Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

%%\style{font-size:20px}{\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c\boldsymbol=\mathbf0}%% .

Sie tritt meist bei der Nullstellenberechnug einer quadratischen Funktion auf.

Anzahl der Lösungen

Die Anzahl der Lösungen wird bestimmt durch das Vorzeichen der Diskriminante   %%\style{font-size:20px}{D=b^2-4ac}%% der Gleichung:

%%D<0:%% keine Lösung

%%D=0:%% eine Lösung

%%D>0:%% zwei Lösungen

Lösungmethoden 

Mitternachtsformel  

Die mit Abstand häufigste Technik zum Lösen quadratischer Gleichungen ist die Mitternachtsformel. Es folgt ein Beispiel - viele weitere findest du in den Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

$$3x^2-6x-9=0$$

$$D=(-6)^2-4\cdot3\cdot(-9)=144>0\;$$

=> %%x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot3\cdot(-9)}}{2\cdot3}=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}6=\frac{6\pm12}6=1\pm2%%

=> %%L=\left\{-1;3\right\}%%

Die Mitternachtsformel bietet eine bequemere Lösungsmethode. Man muss nur die Koeffizienten in die Formel

%%x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}%%

einsetzen.

Quadratische Ergänzung

Hat man die quadratische Ergänzung durchgeführt, so hat man die Gleichung in der Form %%a(x-d)^2+e=0%% vorliegen. Damit kann man relativ leicht die Nullstelle bestimmen. 

Allgemeines Vorgehen

Vorgehen am Beispiel:

$$3(x-1)^2-12=0$$

  1. e auf die rechte Seite bringen:

    %%a(x-d)^2=-e%%

  2. Durch a teilen:

    %%(x-d)^2=-\frac ea%%

  3. Wurzel ziehen, falls %%-\frac ea\geq0%% :

    %%x-d=\pm\sqrt{-\frac ea}%%

  4. d auf die andere Seite bringen:

    %%x=\pm\sqrt{-\frac ea}+d%%

  1. 12 auf die rechte Seite bringen:

    %%3(x-1)^2=12%%

  2. Durch 3 teilen:

    %%\left(x-1\right)^2=4%%

  3. Wurzel ziehen (möglich, da 4>0)

    %%x-1=\pm\sqrt4%%

  4. 1 auf die rechte Seite bringen:

    %%\begin{array}{l}\Leftrightarrow x=\pm2+1\\\Leftrightarrow x_1=2+1=3\\\;\;\;\;\;\;x_2=-2+1=-1\;\\\Rightarrow L=\left\{-1;3\right\}\end{array}%%

$$\begin{array}{l}3x^2-6x-9=0\;\;\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\\\end{array}$$

=> %%\begin{array}{l}x_1+x_2=-(-2)\:\\\;\;x_1\cdot x_2=-3\end{array}%%

=> %%x_1=-1;\:x_2=3%%

=> %%L=\left\{-1;3\right\}%%

Ist der erste Koeffizient gleich %%1%% , kann man den Satz von Vieta anwenden. Er schränkt die möglichen Lösungen ein, sodass man oft mit Raten auf die beiden Lösungen kommen kann.

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