Dezimalbrüche sind Zahlen in Kommaschreibweise. Man begegnet ihnen überall im Alltag, sei es bei Preisschildern, bei Größenangaben oder auf dem Display des Taschenrechners.
Dezimalzahlen sind eine Möglichkeit Bruchzahlen kompakt darzustellen.

Inhalt des Artikels

Es gibt verschiedene Hilfen, mit Dezimalbrüchen zu rechnen. Man kann sie mit Hilfe der erweiterten Stellenwerttafel darstellen und so nach der ganzen Zahl und Dezimalstellen aufteilen oder den Dezimalbruch in gewöhnliche Brüche umwandeln.
Außerdem führt dieser Artikel die korrekte Sprechweise von Dezimalbrüchen ein. Wie man zwei Dezimalbrüche miteinander vergleicht, steht im Artikel Vergleich von Dezimalbrüchen.

Aufbau

Jede Dezimalzahl ist nach dem Muster Zahl - Dezimaltrennzeichen - Dezimalstellen aufgebaut.
Das Dezimaltrennzeichen - in Deutschland und Österreich ein Komma, in der Schweiz ein Punkt - trennt die ganze(n) Zahl(en) von den Dezimalstellen.
Die erste Stelle nach dem Komma bezeichnet man als Zehntel (z), die zweite Stelle nach dem Komma als Hundertstel (h), die dritte Stelle nach dem Komma als Tausendstel (t). Die Namen der nächsten Nachkommastellen setzen sich zusammen aus dem Namen von einer Zehnerpotenz und der Silbe -tel.

Dezimalbrüche im Alltag

Dezimalbrüche begegnen einem an jedem Tag im Alltag. Jedes mal, wenn man etwas kauft oder einen Preis liest, sieht man Dezimalbrüche.
Das Stellenwertsystem, das bei Dezimalbrüchen auftaucht, kennt man bereits vom Geld. Wie viel Geld man hat, hängt einmal von der Art der Münzen und auch von deren Anzahl ab. Genau so ist es auch bei Dezimalbrüchen: Je nachdem, an welcher Stelle hinter dem Komma eine Dezimalstelle steht, gibt die Ziffer eine unterschiedlich große Zahl an.
Dezimalbrüche: Rechnung
Betrachte nun 1-Euro-Münzen, 10-Cent-Stücke und 1 Cent-Stücke.Ein Euro ist genau so viel wert wie hundert 1-Cent-Stücke und genau so viel wert wie zehn 10-Cent-Stücke.Was die Hundertstel beim Dezimalbruch sind, sind beim Geld die 1-Cent-Stücke. Was die Zehntel beim Dezimalbruch sind, sind beim Geld die 10-Cent-Stücke. Man kann also beispielsweise den als Dezimalbruch geschriebenen Preis 1,72€ aufteilen in 1 1-Euromünze, 7 10-Cent-Stücke und 2 1-Cent-Stücke. Im Dezimalbruch entspricht das der ganzen Zahl 1, 7 Zehntel und 2 Hundertstel.
Der Name Cent für die kleinste unserer Münzen kommt nicht von ungefähr. Das lateinische Wort centum bedeutet hundert, ein Cent ist also der hundertste Teil von einem Euro. Man findet das Wort auch bei anderen Größenangaben. Hundert Zentimeter sind ein Meter.

Dezimalbrüche an der Stellenwerttafel

Eine Möglichkeit Zahlen darzustellen ist die Stellenwerttafel.Dabei wird die Zahl in ihre Bestandteile nach den Bündelungseinheiten Einern, Zehnern, Hundertern und so weiter zerlegt und die Anzahl der Bündelungseinheiten wird jeweils in die Spalten der Stellenwerttafel eingetragen.
Die Spalten sind dementsprechend mit T (Tausender), H (Hunderter), Z (Zehner) und E (Einer) beschriftet.
Im Dezimalsystem sind jeweils 10 Einheiten einer Bündelungseinheit in der nächstgrößeren Bündelungseinheit zusammengefasst.So sind ein Hunderter 10 Zehner, da und ebenso ein Zehner 10 Einer, da
Vielleicht hilft folgendes Bild um sich die Bedeutung der Dezimalstellen vorzustellen:Man stellt sich einen Zehner als einen Geldsack vor, in dem sich 10 Einer-Münzen befinden. Ein Hunderter ist dann ein Sack, in den man 10 Zehner-Säcke gesteckt hat. Wenn man also einen Hunderter-Sack aufmacht, dann hat man zehn Zehnersäcke vor sich.
So ist die Zahl 207 zusammengesetzt aus 2 Hunderten, 0 Zehnern und 7 Einern, denn
In der Stellenwerttafel sieht die Darstellung so aus:


