Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, welche du durch Umformungen in die Form

a x^{2} + b x + c = 0

bringen kannst. Hierbei ist $a \in ℝ ∖ {0}$ und $b, c \in ℝ$ .

Beispiele für quadratische Gleichungen:

$2 x^{2} + 3 x + 4 = 0$
$x^{2} - 7 x = 0$
$3 x^{2} = 0$

aber auch:

$4 x^{2} + 3 = x$ , da die Gleichung in $4 x^{2} - x + 3 = 0$ umgeformt werden kann.
$8 x^{2} = 27$ , da die Gleichung in $8 x^{2} - 27 = 0$ umgeformt werden kann.

Meist ist die Lösung einer quadratischen Gleichung gefragt. Stelle dafür die Gleichung am besten so um, dass $0$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

Anzahl der Lösungen

Die Anzahl der Lösungen kannst du grafisch oder rechnerisch herausfinden.

Grafisch kannst du die Funktion $f (x) = a x^{2} + b x + c$ zeichnen und dann die Anzahl an Nullstellen ablesen. Für die Nullstellen einer Parabel gilt nämlich

a x^{2} + b x + c = 0

Liegt die Parabel komplett oberhalb der x-Achse oder komplett unterhalb, dann gibt es keine Lösung.
Liegt der Scheitel der Parabel auf der x-Achse, dann gibt es genau eine Lösung.
Geht die Parabel (zweimal) durch die x-Achse, dann gibt es genau zwei Lösungen.

Rechnerisch kannst du die Anzahl der Lösungen bestimmen, in dem du die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ berechnest.

$D < 0 :$ keine Lösung

$D = 0 :$ genau eine Lösung

$D > 0 :$ genau zwei Lösungen

Lösungsformeln

Um nun auch herauszufinden, was die Lösung der quadratischen Gleichung ist, kannst du immer die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden.

Das ist nicht immer die einfachste Methode, aber dazu mehr im Abschnitt "Geschicktes Lösen von quadratischen Gleichungen".

Mitternachtsformel

Eine häufig genutzte Technik zum Lösen quadratischer Gleichungen ist die Mitternachtsformel.

Die Lösung einer Gleichung der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ bestimmst du über die Formel:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Beispiel:

Löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ .

Lösung:

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze in die Mitternachtsformel ein.

$a = 3, b = - 6, c = - 9$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 3}$
	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6}$
	$=$	$\frac{6 \pm 12}{6} = 1 \pm 2$

$\Rightarrow x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 3$

pq-Formel

Die pq-Formel kannst du auf quadratische Gleichungen der Form $x^{2} + p x + q = 0$ mit $p, q \in ℝ$ anwenden.

Die Lösung der Gleichung ist dann

x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

Hast du noch einen Vorfaktor vor $x^{2}$ , kannst du die pq-Formel auch anwenden. Teile dafür jedoch die ganze Gleichung zuerst durch den Vorfaktor!

Beispiel:

Löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ .

Lösung:

Da vor $x^{2}$ noch ein Faktor $3$ steht, teile zuerst die gesamte Gleichung durch $3$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9$	$=$	$0$	$: 3$
$x^{2} - 2 x - 3$	$=$	$0$

Wende nun die pq-Formel auf den Term $x^{2} - 2 x - 3$ an.

Lies hierfür die Werte $p$ und $q$ ab:

$p = - 2, q = - 3$

$\begin{array}{rcll} \Rightarrow & x_{1,2} & = & - \frac{- 2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} - (- 3)} \\ = & 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ = & 1 \pm \sqrt{4} \\ = & 1 \pm 2 \end{array}$

$\Rightarrow x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 3$

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta ist eine Lösungsmethode, mit der du durch Probieren Nullstellen erraten kannst. Die Methode eignet sich also nur, wenn die Lösungen der Gleichung einfach sind. Du kannst mit der Methode aber auch schnell deine berechneten Nullstellen überprüfen.

Die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ einer Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen nach dem Satz von Vieta nämlich die folgenden Bedingungen:

$x_{1} + x_{2} = - p$
$x_{1} \cdot x_{2} = q$

Beispiel:

Löse die Gleichung $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Lösung:

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab. Hier ist $p = - 2$ und $q = - 3$ .

Suche nun Zahlen $x_{1}$ und $x_{2}$ , die folgende Gleichungen erfüllen:

$x_{1} + x_{2} = - (- 2) = 2$ und
$x_{1} \cdot x_{2} = - 3$

Wenn du nur ganze Zahlen betrachtest, ist $x_{1} \cdot x_{2} = - 3$ nur für

$x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 1$ oder
$x_{1} = - 3$ und $x_{2} = 1$ .

