Aufgaben

Berechne den Quotienten.

Welches ist die richtige Lösung der Multiplikation %%456\cdot\left(-321\right)%%?

Begründe ohne Rechnung.

%%-14376%%

%%\;\;\;146376%%

%%-146374%%

%%-146376%%

 

Vorgehensweise: Versuche durch das Ausschlussprinzip alle bis auf eine Lösung zu eliminieren.

Hinweis 1: %%456\cdot(-321)%% ist als Produkt einer positiven und einer negativen Zahl negativ.

%%\Rightarrow%% Positive Lösung lässt sich ausschließen.

Hinweis 2: Die Endstelle des Produkts ist das Produkt der Endstellen der einzelnen Faktoren.

%%\Rightarrow%% Die Endstelle muss %%6\cdot1=6%% sein.

%%\Rightarrow%% Lösungsmöglichkeit %%146.374%% ist nicht die Lösung.

Hinweis 3: Mache eine Überschlagsrechung um die Größenordnung des Ergebnisses zu bestimmen.

%%\Rightarrow 500\cdot(-300)=-150.000%% %%\Rightarrow%% Lösungsmöglichkeit %%14.376%% ist nicht die Lösung.

Zusammenfassung:

Die vierte Alternative erfüllt alle Einschränkungen.

%%\Rightarrow-146.376%% ist die gesuchte Lösung.

Bestimme jeweils mehrere Produkte aus zwei Faktoren mit dem Wert …

  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]%% .

  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, jeweils eine weitere Klammer so zu setzen, dass der Termwertwert kleiner wird?

Teilaufgabe 1

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=-42+2\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=-42+2\cdot9=%%

%%=-42+18=%%

%%=-24%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

1. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot\left[-13+22\right]\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\cdot9\right]=%%

Multipliziere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+18\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot24=%%

%%=-168%%

 

 

 

2. Möglichkeit

 

%%\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13-\left(-22\right)\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot\left[6+2\right]\cdot\left[-13+22\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot8\cdot9=%%

%%=-504%%

 

3. Möglichkeit

%%\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13-\left(-22\right))\right]=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot\left[-(13+22)\right]=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\left(-7\right)\cdot6+2\cdot(-35)=%%

%%=-42-70%%

%%=-112%%

%%\Rightarrow%% Es gibt also drei Möglichkeiten durch das Einsetzen einer weiteren Klammer ein noch kleineres Ergebnis als das in der ersten Teilaufgabe bestimmte zu erhalten.

Gegeben ist der Term %%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man die Zahl 13 durch 1 ersetzt?

Teilaufgabe 1

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%

Multipliziere %%13%% mit %%(-6)%%.

%%=78+9-78=%%

 

%%=9%%

 

 

 

Teilaufgabe 2

%%78-153:\left(-17\right)+13\cdot\left(-6\right)%%

Ersetze 13 durch 1.

%%78-153:\left(-17\right)+1\cdot\left(-6\right)=%%

Dividiere %%153%% durch %%(-17)%%.

%%=78+9-6=%%

 

%%=81%%

Um die gesuchte Differenz zu ermitteln, subtrahiere vom Ergebnis das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe.

%%81-9=72%%

 

%%\Rightarrow%% Der Wert steigt durch die Ersetzung um 72.

Mancher hat sich vielleicht daran gewöhnt, dass der Wert des Produkts zweier Zahlen größer ist als jeder Faktor.

  1. Finde Beispiele aus dem Zahlenbereich %%\mathbb{N}_0%%, bei denen diese "Regel" verletzt ist.

  2. Beurteile diese "Regel" bei Multiplikationen von ganzen Zahlen.

Teilaufgabe a)

Als Gegenbeispiele können z.B. folgende Produkte und Faktoren gewählt werden:

  • %%2\cdot0=0<2%%

  • %%7\cdot0=0<7%%

Teilaufgabe b)

Diese "Regel" lässt sich beim Multiplizieren ganzer Zahlen nicht anwenden.

Bei der Multiplikationen von ganzen Zahlen kann der Wert des Produkts zweier Zahlen kleiner, gleich oder größer als einer der Faktoren sein.

Beispiele sind:

  • %%-2\cdot3<3%%

  • %%7\cdot11>7%%

  • %%7\cdot1=7%%

Mancher hat sich vielleicht daran gewöhnt, dass der Wert eines Quotienten kleiner ist als der Dividend. Finde Beispiele aus dem

  1. Zahlenbereich %%\mathbb{N}_0%% , bei denen diese "Regel" verletzt ist.

  2. Beurteile diese "Regel" bei Divisionen von ganzen Zahlen.

Teilaufgabe a)

Divisoren, bei denen das nicht zutrifft:

Divisor 1:

Beispiel: %%5:1=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In diesem Fall stimmt diese Heuristik nicht, da der Dividend und der Quotient dann gleich sind - und nicht der Quotient kleiner als der Dividend.