T

H

Z

0

2

0

7


Diese Darstellung kann man erweitern, um auch kleinere Zahlen als 1 darzustellen.
Dazu fügt man rechts an die Stellenwerttafel neue Bündelungseinheiten an.Diese sind
  • das Zehntel oder 110\frac{1}{10}, abgekürzt mit z
  • das Hunderstel oder 1100\frac{1}{100}, abgekürzt mit h
  • das Tausendstel oder 11000\frac{1}{1000}, abgekürzt mit t.
Wie schon bei der einfachen Stellenwerttafel ist der Schritt zwischen zwei Bündelungseinheiten im Dezimalsystem der Faktor 10.
Die erweiterte Stellenwerttafel sieht nun so aus:


T

H

Z

z

h

t

0

0

0

0

0

0

0


Um nun Dezimalbrüche darzustellen, zerlegt man wieder die Zahl in ihre Bündelungseinheiten. Als Beispiel betrachten wir den Dezimalbruch 1.83.Diese Zahl läst sich aufteilen in
1,83=11+80,1+30,01.\displaystyle 1,83 = 1 \cdot 1 + 8 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,01.


T

H

Z

z

h

t

1

8

3

0


Da kein einzelnes Tausendstel vorhanden ist, tragen wir eine 0 in die t-Spalte ein.

Dezimalbrüche und Brüche

Die ganze Zahl 100100 kann man auf verschiedene Arten zusammensetzen:
  • 11 Hunderter oder
  • 1010 Zehner oder
  • 100100 Einer
Diese Überlegung kann man über das Dezimaltrennzeichen hinaus auch bei den Dezimalstellen anstellen.
Den Dezimalbruch 0,1 kann man auf verschiedene Arten zusammensetzen:
  • 1 Zehntel, also 110\frac1{10} oder
  • 10 Hundertstel, also 10100\frac{10}{100} oder
  • 100 Tausendstel, also 1001000\frac{100}{1000}
Macht es einen Unterschied ob wir 0,1 oder 0,10 oder sogar 0,100 schreiben? Um das am besten zu sehen, betrachten wir die Dezimalbrüche als Brüche :
110=10100=1001000.\displaystyle \frac{1}{10} = \frac{10}{100} = \frac{100}{1000}.
Die Brüche sind identisch, da man 10100\frac{10}{100} und 1001000\frac{100}{1000} jeweils auf 110\frac{1}{10} kürzen kannst. Also sind die Dezimalzahlen 0,1 und 0,10 und 0,100 identisch.
Nullen hinter der letzten Dezimalstelle ändern den Wert der Zahl nicht.
Die Zahl vor dem Dezimaltrennzeichen gibt eine ganze Zahl an. Die erste Dezimalstelle nach dem Dezimaltrennzeichen gibt also an, wie viele Zehntel (z) zur ganzen Zahl addiert werden. Die zweite Dezimalstelle nach dem Dezimaltrennzeichen gibt an, wie viele Hundertstel (h) zur ganzen Zahl addiert werden. Die dritte Dezimalstelle nach dem Dezimaltrennzeichen gibt an, wie viele Tausendstel (t) zur ganzen Zahl addiert werden, und so weiter…
Wir betrachten als Beispiel die Zahl 5,086. Die ganze Zahl sind 5 Einer (E), nach dem Dezimaltrennzeichen folgen 0 Zehntel (z), 8 Hundertstel (h) und 6 Tausendstel (t), also
5,086=5+0110+81100+611000=50861000.\displaystyle 5,086 = 5 + 0 \cdot \frac{1}{10}+8 \cdot\frac{1}{100}+6\cdot\frac{1}{1000} = \frac{5086}{1000}.
Die Tatsache, dass die Brüche 10100\frac{10}{100} und 1001000\frac{100}{1000} die gleiche Zahl 110\frac{1}{10} darstellen, liegt daran, dass man sie kürzen kann. Das ist auch der Grund, warum man Nullen hinter der letzten Dezimalstelle der Zahl weglassen darf, also warum beispielsweise 1,6 = 1,60 ist, denn

Periodische und nichtperiodische Dezimalbrüche

Man unterscheidet zwischen nichtperiodischen und periodischen Dezimalbrüchen. Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner ein Produkt aus 2 und/oder 5 bzw. Potenzen davon ist. Unter einem periodischen Dezimalbruch versteht man einen Dezimalbruch, bei dem sich eine bestimmte Zahlenreinfolge immer wiederholt.

