M \rightarrow S%% wird der Grad des Restpolynoms kleiner.

Bleibt ein von 0 verschiedenes Restpolynom übrig, das einen kleineren Grad als das Divisorpolynom hat, so ist die Polynomdivision "nicht aufgegangen".

Das Ergebnis der Division ist dann eine Summe aus einer ganzrationalen Funktion (Polynom) und einer echt gebrochenrationalen Funktion.

Du kannst dies schrittweise am nachfolgenden Applet nachvollziehen.

Zusammenfassung des Vorgehens bei einer Polynomdivision

  • Vor der Durchführung einer Polynomdivision sind die Polynome nach fallenden Exponenten zu ordnen.

  • Die Polynomdivision vollzieht sich in der Regel in dreigliedrigen Arbeitsschritten %%D \rightarrow M \rightarrow S%%:

    1. Division des höchsten Gliedes im Dividenden durch das höchste Glied im Divisior.

    2. Multiplikation des Divisionsergebnisses mit dem gesamten Divisor.

    3. Subtraktion zur Restbildung.

  • Eine Polynomdivision entfällt, wenn das Polynom des Dividenden von kleinerem Grad als das Polynom des Divisiors ist. Das "Ergebnis" ist dann der Bruchterm einer gebrochenrationalen Funktion.

    Beispiel: $$(x+1):(x^2+1)=\frac{x+1}{x^2+1}$$

Kommentieren Kommentare

Zu article Polynomdivision: Feedback von Serlo LabSchool
Stromi93 2016-04-06 15:04:35
- Die schriftliche Division sollte verlinkt werden

- Der Abschnitt Vorgehensweise sollte ausführlicher behandelt werden. Die Polynomdivsion läuft wie die normale schriftliche Division in gleichbleibenden Schritten ab, welche man Rezeptartig darstellen könnte. Die Schüler tun sich schwer den Hintergrund der Aktionen im ersten Beispiele zu verstehen.
Ein Applet wäre hier meiner Meinung nach eine sehr gute Lösung.
Video von Daniel Jung einbauen? (wenn es eines gibt)

- Im Spoiler fehlt die Verlinkung zu weiteren Aufgaben

- Anwendung bei Nullstellenberechnung muss eine Überschriftenenebe höher
Stromi93 2016-04-06 15:11:16
- Es sollte bereits in der Einleitung klar gemacht werden, dass die Polynomdivision für die Berechnung der Nullstellen von Polynomen vom Grad 3 oder höher verwendet wird. Für Schüler ist dies der einzige Anwendungsfall für die Polynomdivision.
Rebi 2018-06-15 10:51:00
Dieser Kommentar wurde bearbeitet, alle Punkte sind aus meiner Sicht erledigt.
LG Rebi
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Zu article Polynomdivision: Fehlerhaftes Bild
Inception_ 2015-09-23 13:34:19
Im linken Bild unter "Vorgehensweise" ist am Ende des ersten Polynoms etwas bei der Editierung schief gegangen. Es sollte dran stehen: "(x^3+4x^2+5x+2)".
Nish 2015-09-24 11:27:40
Hallo Inception_,
erstmal danke für den Hinweis. Es wird zwar schwer zu korrigieren sein, da es sich um ein Bild handelt, dennoch versuche ich es mal irgendwie zu lösen.
LG,
Nish
Inception_ 2015-09-24 17:26:23
Ich habe das Bild ersetzt. Es ist nicht ganz so schoen wie das vorherige, da das negative Vorzeichen beim Subtrahieren bereits reinmultipliziert ist. Ich denke aber, dass das das Verstaendnis nicht erschwert.
Nish 2015-09-25 13:53:11
Super, danke! Ich habs auch gleich übernommen.
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