Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form
%%\style{font-size:20px}{\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c\boldsymbol=\mathbf0}%% .
Sie tritt meist bei der Nullstellenberechnug einer quadratischen Funktion auf.
Anzahl der Lösungen
Die Anzahl der Lösungen wird bestimmt durch das Vorzeichen der Diskriminante %%\style{font-size:20px}{D=b^2-4ac}%% der Gleichung:
%%D<0:%% keine Lösung
%%D=0:%% eine Lösung
%%D>0:%% zwei Lösungen
Lösungmethoden
Mitternachtsformel
Die mit Abstand häufigste Technik zum Lösen quadratischer Gleichungen ist die Mitternachtsformel. Es folgt ein Beispiel - viele weitere findest du in den Aufgaben zu quadratischen Gleichungen.
$$3x^2-6x-9=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot3\cdot(-9)=144>0\;$$
=> %%x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot3\cdot(-9)}}{2\cdot3}=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}6=\frac{6\pm12}6=1\pm2%%
=> %%L=\left\{-1;3\right\}%%
Die Mitternachtsformel bietet eine bequemere Lösungsmethode. Man muss nur die Koeffizienten in die Formel
%%x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}%%
einsetzen.
Quadratische Ergänzung
Hat man die quadratische Ergänzung durchgeführt, so hat man die Gleichung in der Form %%a(x-d)^2+e=0%% vorliegen. Damit kann man relativ leicht die Nullstelle bestimmen.
Allgemeines Vorgehen
Vorgehen am Beispiel:
$$3(x-1)^2-12=0$$
e auf die rechte Seite bringen:
%%a(x-d)^2=-e%%
Durch a teilen:
%%(x-d)^2=-\frac ea%%
Wurzel ziehen, falls %%-\frac ea\geq0%% :
%%x-d=\pm\sqrt{-\frac ea}%%
d auf die andere Seite bringen:
%%x=\pm\sqrt{-\frac ea}+d%%
12 auf die rechte Seite bringen:
%%3(x-1)^2=12%%
Durch 3 teilen:
%%\left(x-1\right)^2=4%%
Wurzel ziehen (möglich, da 4>0)
%%x-1=\pm\sqrt4%%
1 auf die rechte Seite bringen:
%%\begin{array}{l}\Leftrightarrow x=\pm2+1\\\Leftrightarrow x_1=2+1=3\\\;\;\;\;\;\;x_2=-2+1=-1\;\\\Rightarrow L=\left\{-1;3\right\}\end{array}%%
$$\begin{array}{l}3x^2-6x-9=0\;\;\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\\\end{array}$$
=> %%\begin{array}{l}x_1+x_2=-(-2)\:\\\;\;x_1\cdot x_2=-3\end{array}%%
=> %%x_1=-1;\:x_2=3%%
=> %%L=\left\{-1;3\right\}%%
Ist der erste Koeffizient gleich %%1%% , kann man den Satz von Vieta anwenden. Er schränkt die möglichen Lösungen ein, sodass man oft mit Raten auf die beiden Lösungen kommen kann.
