Dieser Artikel befasst sich mit Termen, in denen neben Rechenzeichen ausschließlich Zahlen, aber keine Variablen vorkommen.
Im Artikel Termumformung mit Variablen werden Terme mit (mehreren) Variablen behandelt.

Termumformung bezeichnet das Verändern der Gestalt eines Terms, bei dem sich dessen Wert aber nicht ändert.

Man benötigt das Umformen von Termen zum Beispiel zum geschickten Rechnen.

Umordnen

Aufgrund des Kommutativgesetzes darf man die Summanden bzw. Faktoren eines Terms beliebig vertauschen. Dies kann das Berechnen des Werts des Terms vereinfachen:

$$\begin{array}{lccc} &37+56&+&23+891&-&6-231\\ =&37+23&+&56-6&+&891-231\\ =&60&+&50&+&660\\ =&770 \end{array}$$

Übungsaufgaben

Wenn man geschickt umordnet, kann man die folgenden Aufgaben recht einfach im Kopf lösen:

Klammern auflösen

In Termen gibt es häufig Klammern. Es gibt mehrere Wege, mit Klammern umzugehen.

Klammern zuerst berechnen

Klammern zeigen an, dass der Ausdruck in ihnen zuerst berechnet werden soll. Das ist beispielsweise bei der Punkt-vor-Strich-Regel wichtig:

Beispiel

$$\begin{array}{rl} &13\cdot 12-7\\ =&156-7\\ =&149 \end{array}$$

Wegen "Punkt vor Strich" wird zuerst %%13\cdot 12%% berechnet.

Dann wird %%7%% vom Ergebnis subtrahiert.

$$\begin{array}{rl} &13\cdot (12-7)\\ =&13\cdot5\\ =&65 \end{array}$$

Hier steht die Differenz in Klammern, deswegen wird zuerst %%12-7%% gerechnet.

Dann wird das Ergebnis mit %%13%% multipliziert.

Ausmultiplizieren

In manchen Fällen kann es auch geschickter sein, die Klammer auszumultiplizieren.

Beispiel

$$\begin{array}{rl} &25\cdot (10+4)\\ =&25\cdot14\\ =&350 \end{array}$$

Hier wurde die Strategie "Klammer zuerst" angewendet.

Deswegen muss man die relativ schwierige Multiplikation %%25\cdot14%% durchführen.

$$\begin{array}{rl} &25\cdot (10+4)\\ =&25\cdot10+25\cdot4\\ =&250+100\\ =&350 \end{array}$$

Geschickter ist es hier, das Distributivgesetz anzuwenden. So sind die Rechnungen weniger schwierig.

Spezialfall Minusklammer

Eine Minusklammer ist genau genommen ein Term, der mit %%-1%% multipliziert wird. Will man den Term in der Klammer nicht zuerst berechnen, kann man den ganzen Ausdruck gemäß des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

$$\begin{array}{rl} &-\left(12-15\right)\\ =&-1\cdot\left(12-15\right)\\ =&-1\cdot12+(-1)\cdot\left(-15\right)\\ =&-12+15 \end{array}$$

Schneller ist die Merkregel: Bei "Minus" vor der Klammer drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um. $$-\left(12-15\right)=-12+15$$

"Klammer mal Klammer"

Das Multiplizieren mehrerer Klammern, in denen Summen (oder Differenzen) stehen, kann ebenfalls als Sonderfall des Distributivgesetzes angesehen werden.

Beispiel

$$\begin{array}{rl} \hphantom{=}&\left(10+2\right)\cdot(100-5) \end{array}$$

Man lässt die erste Klammer "fest" und multipliziert sie mit der zweiten Klammer gemäß des Distributivgesetzes.

$$\begin{array}{rl} =&\left(10+2\right)\cdot 100+\left(10+2\right)\cdot(-5)\\ \end{array}$$

Dann wendet man das Distributivgesetz wieder an, um die letzten beiden Klammern auszumultiplizieren.

$$\begin{array}{rl} =&10\cdot 100+2\cdot 100 +10\cdot(-5)+2\cdot(-5)\\ =&1000+200-50-10=1140 \end{array}$$

Assoziativgesetz

In Fällen gemäß des Assoziativgesetzes dürfen Klammern auch einfach weggelassen werden.