Probiere, ob eins der Paare $(x_{1}, x_{2})$ auch die erste Bedingung erfüllt:

$x_{1} = 3, x_{2} = - 1$ : $x_{1} + x_{2} = 3 - 1 = 2 ✓$
$x_{1} = - 3, x_{2} = 1$ : $x_{1} + x_{2} = - 3 + 1 = - 2 \neq 2$

Für $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 1$ werden beide Bedingungen erfüllt. Also sind die Lösungen der Gleichung $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 1$ .

Hinweis: Lösungen wie $x_{1} = 1,2$ und $x_{2} = 15$ lassen sich mit diesem Verfahren kaum erraten. Hierfür benötigt man andere Lösungsmethoden.

Geschicktes Lösen von quadratischen Gleichungen

Quadratische Gleichungen können je nach Form auch viel leichter gelöst werden als mit Mitternachtsformel oder pq-Formel. Hier kommt es darauf an, in welcher Form sie vorliegen.

Folgende Formen können unterschieden werden bzw. hier betrachtet:

$𝒂 𝒙^{𝟐} + 𝒃 𝒙 + 𝒄 = 𝟎$ (gemischt-quadratische Gleichung)
$𝒂 𝒙^{𝟐} + 𝒄 = 𝟎$ (Rein-quadratische Gleichung)
$𝒂 (𝒙 - 𝒖) (𝒙 - 𝒗) = 0$ (Nullprodukt)
$𝒂 \cdot (𝒙 - 𝒅)^{𝟐} + 𝒆 = 𝟎$ (Scheitelform)

Rein-quadratische Gleichung

Rein-quadratische Gleichungen erkennst du schnell daran, dass der Summand "mit $x$ " fehlt. Man löst sie, indem man nach $x^{2}$ auflöst und die Wurzel zieht.

Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehst. Bei einer positiven Zahl gibt es immer genau zwei Lösungen - eine davon ist negativ, die andere positiv.

Beispiel:

Löse $2 x^{2} - 18 = 0.$

Lösung:

$2 x^{2} - 18$	$=$	$0$	$+ 18$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf.
$2 x^{2}$	$=$	$18$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$9$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 3$

Nullprodukt

Ein Nullprodukt ist ein Produkt, dessen Ergebnis $0$ ist. Nullprodukte sind zum Beispiel folgende Gleichungen:

$x \cdot (x - 3) = 0$
$(x - 2) (x + 7) = 0$
$(- 3) \cdot (x + 1) (x + 1) = 0$

Liegt deine Gleichung in dieser Form vor oder lässt sich leicht darin überführen, kannst du die Lösungen der Gleichung ablesen.

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Beispiel:

Löse die Gleichungen

a) $(x - 2) (x - 7) = 0$

b) $x^{2} = 4 x$

Lösung:

zu a)

Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also muss $x - 2 = 0$ oder $x + 7 = 0$ sein.

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 7 = 0 \Rightarrow x = - 7$

Die Gleichung ist also erfüllt für $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 7$ .

zu b)

Die Gleichung kannst du zu einem Nullprodukt umformen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 x & | - 4 x \\ x^{2} - 4 x & = & 0 \\ x \cdot (x - 4) & = & 0 \end{array}$

Somit muss $x = 0$ oder $x - 4 = 0$ sein.

Die Lösungen der Gleichung sind also $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 4$ .

Gleichungen in Scheitelform

Quadratische Gleichungen in der Scheitelform kann man auch mithilfe der binomischen Formeln in eine gemischt-quadratische Gleichung umformen und dann wie oben beschrieben lösen. Deutlich einfacher ist hier jedoch die Technik des Rückwärtsrechnens:

Beispiel:

Löse die Gleichung $3 (x - 1)^{2} - 12 = 0$ .

Lösung:

$3 \cdot (x - 1)^{2} - 12$	$=$	$0$	$+ 12$
	↓	12 auf die rechte Seite bringen.
$3 \cdot {(x - 1)}^{2}$	$=$	$12$	$: 3$
	↓	Durch 3 teilen.
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
	↓	Wurzel ziehen.
$x - 1$	$=$	$\pm \sqrt{4}$	$+ 1$
	↓	1 addieren.
$x$	$=$	$\pm 2 + 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = 2 + 1 = 3 \\ x_{2} = - 2 + 1 = - 1 \\ \Rightarrow L = {- 1; 3} \end{array}$

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