Sprechweise von Dezimalbrüchen

Wenn man im Alltag an der Kasse 3,98€ bezahlt, so sagt man beispielsweise dazu "drei Euro achtundneunzig" oder auch "drei Komma achtundneunzig Euro". In der Mathematik liest man das anders. Hier sagt man zu 3,98€: "drei Komma neun acht Euro". Diese Sprechweise hilft dabei, Fehler und Missverständnisse zu vermeiden.
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Zu article Dezimalbruch:
AdjustIT 2020-02-16 18:48:17+0100
Der Grund warum „Drei Euro achtundneunzig“ ein erlaubter Ausdruck ist, ist nicht weil in der Finanzwelt das SI-System nicht gilt, sondern weil Währungen häufig Sekundäreinheiten haben- bei uns den Eurocent. Obiger Ausspruch ist also nur eine laxe Kurzform, bei der der Ausdruck „Cent“ in „Drei Euro achtundneunzig Cent“ nicht ausgesprochen wird, den ich als Fehler einstufen würde - ähnlich wie „Gib mir Cola!“ zwar verstanden wird, aber nichts mit korrekter Grammatik zu tun hat. „Drei Komma achtundneunzig Euro“ ist folglich einfach falsch - es gibt nirgends Zehnerstellen nach dem Komma!
Der erlaubte Ausdruck ist: „Drei Euro achtundneunzig Hundertstel“ - den man aber kaum hört, wiewohl „Cent“ bereits eine internationalisierte Kurzform des „Hundertstel“ (aus den Lateinischen) darstellt, weshalb so formulierte Beträge auch immer gerundet werden müssen.
Teilweise findet das SI-System Inzwischen auch Anwendungen in der Finanzwelt, wenn man von k€ („Kilo-Euro“) spricht. Mittelfristig kann man nur hoffen, dass sich diese Sprechweise etabliert, schließlich ist die englischsprachige Finanzwelt der kleinen Skala verhaftet, wodurch schon des Öfteren aus „Billions“ (10^9) also „Milliarden“ „Billionen“ (10^12) geworden sind und so der knapp zweihundertjährige Kampf der Systeme (sechs-, drei-, oder zweistellig) endlich ein Ende nehmen kann, mit einem international einheitlichen System das die Wissenschaft schon längst erfolgreich verwendet.
wolfgang 2020-02-17 12:52:00+0100
Hallo AdjustIT,
vielen Dank für deine Ausführung und Erklärung!
Auch oben im Artikel wird ja erwähnt, dass man diese Sprechweise im Alltag verwendet und man z.B. in der Mathematik korrekterweise mit der Kommasprechweise arbeitet.

Liebe Grüße
Wolfgang
AdjustIT 2020-02-22 07:07:28+0100
Hallo Wolfgang, das Problem ist die Bezeichnung „man verwendet“! Natürlich verwendet „man“ richtiger- oder fälschlicherweise bestimmte Ausdrücke, speziell im Alltag, wenn die Nutzer in MINT-Angelegenheiten eben ungebildet sind. Nichtsdestotrotz ist die beanstandete Aufteilung einer Fließkommazahl in zwei Vorkomma-Ausdrücke IMMER falsch!
Im Unterrichtsmaterial zu erklären es wäre „schon O.K“ ist ähnlich irritierend, wie die Behauptung: „manchmal ist 1+1=3“. Schockierend ist es, wenn Nachrichtensprecher dann beim Kommentieren von Budgetdiskussionen nicht mehr wissen wie man 1,075% korrekt ausspricht und in Folge die notwendigen Informationen vollkommen verdrehen. Das Komma ist nun mal ein Ausdruck, der es erlaubt bei korrekter Anwendung Brüche im Dezimalsystem einfach abzugeben und nicht dafür als Entschuldigung zu dienen, dass man mit diesen Brüchen (noch) nicht umgehen kann. (Es gibt leider ausreichend viele Beispiele aus sogenannten Wissenschaftsredaktionen bei denen solche Fehler immer wieder zu Missverständnissen führen. Ein teurer Klassiker in dem Zusammenhang ist die Verwechslung von Einheiten, die z.B. zum Verlust einer milliardenteuren Marssonde geführt hat - man darf durchaus davon ausgehen, dass es eine Menge ähnlicher Folgen gibt die zu Schäden, inklusive Toten geführt haben. Nicht nur in der Grammatik gilt also: „Ein Komma kann Dein Leben retten!“ („Kommt, wir essen Kinder!“).
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