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Termumformung mit Zahlen

Dieser Artikel befasst sich mit Termen, in denen neben Rechenzeichen ausschließlich Zahlen, aber keine Variablen vorkommen. Im Artikel Termumformung mit Variablen werden Terme mit (mehreren) Variablen behandelt.

Termumformung bezeichnet das Verändern der Gestalt eines Terms, bei dem sich dessen Wert aber nicht ändert.

Man benötigt das Umformen von Termen zum Beispiel zum geschickten Rechnen.

Umordnen

Aufgrund des Kommutativgesetzes darf man die Summanden bzw. Faktoren eines Terms beliebig vertauschen. Dies kann das Berechnen des Werts des Terms vereinfachen:

37+56+23+8916231=37+23+566+891231=60+50+660=770\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{lccc} &37+56&+&23+891&-&6-231\\ =&37+23&+&56-6&+&891-231\\ =&60&+&50&+&660\\ =&770 \end{array}

Klammern auflösen

In Termen gibt es häufig Klammern. Es gibt mehrere Wege, mit Klammern umzugehen.

Klammern zuerst berechnen

Klammern zeigen an, dass der Ausdruck in ihnen zuerst berechnet werden soll. Das ist beispielsweise bei der Punkt-vor-Strich-Regel wichtig:

Beispiel

13127=1567=149\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} &13\cdot 12-7\\ =&156-7\\ =&149 \end{array}

Wegen "Punkt vor Strich" wird zuerst 131213\cdot 12 berechnet.

Dann wird 77 vom Ergebnis subtrahiert.

13(127)=135=65\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} &13\cdot (12-7)\\ =&13\cdot5\\ =&65 \end{array}

Hier steht die Differenz in Klammern, deswegen wird zuerst 12712-7 gerechnet.

Dann wird das Ergebnis mit 1313 multipliziert.

Ausmultiplizieren

In manchen Fällen kann es auch geschickter sein, die Klammer auszumultiplizieren.

Beispiel

25(10+4)=2514=350\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} &25\cdot (10+4)\\ =&25\cdot14\\ =&350 \end{array}

Hier wurde die Strategie "Klammer zuerst" angewendet.

Deswegen muss man die relativ schwierige Multiplikation 251425\cdot14 durchführen.

25(10+4)=2510+254=250+100=350\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} &25\cdot (10+4)\\ =&25\cdot10+25\cdot4\\ =&250+100\\ =&350 \end{array}

Geschickter ist es hier, das Distributivgesetz anzuwenden. So sind die Rechnungen weniger schwierig.

Spezialfall Minusklammer

Eine Minusklammer ist genau genommen ein Term, der mit 1-1 multipliziert wird. Will man den Term in der Klammer nicht zuerst berechnen, kann man den ganzen Ausdruck gemäß des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

(1215)=1(1215)=112+(1)(15)=12+15\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} &-\left(12-15\right)\\ =&-1\cdot\left(12-15\right)\\ =&-1\cdot12+(-1)\cdot\left(-15\right)\\ =&-12+15 \end{array}

Schneller ist die Merkregel: Bei "Minus" vor der Klammer drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.

(1215)=12+15\displaystyle -\left(12-15\right)=-12+15

"Klammer mal Klammer"

Das Multiplizieren mehrerer Klammern, in denen Summen (oder Differenzen) stehen, kann ebenfalls als Sonderfall des Distributivgesetzes angesehen werden.

Beispiel

=(10+2)(1005)\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} \hphantom{=}&\left(10+2\right)\cdot(100-5) \end{array}

Man lässt die erste Klammer "fest" und multipliziert sie mit der zweiten Klammer gemäß des Distributivgesetzes.

=(10+2)100+(10+2)(5)\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} =&\left(10+2\right)\cdot 100+\left(10+2\right)\cdot(-5)\\ \end{array}

Dann wendet man das Distributivgesetz wieder an, um die letzten beiden Klammern auszumultiplizieren.

=10100+2100+10(5)+2(5)=1000+2005010=1140\displaystyle \def\arraystretch{1.6} \begin{array}{rl} =&10\cdot 100+2\cdot 100 +10\cdot(-5)+2\cdot(-5)\\ =&1000+200-50-10=1140 \end{array}

Assoziativgesetz

In Fällen gemäß des Assoziativgesetzes dürfen Klammern auch einfach weggelassen werden.

Beispielaufgabe

=[7(319)+37](17+41)\displaystyle \hphantom{=}[7\cdot(3-19)+37]-(17+41)

Man kann zunächst 7(319)7\cdot(3-19) mit dem Distributivgesetz auflösen.

=[21133+37](17+41)\displaystyle =[21-133+37]-(17+41)

Die eckige Klammer kann man weglassen, die runde Klammer wird gemäß der Merkregel für Minsklammern aufgelöst.

=21133+371741\displaystyle =21-133+37-17-41

Die Summanden ordnet man dann so um, dass ein geschicktes Rechnen möglich ist. Um anzuzeigen, was man zuerst berechnet, kann man Klammern setzen.

=(2141)+(3717)133\displaystyle =(21-41)+(37-17)-133

Nun kann man den Wert des Terms berechnen.

=(20+20)133=133\displaystyle =(-20+20)-133=-133


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