Aufgaben
Wie lautet das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen:
3 und 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

3 und 8
3 ist bereits eine Primzahl.
8 ist nicht durch 3 teilbar.
Daraus folgt sofort das Ergebnis.
Multiplikation der beiden Zahlen.
kgV(3,8)=38=24\operatorname{kgV}(3,8)=3\cdot8=24

5 und 25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

5 und 25
Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch ggT(5,25)\operatorname{ggT}(5,25).
Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da 25=5225=5^2 ist.
kgV(5,25)=525ggT(5,25)=5255=25\operatorname{kgV}(5,25)=\frac{5\cdot25}{\operatorname{ggT}(5,25)}=\frac{5\cdot25}5=25
14, 7, 25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

14, 7, 25
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung
77 ist eine Primzahl.
14=2714=2\cdot7
25=5525=5\cdot5
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl 22 hat Vielfachheit 1, 55 hat Vielfachheit 2 und 77 hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: kgV(14,7,25)=2527=350.\operatorname{kgV}(14,7,25)=2\cdot5^2\cdot7=350.
15, 22, 121

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

15, 22, 121
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
15=3515=3\cdot5
22=21122=2\cdot11
121=112121=11^2
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl 22 hat Vielfachheit 1, 33 hat Vielfachheit 1, 55 hat Vielfachheit 1 und 1111 hat Vielfachheit 2.
Somit gilt: kgV(15,22,121)=235112=3630.\operatorname{kgV}(15,22,121)=2\cdot3\cdot5\cdot11^2=3630.
444, 753, 280

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

444, 753 und 280
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
444=22337444=2\cdot2\cdot3\cdot37
753=3251753=3\cdot251
280=22257280=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl 22 hat Vielfachheit 3, 33 hat Vielfachheit 1, 55 hat Vielfachheit 1, 77 hat Vielfachheit 1, 3737 hat Vielfachheit 1 und 251251 hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: kgV(444,753,280)=2335737251=7801080\operatorname{kgV}(444,753,280)=2^3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot37\cdot251=7\,801\,080.
21, 32, 16, 4, 7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

21, 32, 16, 4, 7
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
21=3721=3\cdot7
32=2532=2^5
16=2416=2^4
4=224=2^2
77 ist eine Primzahl.
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl 22 hat Vielfachheit 5, 33 hat Vielfachheit 1 und 77 hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: kgV(21,32,16,4,7)=2537=672.\operatorname{kgV}(21,32,16,4,7)=2^5\cdot3\cdot7=672.
Wie lautet der größte gemeinsame Teiler der Zahlen:
123, 456, 789

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
123=341123=3\cdot41
456=222319456=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot19
789=3263789=3\cdot263
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung: 3 ist der einzige Primfaktor, der Teiler von allen drei Zahlen ist.
ggT=3\mathrm{ggT}=3
24 und 32

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
24=222324=2\cdot2\cdot2\cdot3
32=2222232=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.
ggT(24,32)=8\operatorname{ggT}(24,32) = 8
22, 154, 66

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler

Zerlege die Zahlen einzeln in Primfaktoren.
22=21122=2\cdot11
66=231166=2\cdot3\cdot11
154=2711154=2\cdot7\cdot11
Suche gemeinsame Primfaktoren.
Gemeinsame Primfaktoren sind die Zahlen 2 und 11.
ggT(22,66,154)=22\operatorname{ggT}(22,66,154)=22.
105 und 25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
105=521105=5\cdot21
25=5525=5\cdot5
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.
ggT(105,25)=5\operatorname{ggT}(105,25)=5
13, 169, 2197

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
1313 ist eine Primzahl.
169=1313169=13\cdot13
2197=1313132197=13\cdot13\cdot13
ggT(13,169,2197)=13\operatorname{ggT}(13,169,2197)=13
984, 1002, 382

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
984=222341984=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot41
1002=231671002=2\cdot3\cdot167
382=2191382=2\cdot191
Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.
Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.
ggT(984,1002,382)=2\operatorname{ggT}(984,1002,382)=2
Berechne die Teilermenge T(819)\text{T}(819) und den ggT(819,1001)\text{ggT}(819,1001).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: größter gemeinsamer Teiler und Teilermenge

Primfaktorzerlegung

819=33713819=3\cdot3\cdot7\cdot13
1001=711131001=7\cdot11\cdot13
ggT(819,  1001)  =  7    13  =  91\Rightarrow\mathrm{ggT}(819,\;1001)\;=\;7\;\cdot\;13\;=\;91

Teilermenge

Die Teilermenge ist die Menge aller Zahlen, die die Zahl teilen, also alle Kombinationen beliebig vieler Primfaktoren inklusive der 1.
T(819)={1,3,7,9,13,21,39,63,91,117,273,819}T(819)=\left\{1,3,7,9,13,21,39,63,91,117,273,819\right\}

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen %%3%%, %%4%% und %%5%%.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Bei dieser Aufgabe hilft die Primfaktorzerlegung.
3 und 5 sind Primzahlen.
4 = 2 \cdot 2
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl 22 hat Vielfachheit 2; 33 hat Vielfachheit 1 und 55 hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: kgV(3,4,5)=2253=60\operatorname{kgV}(3,4,5)=2^2\cdot5\cdot3=60
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