Divisor 0:

Beispiel: %%5:0%% ist nicht definiert.

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Also ist kein Vergleich von Quotient und Divident möglich.

Teilaufgabe b)

Diese "Regel" trifft nicht zu, wenn der Dividend negativ ist. Also sollte diese im Zusammenhang mit ganzen Zahlen aus dem Gedächtnis verdrängt werden.

Beispiel: %%\left(-8\right):2=-4%%

 

%%\Rightarrow\;(-8)<(-4)%%

 

Beispiel: %%\left(-8\right):\left(-2\right)=4%%

 

%%\Rightarrow\;(-8)<4%%

 

Berechne den Wert des Terms %%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%% .

Simone hat im Divisor das Minuszeichen vergessen. Welches Ergebnis erhält sie?

Wert berechnen

 

%%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%%

Berechne die innerste Klammer

%%=\left[\left(-39\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:\left(-16\right)%%

Beachte Punkt vor Strich

%%=\left(+39-23\right):(-16)%%

 

%%=\left(+16\right):\left(-16\right)%%

 

%%=-1%%

 

 

 

Simones Term berechnen

 

%%\left[\left(-6-33\right)\cdot\left(-1\right)-23\right]:16%%

Dividend bleibt gleich

%%\left(+16\right):16=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Durch den Vorzeichenwechsel im Divisor findet in diesem Fall auch ein Vorzeichenwechsel des Ergebnisses statt.

Einfache Übungsaufgaben

%%17\cdot\left(-17\right)=%%

Längere Rechenaufgaben

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2-\left(-2\right)\cdot10%%

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2-\left(-2\right)\cdot10=%%

Wegen "Punkt vor Strich" werden die linke und rechte Seite der Subtraktion getrennt betrachtet.

%%\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\cdot2=30%%

%%\left(-2\right)\cdot10=-20%%

%%=30-(-20)=%%

Minus und Minus kannst du dann zu Plus vereinfachen.

%%=30+20=%%

 

%%=50%%

%%\left(-45-66\right)\cdot\left(-35+56\right)=%%

%%\left(12345-543\right)-\left[3\cdot41+\left(7890-3456\right)\right]%%

%%\left[\left(123+9875\right)-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17%%

%%\left[\left(123+9875\right)-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17=%%

Addiere in der innersten Klammer.

%%=\left[9998-34\cdot27+2^5+4536\cdot14\right]\cdot17=%%

Multipliziere in der Klammer aus und berechne die Potenz.

%%=\left[9998-918+32+63504\right]\cdot17=%%

Subtrahiere in der Klammer.

%%=\left[9080+32+63504\right]\cdot17=%%

Addiere in der Klammer.

%%=72.616\cdot17=%%

%%=1.234.472%%

 

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-11-9\right)\right]=%%

Rechnen mit negativen Zahlen

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-11-9\right)\right]=%%

Berechne zunächst die 2. runde Klammer durch Subtraktion.

%%117-17\cdot\left[8-\left(-17\right)\cdot\left(-20\right)\right]=%%

Multipliziere die beiden runden Klammern.

%%117-17\cdot\left[8-\left(+340\right)\right]=%%

Berechne die eckige Klammer durch Subtraktion.

%%117-17\cdot\left[-332\right]=%%

%%117+5644=%%

%%=5761%%

%%\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[\left(9875+123\right)-27\cdot34\right]%%

%%\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[\left(9875+123\right)-27\cdot34\right]=%%

Addiere in der innersten Klammer.

%%=\left(4536\cdot14+2^5\right)+\left[9998-27\cdot34\right]=%%

Multipliziere in der Klammer aus und berechne die Potenz.

%%=\left(63504+32\right)+\left[9998-918\right]=%%

Addiere bzw. subtrahiere in den Klammern.

%%=63536+9080=%%

%%=72616%%

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

%%\left[\left(-2\right)^3-\left(-3\right)^2\right]\cdot\left[1+\left(-2\right)^2\cdot\left(-1\right)^{17}\right]%%

%%\left[\left(-2\right)^3-\left(-3\right)^2\right]\cdot\left[1+\left(-2\right)^2\cdot\left(-1\right)^{17}\right]=%%

Berechne die Potenzen.

%%=\left[-8-9\right]\cdot\left[1+4\cdot\left(-1\right)\right]=%%

Multipliziere in der Klammer.

%%=\left[-8-9\right]\cdot\left[1+\left(-4\right)\right]=%%

Subtrahiere bzw. addiere in den Klammern.

%%=\left(-17\right)\cdot\left(-3\right)=%%

%%=51%%

 

Fülle die Multiplikationstabelle aus, indem du in jedes Feld den Wert einträgst, der sich ergibt, wenn man die zugehörigen Zahlen in der Spalte und in der Zeile multipliziert.

 

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

0

0

0

0

0

1

0

2

3

4

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