Beispielaufgabe

%%\hphantom{=}[7\cdot(3-19)+37]-(17+41)%%

Man kann zunächst %%7\cdot(3-19)%% mit dem Distributivgesetz auflösen.

%%=[21-133+37]-(17+41)%%

Die eckige Klammer kann man weglassen, die runde Klammer wird gemäß der Merkregel für Minsklammern aufgelöst.

%%=21-133+37-17-41%%

Die Summanden ordnet man dann so um, dass ein geschicktes Rechnen möglich ist. Um anzuzeigen, was man zuerst berechnet, kann man Klammern setzen.

%%=(21-41)+(37-17)-133%%

Nun kann man den Wert des Terms berechnen.

%%=(-20+20)-133=-133%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Termumformung mit Zahlen: Feedback zu diesem Artikel
Renate 2016-07-30 10:03:13
Mein Eindruck:

POSITIV: dass es überhaupt einen Artikel zu diesem Thema gibt.
Denn noch bevor die Schüler mit Variablen umgehen lernen, sollen sie in der Regel schon "geschickt" rechnen bzw. Rechenvorteile nutzen, indem sie das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz anwenden u. ä. .

KRITISCH: Ich finde, für diese Schüler ist der Artikel zu "mathematisch" geschrieben (und zum Teil auch sprachlich nicht optimal).

Gruß
Renate

Renate 2016-07-30 10:34:29
VORSCHLÄGE von mir dazu:

A) "große Lösung":
- Artikel mehr oder weniger neu aufsetzen unter dem Titel "Berechnen von längeren Rechentermen" oder so ähnlich, und
- bei den Termumformungen den Aspekt stärker auf das Nutzen von RECHENVORTEILEN legen.

B) "kleine Lösung":
- Abschnitt zum ASSOZIATIVGESETZ ausführlicher machen und zumindest mit einem oder mehreren Beispielen (+Übungsaufgaben) versehen.
- Abschnitt "Klammer mal Klammer" weglassen - siehe auch Kommentar "Ungeschicktes Beispiel".
- Kleinigkeit: Die Überschrift "Komplexes Beispiel" ist nicht auf dem richtigen Sprachniveau - reicht nicht einfach "Beispiel"?
- Weiteres?

Was meint ihr?

Viele Grüße
Renate
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Zu article Termumformung mit Zahlen: Ungeschicktes Beispiel
Renate 2016-07-27 16:46:03
In dem Beispiel, das im Abschnitt "Klammer mal Klammer" gewählt wurde, würde ich nicht das Distributivgesetz anwenden:
2+8 ergibt 10, und die einmalige Multiplikation mit 10 ist doch sicher leichter als erst mit 2 und dann mit 8 zu multiplizieren und dann zu addieren.

Vorschlag:
Ein besseres Beispiel könnte z. B. (10+2)*(100-5) sein. Hier werden die Einzelmultiplikationen leichter als die Rechnung 12*95.
ABER:
Wie relevant ist "Klammer mal Klammer" eigentlich, wenn es nur um Zahlen geht und nicht um Variablen? Das Auflösen der Klammern ist doch für den Schüler möglicherweise bereits so aufwendig, dass sich der "Aufwand" der schriftlichen Multiplikation von z. B. 12*95 lohnt...

Sollte man den Abschnitt nicht lieber ganz weglassen?
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Zu article Termumformung mit Zahlen: Unnötige Einschränkung im Titel
Renate 2016-07-30 09:20:47
Warum heißt dieser Artikel eigentlich "Termumformung mit GANZEN Zahlen"?
Diese Regeln gelten doch auch, wenn in der Termen Brüche vorkommen, oder nicht?
Renate 2016-08-05 10:20:01
Nachdem der Artikel jetzt in "Termumformung mit Zahlen" umbenannt ist, archiviere ich diesen Kommentar.